Одночлен та його стандартний вигляд

1. Одночлени. Розглянемо дві групи виразів:

а, b ³, 5, 3², 9 аb ², -2 x ⁴ y ³, m ² n

і

3 + 2 а, а - b, 5 + х ².

Яка особливість виразів першої групи? Чим вони відрізняються від виразів другої групи?

Вирази першої групи ¾ це змінні, числа, їхні степені й добутки. Такі вирази називають одночленами. У загальному вигляді одночлен ¾ це добуток чисел, змінних та їхніх степенів.

Вирази другої групи не є одночленами, бо містять дії додавання або віднімання.

Розглянемо одночлен -4 а ² b ³. Він містить тільки один числовий множник, який стоїть на першому місці, і степені різних змінних. Такий одночлен називають одночленом стандартного вигляду.

Одночленом стандартного вигляду називають такий одночлен, який містить тільки один числовий множник, що стоїть на першому місці, і степені різних змінних.

Числовий множник одночлена стандартного вигляду називають коефіцієнтом одночлена. Коефіцієнт одночлена -4 а ² b ³ дорівнює -4. Вважають, що коефіцієнти одночленів а ³ і - bс відповідно дорівнюють 1 і -1, бо а ³ = 1 × а ³ і - bс = -1 × bс.

Одночлен 5 а ³ b ² а ⁴ не є одночленом стандартного вигляду, бо містить два степені з основою а. Помноживши а ³на а ⁴, цей одночлен можна записати у вигляді одночлена стандартного вигляду: 5 а ³ b ² а ⁴ = 5(а ³ а ⁴) b ² = 5 а ⁷ b ².

2. Множення одночленів. Перемножимо одночлени -3 а ² b і 4 аb ³. Використовуючи властивості дії множення і властивості степенів, матимемо:

-3 а ² b × 4 аb ³ = (-3 × 4) × (а ² а)× (bb ³) = -12 а ³ b ⁴.

Отже, добутком одночленів -3 а ² b і 4 аb ³ є одночлен -12 а ³ b ⁴. Взагалі, добутком будь-яких одночленів є одночлен.

3. Піднесення одночлена до степеня. Піднесемо одночлен -5 а ² b до куба. Використовуючи властивості степенів, матимемо:

(-5 а ² b)³ = (-5)³ × (а ²)³× b ³ = -125 а ⁶ b ³.

Отже, кубом одночлена -5 а ² b є одночлен -125 а ⁶ b ³. Взагалі, натуральним степенем будь-якого одночлена є одночлен.

4. Степінь одночлена. В одночлена 3 а ² bх ³ сума показників степенів усіх змінних дорівнює 2 + 1 + 3 = 6. Цю суму називають степенем одночлена, кажуть, що 3 а ² bх ³ ¾ одночлен шостого степеня.

Степенем одночлена називають суму показників степенів усіх змінних, що входять до нього. Якщо одночленом є число, то вважають, що степінь такого одночлена дорівнює нулю.

Наприклад: - а ² b ⁷ ¾ одночлен дев’ятого степеня; 2 а ² ¾ одночлен другого степеня; 3 х ¾ одночлен першого степеня;-2 ¾ одночлен нульового степеня.

Приклади розв’язання вправ

Приклад 1. Записати вираз у вигляді одночлена стандартного вигляду:

а) 6 аb ²× (-4 аb); б) -3 а ³ b × 4 а ² с × 3 с ³; в) (- x ² y × 4 xy ²)³.

● а) 6 аb ²× (-4 аb) = (6× (-4)) × (аа) × (b ² b) = -24 а ² b ³.

Скорочений запис: 6 аb ²× (-4 аb) = -24 а ² b ³.

б) -3 а ³ b × 4 а ² с × 3 с ³ = (-3 × 4× 3) × (а ³ а ²)× b × (сс ³) = -36 а ⁵ bс ⁴.

