Розв’язування рівнянь. Властивості рівнянь

Розв’язування будь-якого рівняння зводиться до виконання певних перетворень, у результаті яких дане рівняння замінюють більш простим.

Розв’яжемо, наприклад, рівняння:

(1)

1. Розкриємо дужки:

5 х - 10 + 11 = 3 х + 9. (2)

2. Зведемо подібні доданки в лівій частині рівняння:

5 х + 1 = 3 х + 9. (3)

3. Перенесемо доданки зі змінною х у ліву частину рівняння, а без змінної — у праву, змінивши їхні знаки на протилежні:

5 х - 3 х = 9 - 1. (4)

4. Зведемо подібні доданки у кожній частині рівняння:

2 х = 8. (5)

5. Поділимо обидві частини рівняння на 2:

х = 4.

Отже, рівняння (1) має єдиний корінь — число 4.

Розв’язуючи рівняння (1), ми виконували певні перетворення: розкривали дужки, зводили подібні доданки, переносили доданки з однієї частини рівняння в іншу, ділили обидві частини рівняння на число. Із цими перетвореннями пов’язані такі основні властивості рівнянь:

Властивість 1. У будь-якій частині рівняння можна розкрити дужки або звести подібні доданки.

Властивість 2. Будь-який доданок можна перенести з однієї частини рівняння в іншу, змінивши його знак на протилежний.

Властивість 3. Обидві частини рівняння можна помножити або поділити на одне і те ж, відмінне від нуля, число.

Якщо в деякому рівнянні виконати одне з перетворень, вказаних у властивостях 1, 2 або 3, то одержимо рівняння, яке має ті ж корені, що й початкове рівняння.

Розв’язуючи рівняння (1), ми послідовно одержували рівняння (2),
(3), (4), (5). Усі вони разом з рівнянням (1) мають один і той же корінь — число 4.

Для тих, хто хоче знати більше

Властивості рівнянь можна обґрунтувати, використовуючи такі властивості числових рівностей:

Якщо a = b ¾ правильна числова рівність і с ¾ деяке число, то:

a + с = b + с	Якщо до обох частин правильної числової рівності додати одне й те ж число, то одержимо правильну числову рівність.
aс = bс	Якщо обидві частини правильної числової рівності помножити на одне й те ж число, то одержимо правильну числову рівність.
a: с = b: с, де с ¹ 0	Якщо обидві частини правильної числової рівності поділити на одне й те ж, відмінне від нуля, число, то одержимо правильну числову рівність.

З першої властивості числових рівностей можна одержати такий наслідок: якщо з однієї частини правильної числової рівності перенести в іншу частину доданок, змінивши його знак на протилежний, то одержимо правильну числову рівність.

Використовуючи властивості числових рівностей, доведемо, наприклад, що
рівняння

3 х = х + 2 (6)

має ті ж корені, що й рівняння

3 х - х = 2. (7)

(Це властивість 2 для рівняння 3 х = х + 2.)

● Нехай х = a ¾ довільний корінь рівняння (6). Тоді 3 а = а + 2 ¾ правильна числова рівність. Перенесемо доданок a в ліву частину рівності, змінивши його знак на протилежний. Одержимо правильну числову рівність 3 а - а = 2, з якої випливає, що х = a є коренем рівняння (7). Ми довели, що довільний корінь рівняння (6) є коренем рівняння (7).

Навпаки, нехай х = b ¾ довільний корінь рівняння (7). Тоді числова рівність 3 b - b = 2 є правильною. Перенесемо доданок - b у праву частину рівності, змінивши його знак на протилежний. Одержимо правильну числову рівність 3 b = b + 2, з якої випливає, що х = b є коренем рівняння (6). Ми довели, що довільний корінь рівняння (7) є коренем рівняння (6).

Отже, рівняння (6) і (7) мають одні й ті ж корені. ●

Приклади розв’язання вправ

Приклад 1. Розв’язати рівняння

● Помноживши обидві частини рівняння на 14, матимемо:

2(х - 8) = 3 х - 31; 2 х - 16 = 3 х - 31;

2 х - 3 х = -31 + 16; - х = -15; х = 15.

Відповідь. 15. ●

Приклад 2. Розв’язати рівняння 25(z - 3) + 100 z = 125.

● Поділивши обидві частини рівняння на 25, матимемо:

z - 3 + 4 z = 5; 5 z = 5 + 3; 5 z = 8; z = 1,6.

Відповідь. 1,6. ●

Усно

23. Назвіть властивість рівнянь, на основі якої здійснено перехід від першого рівняння до другого:

а) 2 х - 5 = 1; 2 х = 1 + 5; б) 3 х + 2 = 5 х + 4; 3 х - 5 х = 4 - 2;

в) 2(х - 2) = х; 2 х - 4 = х; г) = х; 1 - 4 х = 3 х.

24. Обидві частини рівняння х (х - 1) = 2 х поділили на х й одержали рівняння х - 1 = 2. Чи мають ці рівняння одні й ті ж корені? Чи можна, розв’язуючи рівняння х (х - 1) = 2 х, ділити обидві його частини на х?

25. Поясніть кожний крок розв’язання рівняння:

а) 3(х - 2) = 5 х + 4 3 х - 6 = 5 х + 4 3 х - 5 х = 4 + 6 -2 х = 10 х = 10: (-2) х = -5;

б) 1 + 2 х = 12 + 3 х 2 х - 3 х = 12 - 1 - х = 11 х = -11.

Рівень А

Розв’яжіть рівняння:

26. а) 7 х - 4 = 3 х - 9; б) 2 х + 3(х + 1) = 8.

27. а) 8 х + 4 = 3 х + 4; б) 4(х – 3) = х.

28. а) 30(х + 2) = 15(х - 2); б) 200(х – 1) = 300.

29. а) 161(2 х + 2) = 161 х; б) 50(х + 3)= 250(х + 1).

30. а) б) (х + 1) = ; в)

31. а) б) (х - 5) = 1; в)

Рівень Б

Розв’яжіть рівняння:

32. а) 200(х - 5) = 100(х + 1) + 500;

б) 350 х + 250(5 х - 4) - 800 = 0;

в) ; г)

33. а) 210(х - 12) + 140(х + 18) = 70; б)

34. а) б)

35. а) б)

Рівень В

36. Розв’яжіть рівняння:

а) (х + 1)(х + 2)(х + 3)(х + 4) = (х + 1)(х + 2)(х + 3)(х + 5);

б)

Вправи для повторення

37. Знайдіть значення виразу:

а) 2(а + 1) - 4(а - 2), якщо а = -0,1;

б) 1,4 x - (1+ 0,7 x) - (3,3 х - 2), якщо х = 2,25;

в) -2(а + b - 2) - a + 2 b - 4, якщо а = 3; b = -1.

38. У сьомих класах навчається 84 учні, що становить усіх учнів школи. Скільки всього учнів у школі?

39. У місті зараз проживає 52 000 жителів. Відомо, що населення цього
міста щороку збільшується на 4%.

а) Скільки жителів буде в місті через рік?

б) Скільки жителів було в місті рік тому?