Розкладання на множники різниці квадратів двох виразів

У тотожності (a - b)(a + b) = a ² - b ² поміняємо місцями ліву і праву частини:

a ² - b ² = (a - b)(a + b).

Одержану тотожність називають формулою різниці квадратів двох виразів. Формулюють її так:

Різниця квадратів двох виразів дорівнює добутку різниці цих виразів та їх суми.

Формула різниці квадратів дає можливість розкласти на множники двочлен a ² - b ². Її використовують для розкладання на множники різниці квадратів двох довільних виразів. Наприклад:

4 х ² - 9 = (2 х)² - 3² = (2 x - 3)(2 x + 3).

Порівняйте

(а – b)(a + b) = а ^2 – b ^2	—	помножили різницю двох виразів на їх суму; результат — многочлен (різниця квадратів двох виразів)
а ^2 – b ^2 = (а – b)(a + b)	—	розклали на множники різницю квадратів двох виразів; результат — добуток різниці виразів та їх суми

 

Приклади розв’язання вправ

Приклад 1. Розкласти на множники:

а) 16 х ⁴ - 2,25 у ² z ²;
б) (4 a - b)² - a ².

● а) 16 х ⁴ - 2,25 у ² z ² = (4 х ²)² - (1,5 уz)² = (4 х ² - 1,5 уz)(4 х ² + 1,5 уz);

б) (4 a - b)² - a ² = (4 a - b - a)(4 a - b + a) =(3 a - b)(5 a - b). ●

Приклад 2. Обчислити 75² - 65².

● 75² - 65²= (75- 65)(75 + 65)= 10 × 140 = 1400. ●

Приклад 3. Розв’язати рівняння (х - 3)²- 36= 0.

● (х - 3)²- 36= 0; (х - 3)²- 6²= 0; (х - 3- 6)(х - 3 + 6)= 0;

(х - 9)(х + 3) = 0; х - 9 = 0 або х + 3 = 0; х = 9 або х = -3.

Відповідь. 9; -3. ●

Усно

605. Розкладіть на множники:

a) x ² - y ²; б) p ² - 4; в) 16 - c ².

Рівень А

Розкладіть на множники:

606. a) a ² - 9; б) b ² - 1; в) 1 – x ²;

г) 16 - y ²; д) 4 z ² – 36; е) 49 a ² - 9 b ²;

є) 100 x ² - 121 y ²; ж) 9 - a ² b ².

607. a) b ² - 25; б) 9 c ² - 1; в) 25 - 64 y ²;

г) 36 m ² - 49 n ²; д) 400 - z ²; е) 81 p ² - 121 q ².

Обчисліть:

608. a) 45² - 44²; б) 81² - 71²; в) 138² - 38²; г) 6,7² - 3,3².

609. а) 29² - 28²; б) 205² - 105²; в) 78² - 22²; г) 9,5² - 8,5².

Знайдіть значення виразу:

610. x ² - y ², якщо x = 42 і y = 32; x = 2,8 і y = 7,2; x = 54 і y = -46.

611. m ² - n ², якщо m = 116 і n = 16; m = 5,7 і n = -4,7.

Розв’яжіть рівняння:

612. а) x ²- 4 = 0; б) 25 x ² - 16 = 0.

613. а) y ² - 36 = 0; б) 100 x ² - 49 = 0.

Рівень Б

Розкладіть на множники:

614. а) а ⁴ - b ²; б) 25 m ² - 64 n ⁸; в) 36 - 4 а ⁶ с ²;

г) 0,01 - 6,25 х ⁸ у ¹⁰; д) a ² - 16 x ⁴ y ⁸; е) - 0,81 a ⁴ b ⁸ c ¹².

615. а) 4 a ⁸ - 25 b ² c ²; б) 1,96 m ²⁰ - 0,09 n ²; в) a ⁸ b ⁴ c ² - х ⁶.

616. а) (a + 2)² - 1; б) (3 b - 1)² - 4; в) 16 - (3 b + 2)²;

г) (2 a - 5)² - 25 b ²; д) (4 x + 3)² - (3 x + 2)²; е) (a - 3 b)² - (3 a + 5 b)².

617. а) (2 х - 1)² - 9; б) 4 a ² - (4 a + 3)²; в) (4 х - y)² - (5 x - 2 y)².