Скорочений запис: -3 а ³ b × 4 а ² с × 3 с ³ = -36 а ⁵ bс ⁴.

в) (- x ² y × 4 xy ²)³ = (-4 x ³ y ³)³ = -64 x ⁹ y ⁹. ●

Приклад 2. Подати одночлен 4 a ⁴ b ⁶ у вигляді:

а) добутку двох одночленів стандартного вигляду;

б) добутку двох одночленів, одним з яких є 2 a ² b ²;

в) квадрата одночлена стандартного вигляду.

● а) 4 a ⁴ b ⁶ = 4 a ² b ⁴ × a ² b ² (або 4 a ⁴ b ⁶ = 4 a ⁴ × b ⁶, 4 a ⁴ b ⁶ = -2 ab × (-2 a ³ b ⁵) тощо);

б) 4 a ⁴ b ⁶ = 2 × 2 × a ² × a ² × b ² × b ⁴ = 2 а ² b ² × 2 а ² b ⁴;

в) 4 a ⁴ b ⁶ = (2 a ² b ³)². ●

Усно

294. Які з наведених виразів є одночленами:

a) б) -3 abc; в) ; г) а + b;

д) - m; е) 0,3; є) 3 a ³ bc ³ ab; ж) b?

295. Назвіть одночлени стандартного вигляду та їхні коефіцієнти:

2 a ² ba; 52 аb; 0,03 ас ⁴; x; - y; 1,4 a; 4,8; 5 ab × 3 cd.

296. Знайдіть степінь одночленів:

4 a ² b ²; x ³ y ⁵; 0,1 a ² b ³ с ⁴; 7 xy ²; 6 a ²; - y ³; 4 a; cd; 15.

297. Перемножте одночлени:

a) 2 a і 3 b; б) 4 с ² і 2 с; в) 5 a ² b і ab; г) - хy ² і 2 x.

Рівень А

Подайте одночлен у стандартному вигляді та вкажіть його степінь і коефіцієнт:

298. a) 4 x ² yx; б) 5 abc × (-2); в) 0,4 а ² × 4 а ³ b;

г) x ³ y ² × 3 x; д) -5 c ³ d × 0,8 c ² d; е) 0,7 c × 4 с × с ²; є) -6 аbс × b ³.

299. a) 14 y ⁵ y; б) -0,3 cc ³ c; в) аb × 3 а ²; г) 0,5 aa ³ × 2 aa ².

Виконайте множення одночленів:

300. а) 5 a × 4 b; б) -3 а ² × 5 а ³; в) 0,3 а ² b × 2 b;

г) -4 ax ² × 3 bx ³; д) m ³ n × (-6 mn ²); е) 8 а ² bc ² × ;

є) -4,3 ax × (-2 a ²) × 5 x; ж) xy × (-5 xy ²) × (-4); з) -3 cd × (-2 dc ²) × cd.

301. а) 2 m × 12 mn ⁵; б) - cd × 8 c ⁴ d; в) 7 a ³ b ² c × 0,8 abc ³;

г) -6 n ³ k × k; д) - ab × (-5 ab ²) × 2 b; е) 1,5 xy × (-2 x ² y ³) × x ² y.

Піднесіть одночлен до степеня:

302. а) (3 a ³ b)³; б) (-2 mn ²)⁴; в) г) (-0,5 mn ³ k ⁴)².

303. а) (-5 mn ²)²; б) (3 a ³ b ⁶)³; в) (- xy ² z ³)⁵; г) (2 ab ⁴ c ³)⁴.

304. Подайте одночлен 8 х ² у ³ у вигляді:

а) добутку двох одночленів стандартного вигляду;

б) добутку двох одночленів, одним з яких є: 4 х ² у ²; 8 ху; -2 ху ³.

305.Подайте одночлен 6 b ³ c ³ у вигляді:

а) добутку двох одночленів стандартного вигляду;

б) добутку двох одночленів, одним з яких є: 2 b ² c ²; 6 bc; -3 bc ³.

