Інтегрування диференціальних рівнянь

За допомогою степеневих рядів

 

Для наближеного інтегрування диференціальних рівнянь розв’язок відповідної задачі Коші розшукують у вигляді розвинення в степеневий ряд в околі початкової точки , тобто будують ряд Тейлора або Маклорена, коефіцієнти якого обчислюють шляхом диференціювання.

Якщо диференціальне рівняння є лінійним, застосовується також метод невизначених коефіцієнтів, який дозволяє побудувати низку рекурентних формул, а іноді навіть знайти правило для обчислення будь-якого коефіцієнта ряду.

 

Зразки розв’язування задач

1.Знайти перші три ненульові члени розвинення у степеневий ряд розв’язку задачі Коші

, .

 

Запишемо шукане розвинення у степеневий ряд в околі початкової точки , тобто ряд Маклорена для функції :

.

Обчислимо за допомогою диференціального рівняння значення декількох похідних шуканої функції.

;

;

,

;

,

;

,

;

,

;

,

;

,

;

,

.

Тоді ,

.

 

2.Знайти перші три ненульові члени розвинення у степеневий ряд розв’язку задачі Коші

, .

 

Запишемо шукане розвинення у степеневий ряд в околі початкової точки , тобто ряд Тейлора для функції :

.

Обчислимо за допомогою диференціального рівняння значення декількох похідних шуканої функції.

;

;

,

;

,

.

Тоді ,

.

 

3. Знайти перші три ненульові члени розвинення у степеневий ряд розв’язку задачі Коші

, , .

 

Запишемо шукане розвинення у степеневий ряд в околі початкової точки , тобто ряд Маклорена для функції :

.

 

Обчислимо за допомогою диференціального рівняння значення декількох похідних шуканої функції.

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

.

 

Тоді ,

.

 

 

4.Знайти розвинення у степеневий ряд розв’язку задачі Коші

, , .

Запишемо шукане розвинення у вигляді ряду з невизначеними коефіцієнтами, знайдемо його похідні та підставимо ці ряди у диференціальне рівняння та початкові умови (права частина рівняння також повинна бути записаною у вигляді ряду).

,

,

,

.

 

;

;

,

.

Порівняємо коефіцієнти при однакових степенях змінної та отримаємо рекурентну послідовність рівностей:

;

;

, ;

, ;

, ;

, ;

, ;

Можна довести, що коефіцієнти ряду задаються залежностями

, .

Тоді шуканий ряд має вигляд

.

Легко помітити, що отриманий розв’язок може бути записаний у вигляді

, де .

 

5.Знайти розвинення у степеневий ряд розв’язку задачі Коші

, , .

 

Запишемо шукане розвинення, знайдемо його похідні та підставимо отримані ряди у диференціальне рівняння та початкові умови.

,

,

.

 

;

;

,

.

Отримаємо рекурентну послідовність рівностей

;

;

, ;

, ;

, ;

, ;

, ;

Можна довести, що коефіцієнти ряду задаються залежностями

, .

Тоді шуканий ряд має вигляд

.

 

Легко помітити, що отриманий розв’язок може бути записаний у вигляді

.

 

Завдання для самостійної роботи

 

Знайти перші три ненульові члени розвинення у степеневий ряд розв’язку задачі Коші

 

1. , .

2. , , .

Знайти розвинення у степеневий ряд розв’язку задачі Коші

3. , ,

4. , ,

Відповіді

1. .

2. .

3. ; .

4. ; .

 

Розділ 4

РЯДИ ФУР’Є

 

Основні формули

Основні формули, за якими будуються розвинення в ряд Фур’є функцій та обчислюються коефіцієнти цих розвинень, наведені у вигляді таблиці.

 

Період Парність	;	;
Загального вигляду
Парна
Непарна

 

У процесі обчислення коефіцієнтів Фур’є часто застосовуються деякі відомі математичні формули та факти. Наведемо їх.

 

Формули перетворення добутків тригонометричних формул в суму

Важливі властивості тригонометричних функцій

 

 

Деякі формули інтегрування

4.2.Розвинення в ряди Фур’є 2π-періодичних функцій

 

Розглянемо деяку 2π -періодичну функцію , неперервну, або таку, що на відрізку має скінчене число точок розриву першого роду.

Функціональний ряд виду , коефіцієнти якого обчислюються за формулами

,

,

,

називається рядом Фур’є функції . Цей ряд збігається для будь-якого значення , у всіх точках неперервності функції сума ряду , а в точках розриву сума ряду дорівнює півсумі лівосторонньої та правосторонньої границь функції :

.

Якщо 2π -періодична функція f(x) є парною (), то вона розкладається в ряд Фур’є тільки за косинусами:

,

де

.

Непарна 2π - періодична функція f(x) розкладається в ряд Фур’є тільки за синусами:

,

де .

 

Зразки розв’язування задач