Знайдіть значення виразу:

618. а ² - 4 b ², якщо a = 3,28 і b = 3,36; a = і b = .

619.9 p ² - q ², якщо p = 2,3 і q = -1,9; p = і q = .

Розв’яжіть рівняння:

620. а) (x + 3)² - 1 = 0; б) (5 y - 2)² - 9 = 0;

в) (3 z + 5)² - 4 z ² = 0; г) (2 x - 3)² - (3 x + 3)² = 0.

621. а) (2 x - 5)² - 1 = 0; б) (4 y - 7)² - (y + 2)² = 0.

622. Доведіть, що значення виразу ділиться на дане число:

а) 4575² - 1425² на 1000; б) 843² - 257² на 200.

Рівень В

623. Візьмемо два числа a і b, що дорівнюють одне одному: a = b. Обидві частини рівності помножимо на a і потім віднімемо від обох частин b ². Отримаємо:

a ² = ab; a ² – b ² = ab – b ²; (a + b)(a – b) = b (a – b).

Звідси a + b = b. З одержаної рівності, врахувавши, що a = b, матимемо:

b + b = b; 2 b = b; .

Отже, отримали, що будь-яке число дорівнює своїй половині.

Знайдіть помилку в проведених міркуваннях.

624. Доведіть, що для будь-якого цілого значення k значення виразу (4 k + 2)² - (4 k - 2)² ділиться на 32.

625. Розкладіть на множники:

а) a ⁸ - b ⁸; б) 1 - х ¹⁶.

626. Розв’яжіть рівняння:

а) x ⁴- 16 = 0; б) x ⁸ – 1 = 0;

в) (х ² + 4 х - 7)² - (х ² + 4 х + 7)² = 0.

627. Доведіть, що різниця квадратів двох цілих чисел, одне з яких при діленні на 5 дає в остачі 3, а інше ¾ 2, кратна 5.

Вправи для повторення

628. Обчисліть:

а) б)

629. Батькові 36 років, а синові ¾ 12.

а) Через скільки років батько буде удвічі старший від сина?

б) Скільки років тому батько був у 5 разів старший від сина?

630. З міста А до міста В, відстань між якими дорівнює 250 км, виїхав автобус. Через 40 хв з міста В назустріч йому виїхав автомобіль, швидкість якого на 20 км/год більша від швидкості автобуса. Через 1,5 год після виїзду автомобіля він зустрів автобус. Яка швидкість автомобіля?

631. Піднесіть до квадрата:

а) (m – 5)²; б) (3 a + 1)²; в) (4 b – 3)²; г) (–2 a – 5 b)².

19. Розкладання многочленів на множники з використанням
формул квадрата суми і квадрата різниці

Запишемо формули квадрата суми і квадрата різниці двох виразів (квадрата двочлена), помінявши в них ліві та праві частини:

a ² + 2 ab + b ² = (a + b)² = (a + b)(a + b);

a ² - 2 ab + b ² = (a - b)² = (a - b)(a - b).

Перша із цих формул дає розклад на множники тричлена a ² + 2 ab + b ², а друга ¾ тричлена a ² - 2 ab + b ².

Приклади розв’язання вправ

Приклад 1. Розкласти на множники тричлен 9 a ² - 24 ab + 16 b ².

● 9 a ² - 24 ab + 16 b ² = (3 a)² - 2 × 3 a × 4 b + (4 b)² = (3 a - 4 b)². ●

Приклад 2.Знайти значення виразу x ² + 8 x + 16, якщо x = 16; x = -11.

● Запишемо спочатку тричлен x ² + 8 x + 16 у вигляді квадрата двочлена:

x ² + 8 x + 16 = (х + 4)².

Якщо х = 16, то: (х + 4)² = (16+ 4)² = 20² = 400.

Якщо х = -11, то: (х + 4)² = (-11+ 4)² = (-7)² = 49. ●

Усно

632. Розкладіть на множники:

а) x ² + 2 xy + y ²; б) x ² - 2 xb + b ²; в) x ² + 2 x + 1.

Рівень А

Подайте тричлен у вигляді квадрата двочлена:

633. а) p ² + 2 pq + q ²; б) c ² - 2 c + 1; в) b ² + 4 b + 4; г) x ² - 6 x + 9; д) 36 + 12 b + b ²; е) 25 + z ² - 10 z.