Рівень Б

Спростіть вираз:

306. а) б) (3 а ² b)³ × 0,01 b ²;

в) г) (-4 a ² b ³)² × (- ab ³)²;

д) е)

307. а) б)

в) (- a ² b)³ × (-3 a ³ b)²; г)

308. Як зміниться площа квадрата, якщо його сторону збільшити втричі?

309.Як зміниться об’єм куба, якщо його ребро збільшити удвічі?

310. Подайте одночлен 64 a ⁶ b ¹⁸ у вигляді:

а) добутку двох одночленів стандартного вигляду;

б) добутку трьох одночленів стандартного вигляду;

в) добутку двох одночленів, одним з яких є -4 a ⁴ b ⁶;

г) квадрата одночлена стандартного вигляду;

д) куба одночлена стандартного вигляду.

311.Подайте одночлен 16 x ¹² y ⁸ у вигляді:

а) добутку трьох одночленів стандартного вигляду;

б) добутку двох одночленів, одним з яких є -2 x ³ y ⁷;

в) квадрата одночлена стандартного вигляду;

г) четвертого степеня одночлена стандартного вигляду.

312. Для деяких значень змінних значення виразу m ² n ³ дорівнює 2. Знайдіть для тих же значень змінних значення виразу:

а) 6 m ² n ³; б) m ⁴ n ⁶; в) 4 m ⁸ n ¹²; г) -3 m ⁶ n ⁹.

Знайдіть значення виразу:

313. а) (2 а ² b)² × аb ³, якщо а = 2; b = 5;

б) (xy ² z)³ × xzy ⁸, якщо x = y = -1; z = 7;

в) (a ² bc ²)² × abc × b ², якщо a = b = -0,5; c = 3.

314. а) (- mn ²)³ × 10 m ⁴ n, якщо m = 4; n = 0,25;

б) (2 abc ⁴)² × 0,25(ab)⁶, якщо a = b = 14; c = -0,1.

Рівень В

315. Подайте одночлен у стандартному вигляді:

a) б)

в) г)

316. Знайдіть значення виразу:

а) якщо х = у = 2; n = 80;

б) , якщо а = 0,1; b = 2; k = 51.

317. Мило має форму прямокутного паралелепіпеда. За тиждень користування всі його розміри зменшились удвічі. У скільки разів зменшився об’єм мила?

Вправи для повторення

318. Розв’яжіть рівняння:

а) 2(х – 1) + 3(2 – х) = 2; б)

319. Розкрийте дужки і зведіть подібні доданки:

а) 7 с - 5 + (3 с + 1 - 8 с); б) 2 а + 8 – (3 а + 12 – 6 а);

в) (-2 b + 4) – (4 b - 1) + 6 b; г) (-3 x + 5) - (3 – x) - (2 + 2 x).

320. Для купівлі телевізора сім’я відкладала щомісяця одну й ту ж суму
грошей. Після того як через 10 місяців необхідна сума була зібрана, підрахували, що якби щомісяця відкладали на 25 грн. більше, то зібрати необхідну суму грошей можна було б на 2 місяці раніше. Скільки
коштує телевізор?

321. З міста А до міста В вийшов поїзд і йшов зі швидкістю 60 км/год, а через 3 год назустріч йому з міста В вийшов другий поїзд і йшов швидкістю 75 км/год. Коли поїзди зустрілися, з’ясувалося, що перший пройшов на 105 км більше, ніж другий. Знайдіть відстань між містами А і В.

322*. Числа а і b задовольняють умови: a > 0; a + b < 0.

а) Знайдіть знак числа b. б) Що більше: | а | чи | b |?

