Розкладання на множники різниці квадратів двох виразів 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Розкладання на множники різниці квадратів двох виразів



У тотожності (a - b)(a + b) = a 2 - b 2 поміняємо місцями ліву і праву частини:

a 2 - b 2 = (a - b)(a + b).

Одержану тотожність називають формулою різниці квадратів двох виразів. Формулюють її так:

Різниця квадратів двох виразів дорівнює добутку різниці цих виразів та їх суми.

Формула різниці квадратів дає можливість розкласти на множники двочлен a 2 - b 2. Її використовують для розкладання на множники різниці квадратів двох довільних виразів. Наприклад:

4 х 2 - 9 = (2 х)2 - 32 = (2 x - 3)(2 x + 3).

Порівняйте

(аb)(a + b) = а 2b 2 помножили різницю двох виразів на їх суму; результат — многочлен (різниця квадратів двох виразів)
а 2b 2 = (аb)(a + b) розклали на множники різницю квадратів двох виразів; результат — добуток різниці виразів та їх суми

 

Приклади розв’язання вправ

Приклад 1. Розкласти на множники:

а) 16 х 4 - 2,25 у 2 z 2;
б) (4 a - b)2 - a 2.

а) 16 х 4 - 2,25 у 2 z 2 = (4 х 2)2 - (1,5 уz)2 = (4 х 2 - 1,5 уz)(4 х 2 + 1,5 уz);

б) (4 a - b)2 - a 2 = (4 a - b - a)(4 a - b + a) =(3 a - b)(5 a - b). ●

Приклад 2. Обчислити 752 - 652.

● 752 - 652= (75- 65)(75 + 65)= 10 × 140 = 1400. ●

Приклад 3. Розв’язати рівняння (х - 3)2- 36= 0.

● (х - 3)2- 36= 0; (х - 3)2- 62= 0; (х - 3- 6)(х - 3 + 6)= 0;

(х - 9)(х + 3) = 0; х - 9 = 0 або х + 3 = 0; х = 9 або х = -3.

Відповідь. 9; -3. ●

Усно

605. Розкладіть на множники:

a) x 2 - y 2; б) p 2 - 4; в) 16 - c 2.

Рівень А

Розкладіть на множники:

606. a) a 2 - 9; б) b 2 - 1; в) 1 – x 2;

г) 16 - y 2; д) 4 z 2 – 36; е) 49 a 2 - 9 b 2;

є) 100 x 2 - 121 y 2; ж) 9 - a 2 b 2.

607. a) b 2 - 25; б) 9 c 2 - 1; в) 25 - 64 y 2;

г) 36 m 2 - 49 n 2; д) 400 - z 2; е) 81 p 2 - 121 q 2.

Обчисліть:

608. a) 452 - 442; б) 812 - 712; в) 1382 - 382; г) 6,72 - 3,32.

609. а) 292 - 282; б) 2052 - 1052; в) 782 - 222; г) 9,52 - 8,52.

Знайдіть значення виразу:

610. x 2 - y 2, якщо x = 42 і y = 32; x = 2,8 і y = 7,2; x = 54 і y = -46.

611. m 2 - n 2, якщо m = 116 і n = 16; m = 5,7 і n = -4,7.

Розв’яжіть рівняння:

612. а) x 2- 4 = 0; б) 25 x 2 - 16 = 0.

613. а) y 2 - 36 = 0; б) 100 x 2 - 49 = 0.

Рівень Б

Розкладіть на множники:

614. а) а 4 - b 2; б) 25 m 2 - 64 n 8; в) 36 - 4 а 6 с 2;

г) 0,01 - 6,25 х 8 у 10; д) a 2 - 16 x 4 y 8; е) - 0,81 a 4 b 8 c 12.

615. а) 4 a 8 - 25 b 2 c 2; б) 1,96 m 20 - 0,09 n 2; в) a 8 b 4 c 2 - х 6.

616. а) (a + 2)2 - 1; б) (3 b - 1)2 - 4; в) 16 - (3 b + 2)2;

г) (2 a - 5)2 - 25 b 2; д) (4 x + 3)2 - (3 x + 2)2; е) (a - 3 b)2 - (3 a + 5 b)2.

617. а) (2 х - 1)2 - 9; б) 4 a 2 - (4 a + 3)2; в) (4 х - y)2 - (5 x - 2 y)2.

Знайдіть значення виразу:

618. а 2 - 4 b 2, якщо a = 3,28 і b = 3,36; a = і b = .