634. а) 4 a ² - 4 a + 1; б) 16 x ² + 8 x + 1; в) 1 - 14 b + 49 b ²;

г) 4 x ² + 12 x + 9; д) 25 b ² - 20 b + 4; е) -40 b + 16 + 25 b ².

635. а) 4 x ² + 4 xz + z ²; б) m ² - 6 mn + 9 n ²; в) 16 a ² - 8 ab + b ²;

г) 4 c ² + 12 ca + 9 a ²; д) 49 x ² - 28 xy + 4 y ²; е) 25 p ² + 9 q ² - 30 pq.

636. а) x ² + 4 x + 4; б) a ² - 10 a + 25; в) 16 - 8 b + b ²;

г) 9 k ² - 6 k + 1; д) 4 b ² + 16 b + 16; е) 64 - 80 s + 25 s ²;

є) 16 a ² + 8 ab + b ²; ж) 25 m ² - 20 mn + 4 n ²; з) 9 b ² + 16 c ² - 24 bc.

Знайдіть значення виразу:

637. а) x ² - 4 x + 4, якщо x = 12; x = 2,1; x = -18;

б) 9 a ² - 6 a + 1, якщо a = 7; a = -33.

638. 4 a ² + 4 a + 1, якщо a = 4,5; a = -5,5.

Рівень Б

Розкладіть на множники:

639. а) 0,25 m ² + 2 mn + 4 n ²; б) 0,36 c ² - 0,6 cx + 0,25 x ²;

в) 6,25 х ² + 1,5 xyz + 0,09 y ² z ²; г) 196 а ⁴ x ⁴ - 2,8 a ² b ² x ² y ⁴ + 0,01 b ⁴ y ⁸;

д) х ² + х + е) a ² - a + .

640. а) 0,01 a ² + 4 ab + 400 b ²; б) 0,64 x ² - 0,32 xy + 0,04 y ²;

в) 1,44 m ⁴ n ² - 1,2 m ² nk ³ + 0,25 k ⁶; г) p ² - p + .

Знайдіть значення виразу:

641. а) 4 x ² + 4 xy + y ², якщо x = ; y = ;

б) а ² - 3 а + 2,25, якщо a = 11,5; a = -7,5.

642. m ² - 6 mn + 9 n ², якщо m = ; n = .

Розв’яжіть рівняння:

643. а) х ²- 8 х + 16 = 0; б) у ²+ 12 у + 36 = 0.

644. а) z ²- 6 z + 9 = 0; б) x ²+ 10 x + 25 = 0.

Рівень В

645. Знайдіть таке число b, для якого даний вираз є квадратом двочлена:

а) 64 х ²+ 80 х + b; б)

646. Подайте многочлен у вигляді суми квадратів двох виразів:

а) 2 у ² + 2 y + 1; б) а ⁴ + 3 а ² + 1;

в) а ²+ b ² + 2 a + 2 b + 2; г) m ² + 2 mn + 2 n ² + 2 n + 1.

647. Подайте многочлен 9 х ² + 6 ху + 2 у ² + 4 у + 4 у вигляді суми квадратів двох виразів. Для яких значень х та у значення цього многочлена дорівнює нулю?

648. Розв’яжіть рівняння: (х ² + 4 х + 4)² - (х + 2)⁴ = 0.

Вправи для повторення

649. Знайдіть значення виразу:

а) (a ² bc ²)² × b ², якщо a = 4; b = -0,3; c = 0,25;

б) (5 а ³ b)² × аb ⁵, якщо а = 0,2; b = 5.

650. Для яких значень х значення виразу (2 х + 1)²- 4(х ² + 3 х) дорівнює: 1; -1?

651*. У першій чашці є кава, у другій — стільки ж молока. З першої чашки в другу перелили ложечку кави, потім таку ж ложечку суміші перелили з другої чашки в першу. Чого більше: молока у першій чашці чи кави в другій?

652. Запишіть у вигляді виразу:

а) куб суми чисел m і n; б) суму кубів чисел m і n;

в) куб різниці чисел а і с; г) різницю кубів чисел а і с.

653. Запишіть у вигляді куба вираз:

а) 8 x ³; б) -8 х ³; в) 64 а ⁹; г) -0,027 а ⁶ b ¹².

654. Запишіть у вигляді многочлена стандартного вигляду:

а) (х + 4)(х ² + 2 х - 3); б) (а - 2 b)(а ² - 2 аb + 2 b ²).