Цікаво знати

Поняття степеня з натуральним показником виникло ще в античні часи у зв’язку з обчисленням площ і об’ємів. Тлумачення степенів а ² і а ³ було геометричним: а ² — це площа квадрата зі стороною а, а ³ — об’єм куба з ребром а. Звідси і назви «квадрат» і «куб» для степенів а ² і а ³, які використовуються й досі. Щоправда, така геометрична прив’язка в ті часи послужила гальмом для розвитку алгебри. Степені а ⁴ («квадрато-квадрат»), а ⁵ («кубо-квадрат») і т. д. залишалися ніби «поза законом», оскільки не мали відповідного геометричного підґрунтя.

Лише у XVII ст. французький математик Рене Декарт (1596–1650) дав геометричне тлумачення добутку довільної кількості множників, після чого й добуток набув «офіційного статусу». Декарт же увів і сучасне позначення степеня з натуральним показником у вигляді а^п.

Запитання і вправи для повторення § 3

1. Що називають степенем числа з натуральним показником?

2. Наведіть приклад степеня з натуральним показником та назвіть його основу й показник.

3. Який знак має степінь з натуральним показником залежно від знака основи?

4. Сформулюйте й доведіть основну властивість степеня.

5. Сформулюйте й доведіть правила множення та ділення степенів з однаковими основами, піднесення добутку до степеня та піднесення степеня до степеня.

6. Наведіть приклади одночленів. З чого складається одночлен?

7. Який одночлен називають одночленом стандартного вигляду? Наведіть приклад такого одночлена.

8. Як знайти степінь одночлена?

323. Знайдіть значення степеня:

а) 10⁴; б) (-3)⁶; в) (-0,5)³; г) (-2,4)³;

д) 1,02⁴; е) є) ж)

324. Обчисліть:

а) (-4) × 2⁴; б) (-4) × (-2⁴); в) 5² × (-2)³; г) 5³ × (-6³);

д) (7² - 3²)²; е) (-4 × 1,5 + 8)⁵; є) 2⁸ + (-2)⁵; ж) (-0,125 × 2³)¹⁵.

325. Знайдіть значення виразу:

а) а ⁴ - 81, якщо а = -3; 0; 3; б) (2 х - 3)³, якщо х = -1; 3.

326. а) Подайте у вигляді квадрата число: 64; 169; 1,44; 0,0001;

б) Подайте у вигляді куба число: 64; 1000; -27; 0,008;

Подайте вираз у вигляді степеня:

327. a) a ³ а ⁵; б) b ⁹: b ⁸; в) yy ⁸; г) a ⁵ aa ⁴;

д) 6⁴ × 6²¹; е) (p ²)⁵; є) (7⁵)⁴; ж) (5³ : 5)⁷.

328. Подайте степінь 3²⁴ у вигляді добутку двох степенів, одним з яких є: 3²; 3⁴; 3⁹; 3¹⁵.

329. а) Подайте степінь а ³⁶ у вигляді степеня з основою а ²; а ³; а ⁹; а ¹².

б) Подайте степінь 4¹⁸ у вигляді степеня з основою 2; 16; 8.

330. Піднесіть одночлен до степеня:

а) (ху)⁴; б) (6 а)³; в) (-3 x ²)⁴; г) (-0,5 a ⁴ с ²)².

331. Подайте одночлен у стандартному вигляді та вкажіть його степінь:

a) -2 a ⁴ ba; б) 0,5 b ² × 2 а ³ b; в) -3 x ³ × xy ²;

г) -4 a ² × 7 а ⁵ b × 4 b ³; д) 2,5 xz × (-4 x ³ z ³) × x ² z; е) (3 a ³ b ⁴ c ⁵ d)⁴;

є) ж) з) (-4 m ² n ⁵)³ × (-2 mn ³)².

332. Подайте одночлен 49 a ⁴ b ¹² у вигляді:

а) добутку двох одночленів стандартного вигляду;

б) добутку двох одночленів, одним з яких є -7 a ³ b ⁷;

в) квадрата одночлена стандартного вигляду.

