Достатні умови збіжності знакододатних рядів

Ознака порівняння.

Якщо для членів знакододатних рядів справджується нерівність , та ряд є збіжним, то ряд також збігається.

Якщо для членів знакододатних рядів справджується нерівність , та ряд є розбіжним, то ряд також розбігається.

Якщо для членів знакододатних рядів має місце умова , то ряди та збігаються або розбігаються одночасно.

Найчастіше для порівняння використовується узагальнений гармонічний

ряд (або ряд Діріхле) . Цей ряд збігається, якщо , та розбігається у

випадку .

 

Ознака Даламбера.

Ряд збігається, якщо параметр менший за 1, та розбігається, якщо це число більше за 1. У випадку поведінку ряду за допомогою ознаки Даламбера визначити неможливо.

 

Радикальна ознака Коші

Ряд збігається, якщо параметр менший за 1, та розбігається, якщо це число більше за 1. У випадку поведінку ряду за допомогою радикальної ознаки Коші визначити неможливо.

Інтегральна ознака Коші

Нехай загальний член ряду задано рівністю , та функція є додатною та спадною на проміжку . Тоді невласний інтеграл та ряд збігаються або розбігаються одночасно.

 

При розв’язуванні задач доцільно обирати ознаку для дослідження, користуючись порадами, які наведені у вигляді таблиці.

 

Структура загального члена ряду	Рекомендована ознака
Неправильний алгебраїчний дріб	Необхідна умова збіжності
Правильний алгебраїчний дріб; функції , , , , аргументами яких є правильний алгебраїчний дріб	Ознаки порівняння
,	Ознака порівняння за допомогою нерівності
Показникова функція; факторіал; факторіальний добуток; функції , , , , нескінченно малі аргументи яких містять наведені вище елементи	Ознака Даламбера
Степенево-показникова функція; показникова функція	Радикальна ознака Коші
Будь-яка монотонно спадна функція, інтегрування якої не вимагає значних зусиль, наприклад: ; ;	Інтегральна ознака Коші

 

Зауваження 1. Теоретично дослідження збіжності будь-якого числового ряду повинно починатися з перевірки необхідної умови збіжності. Але ця процедура досить часто є нетривіальною і, що дуже важливо, не завжди надає можливість зробити остаточний висновок. Отже, ми будемо вважати за доцільне застосовувати необхідну ознаку у тих випадках, коли є обгрунтовані припущення щодо її ефективності.

Зауваження 2. Наведені поради не є обов’язковими, вони лише допомагають обрати один з можливих шляхів розв’язування стандартних задач. Більшість задач може бути розв’язана кількома методами.

 

 

Зразки розв’язання задач

 

Скласти формулу загального члена та знайти для заданого числового ряду:

 

1.

Члени ряду є дробами. Послідовність числівників складає арифметичну прогресію з першим членом 1 та різницею 3, отже, задається з урахуванням формули загального члену арифметичної прогресії як = . Послідовність знаменників складає геометричну прогресію з першим членом 3 та знаменником 5, отже, за формулою загального члену геометричної прогресії задається як . Таким чином, загальний член ряду задається рівністю .

Умову, яка задає , можна отримати з формули загального члена шляхом заміни змінної на , отже,

.

 

2.

Члени ряду є дробами. Числівник дробу складається з двох множників, перший з яких є факторіалом члена арифметичної прогресії з першим членом 1 та різницею 2, отже, задається як . Послідовність других множників відповідає формулі . Знаменник кожного з дробів є добутком попереднього знаменника та нового множника, який складає з існуючими арифметичну прогресію з першим членом 2 та різницею 3. Таким чином, послідовність нових множників відповідає формулі , а весь знаменник має вигляд . Таку послідовність будемо надалі називати факторіальним добутком. Отже, формулою загального члена ряду є рівність

.

Тоді .

Зауваження. Для факторіального добутку доцільно при побудові формули для підкреслити наявність всіх множників, які відповідають попередньому члену ряду.