619.9 p 2 - q 2, якщо p = 2,3 і q = -1,9; p = і q = .

Розв’яжіть рівняння:

620. а) (x + 3)2 - 1 = 0; б) (5 y - 2)2 - 9 = 0;

в) (3 z + 5)2 - 4 z 2 = 0; г) (2 x - 3)2 - (3 x + 3)2 = 0.

621. а) (2 x - 5)2 - 1 = 0; б) (4 y - 7)2 - (y + 2)2 = 0.

622. Доведіть, що значення виразу ділиться на дане число:

а) 45752 - 14252 на 1000; б) 8432 - 2572 на 200.

Рівень В

623. Візьмемо два числа a і b, що дорівнюють одне одному: a = b. Обидві частини рівності помножимо на a і потім віднімемо від обох частин b 2. Отримаємо:

a 2 = ab; a 2b 2 = abb 2; (a + b)(ab) = b (ab).

Звідси a + b = b. З одержаної рівності, врахувавши, що a = b, матимемо:

b + b = b; 2 b = b; .

Отже, отримали, що будь-яке число дорівнює своїй половині.

Знайдіть помилку в проведених міркуваннях.

624. Доведіть, що для будь-якого цілого значення k значення виразу (4 k + 2)2 - (4 k - 2)2 ділиться на 32.

625. Розкладіть на множники:

а) a 8 - b 8; б) 1 - х 16.

626. Розв’яжіть рівняння:

а) x 4- 16 = 0; б) x 8 – 1 = 0;

в) (х 2 + 4 х - 7)2 - (х 2 + 4 х + 7)2 = 0.

627. Доведіть, що різниця квадратів двох цілих чисел, одне з яких при діленні на 5 дає в остачі 3, а інше ¾ 2, кратна 5.

Вправи для повторення

628. Обчисліть:

а) б)

629. Батькові 36 років, а синові ¾ 12.

а) Через скільки років батько буде удвічі старший від сина?

б) Скільки років тому батько був у 5 разів старший від сина?

630. З міста А до міста В, відстань між якими дорівнює 250 км, виїхав автобус. Через 40 хв з міста В назустріч йому виїхав автомобіль, швидкість якого на 20 км/год більша від швидкості автобуса. Через 1,5 год після виїзду автомобіля він зустрів автобус. Яка швидкість автомобіля?

631. Піднесіть до квадрата:

а) (m – 5)2; б) (3 a + 1)2; в) (4 b – 3)2; г) (–2 a – 5 b)2.

19. Розкладання многочленів на множники з використанням
формул квадрата суми і квадрата різниці

Запишемо формули квадрата суми і квадрата різниці двох виразів (квадрата двочлена), помінявши в них ліві та праві частини:

a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b)2 = (a + b)(a + b);

a 2 - 2 ab + b 2 = (a - b)2 = (a - b)(a - b).

Перша із цих формул дає розклад на множники тричлена a 2 + 2 ab + b 2, а друга ¾ тричлена a 2 - 2 ab + b 2.

Приклади розв’язання вправ

Приклад 1. Розкласти на множники тричлен 9 a 2 - 24 ab + 16 b 2.

● 9 a 2 - 24 ab + 16 b 2 = (3 a)2 - 2 × 3 a × 4 b + (4 b)2 = (3 a - 4 b)2. ●

Приклад 2.Знайти значення виразу x 2 + 8 x + 16, якщо x = 16; x = -11.

● Запишемо спочатку тричлен x 2 + 8 x + 16 у вигляді квадрата двочлена:

x 2 + 8 x + 16 = (х + 4)2.

Якщо х = 16, то: (х + 4)2 = (16+ 4)2 = 202 = 400.

Якщо х = -11, то: (х + 4)2 = (-11+ 4)2 = (-7)2 = 49. ●

Усно

632. Розкладіть на множники:

а) x 2 + 2 xy + y 2; б) x 2 - 2 xb + b 2; в) x 2 + 2 x + 1.

Рівень А

Подайте тричлен у вигляді квадрата двочлена:

633. а) p 2 + 2 pq + q 2; б) c 2 - 2 c + 1; в) b 2 + 4 b + 4; г) x 2 - 6 x + 9; д) 36 + 12 b + b 2; е) 25 + z 2 - 10 z.

634. а) 4 a 2 - 4 a + 1; б) 16 x 2 + 8 x + 1; в) 1 - 14 b + 49 b 2;

г) 4 x 2 + 12 x + 9; д) 25 b 2 - 20 b + 4; е) -40 b + 16 + 25 b 2.