333. Знайдіть значення виразу:

а) (3 х ² у)³ × у ³, якщо х = 2; у = 0,5;

б) (a ² bc)² × 5 abc ³, якщо a = b = -4; c =

334*. Спростіть вираз:

а) (a ⁴)^{2 n} × (a ⁴ a^{n + 2})²; б) (-2 y^k)⁸ × (- y ³)⁵;

в) г)

335*. Якою цифрою закінчується число 3⁸¹?

336*. Що більше: 80²⁰ чи 9⁴⁰?

337*. Розв’яжіть рівняння:

а) (2 х)² +(256 х)⁸ = 0; б) (х - 2)² + (х + 2)² = 0; в) х ⁶ + |3 х | = 0.

Завдання для самоперевірки № 3

Рівень

1. Яка з рівностей є правильною:

а) 3× 3× 3× 3× 3 = 5 × 3; б) 3× 3× 3× 3× 3 = 5³; в) 3× 3× 3× 3× 3 = 3⁵?

2. Вкажіть правильну рівність:

а) 2⁵ = 10; б) 2⁵ = 32; в) 2⁵ = 25; г) 2⁵ = 16.

3. Вкажіть правильну рівність:

а) 2⁴× 2³ = 2¹²; б) 2⁴× 2³ = 4¹²; в) (3²)³ = 6³; г) (3²)³ = 3⁶.

4. Подайте одночлен -3 х ² ух ⁵ у стандартному вигляді:

a) -3 ух ² х ⁵; б) -3 х ¹⁰ у; в) -3 х ⁷ у; г) -3(ху)⁷.

5. Виконайте множення 2 а ² b ³ × 3 a ⁴ і вкажіть правильну відповідь:

а) 6 a ² b ⁷; б) 6 a ⁸ b ³; в) 5 a ⁶ b ³; г) 6 a ⁶ b ³.

Рівень

1. Запишіть вираз у вигляді степеня з основою х:

а) х ⁵× х ³; б) х ⁴× х; в) (х ⁵)³; г) (х ⁶)⁴.

2. Обчисліть:

а) 4× 3³ - 4³; б) (2⁵ - 4²)× 5; в) (3² + 1)³.

3. Подайте одночлен у стандартному вигляді:

a) 2 a ⁴ × 3 a; б) -0,3 аb ³ × 5 a ⁴ b ²; в) (2 аc ³)⁴.

4. Знайдіть значення виразу:

а) (2 ху)³, якщо х = 2; у = 0,25; б) (a ² b)² × ab ², якщо a = 2; b = 5.

Рівень

1. Запишіть вираз у вигляді степеня:

а) (6³× 6⁴)⁵× 6; б) (3⁵× 3)³× (3⁴)⁷; в) 2⁸× 4⁴ × 16².

2. Спростіть вираз:

a) 3,6 x ² у ² × (-5 x ⁴ у ⁵) × (-2 x ² у); б) а ² с ³ × (3 a ² b ⁴ c ³)³;

в) (- m ⁷ n ⁸)⁵ × (-0,2 m ³ n ⁵)⁴; г)

3. Подайте одночлен 64 a ¹² b ¹⁸ у вигляді:

а) добутку трьох одночленів стандартного вигляду;

б) добутку двох одночленів, одним з яких є -4 a ⁵ b ⁸;

в) куба одночлена стандартного вигляду.

4. Знайдіть значення виразу:

а) (а ⁴ с ²)² × с ⁴, якщо а = 4; с = -0,5;

б) 2(x ² yz ³)² × x ² y ², якщо x = y = -2; z =

Рівень

1. Запишіть вираз у вигляді степеня з основою 2:

а) б)

2. Знайдіть значення виразу:

а) (8 m ³ n ²)² × n ², якщо m = 20; n = -0,025;

б) якщо а = b = k = 18.

3. Якою цифрою закінчується число 4⁴⁵?

4. Розв’яжіть рівняння:

а) (4 х)⁴ + (-8 х)⁸ = 0; б) х ² + |2 х - 1| = 0.

МНОГОЧЛЕНИ