635. а) 4 x 2 + 4 xz + z 2; б) m 2 - 6 mn + 9 n 2; в) 16 a 2 - 8 ab + b 2;

г) 4 c 2 + 12 ca + 9 a 2; д) 49 x 2 - 28 xy + 4 y 2; е) 25 p 2 + 9 q 2 - 30 pq.

636. а) x 2 + 4 x + 4; б) a 2 - 10 a + 25; в) 16 - 8 b + b 2;

г) 9 k 2 - 6 k + 1; д) 4 b 2 + 16 b + 16; е) 64 - 80 s + 25 s 2;

є) 16 a 2 + 8 ab + b 2; ж) 25 m 2 - 20 mn + 4 n 2; з) 9 b 2 + 16 c 2 - 24 bc.

Знайдіть значення виразу:

637. а) x 2 - 4 x + 4, якщо x = 12; x = 2,1; x = -18;

б) 9 a 2 - 6 a + 1, якщо a = 7; a = -33.

638. 4 a 2 + 4 a + 1, якщо a = 4,5; a = -5,5.

Рівень Б

Розкладіть на множники:

639. а) 0,25 m 2 + 2 mn + 4 n 2; б) 0,36 c 2 - 0,6 cx + 0,25 x 2;

в) 6,25 х 2 + 1,5 xyz + 0,09 y 2 z 2; г) 196 а 4 x 4 - 2,8 a 2 b 2 x 2 y 4 + 0,01 b 4 y 8;

д) х 2 + х + е) a 2 - a + .

640. а) 0,01 a 2 + 4 ab + 400 b 2; б) 0,64 x 2 - 0,32 xy + 0,04 y 2;

в) 1,44 m 4 n 2 - 1,2 m 2 nk 3 + 0,25 k 6; г) p 2 - p + .

Знайдіть значення виразу:

641. а) 4 x 2 + 4 xy + y 2, якщо x = ; y = ;

б) а 2 - 3 а + 2,25, якщо a = 11,5; a = -7,5.

642. m 2 - 6 mn + 9 n 2, якщо m = ; n = .

Розв’яжіть рівняння:

643. а) х 2- 8 х + 16 = 0; б) у 2+ 12 у + 36 = 0.

644. а) z 2- 6 z + 9 = 0; б) x 2+ 10 x + 25 = 0.

Рівень В

645. Знайдіть таке число b, для якого даний вираз є квадратом двочлена:

а) 64 х 2+ 80 х + b; б)

646. Подайте многочлен у вигляді суми квадратів двох виразів:

а) 2 у 2 + 2 y + 1; б) а 4 + 3 а 2 + 1;

в) а 2+ b 2 + 2 a + 2 b + 2; г) m 2 + 2 mn + 2 n 2 + 2 n + 1.

647. Подайте многочлен 9 х 2 + 6 ху + 2 у 2 + 4 у + 4 у вигляді суми квадратів двох виразів. Для яких значень х та у значення цього многочлена дорівнює нулю?

648. Розв’яжіть рівняння: (х 2 + 4 х + 4)2 - (х + 2)4 = 0.

Вправи для повторення

649. Знайдіть значення виразу:

а) (a 2 bc 2)2 × b 2, якщо a = 4; b = -0,3; c = 0,25;

б) (5 а 3 b)2 × аb 5, якщо а = 0,2; b = 5.

650. Для яких значень х значення виразу (2 х + 1)2- 4(х 2 + 3 х) дорівнює: 1; -1?

651*. У першій чашці є кава, у другій — стільки ж молока. З першої чашки в другу перелили ложечку кави, потім таку ж ложечку суміші перелили з другої чашки в першу. Чого більше: молока у першій чашці чи кави в другій?

652. Запишіть у вигляді виразу:

а) куб суми чисел m і n; б) суму кубів чисел m і n;

в) куб різниці чисел а і с; г) різницю кубів чисел а і с.

653. Запишіть у вигляді куба вираз:

а) 8 x 3; б) -8 х 3; в) 64 а 9; г) -0,027 а 6 b 12.

654. Запишіть у вигляді многочлена стандартного вигляду:

а) (х + 4)(х 2 + 2 х - 3); б) (а - 2 b)(а 2 - 2 аb + 2 b 2).



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2016-09-20; просмотров: 1146; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 44.202.183.118 (0.075 с.)