Многочлен та його стандартний вигляд

1. Многочлени. Вираз 2 а ² - 3 аb - 2 b + 5 є сумою одночленів 2 а ², -3 аb,
-2 b і 5. Такий вираз називають многочленом.

Означення

Многочленом називають суму кількох одночленів.

Одночлени, які складають многочлен, називають членами цього
многочлена.

Наприклад, членами многочлена 2 а ² - 3 аb - 2 b + 5 є 2 а ², -3 аb, -2 b і 5.

Многочлен, який складається з двох членів, називають двочленом, многочлен, який складається із трьох членів, ¾ тричленом і т. д. Так,

а ² + b, 2 х - 3¾ двочлени;

а ² - аb + b ², x + 2 y - 1¾ тричлени.

Вважають, що кожний одночлен є многочленом, який складається з одного члена.

2. Многочлен стандартного вигляду. Розглянемо многочлен
4 xy - 6 + y - 2 xy + 3. Два його члени 4 xy і -2 xy є подібними доданками, бо відрізняються лише числовими множниками. Члени -6 і 3 не містять змінних. Вони також є подібними доданками. Подібні доданки многочлена називають подібними членами многочлена.

Зведемо у многочлені 4 xy - 6 + y - 2 xy + 3 подібні члени (подібні доданки):

4 xy - 6 + y - 2 xy + 3 = (4 xy - 2 xy) + y + (-6 + 3) = 2 xy + y - 3.

Многочлен 2 xy + y - 3 вже не має подібних членів, і кожний його член є одночленом стандартного вигляду. Такий многочлен називають многочленом стандартного вигляду.

Означення

Многочлен, що є сумою одночленів стандартного вигляду, серед яких немає подібних членів, називають многочленом стандартного вигляду.

Серед многочленів

а ² + 4 аb - 3 b ², x ² yx - 2, 4 аb + 2 b ²- аb

лише перший є многочленом стандартного вигляду, а два інші ¾ ні (перший член другого многочлена не є одночленом стандартного вигляду, а третій многочлен має подібні члени).

3. Степінь многочлена. Многочлен 2 x ² y ² + y ³ - 2 x має стандартний вигляд, і його членами є одночлени відповідно четвертого, третього і першого степенів. Найбільший із цих степенів називають степенем даного многочлена. Отже, 2 x ² y ² + y ³ - 2 x ¾ многочлен четвертого степеня.

Означення

Степенем многочлена стандартного вигляду називають найбільший степінь одночленів, які утворюють даний многочлен.

За цим означенням 2 а + 1 і 3 х - 4 y + 3 ¾ многочлени першого степеня; аb - 3 а ² + b ¾ многочлен другого степеня; - x ² y ⁴ + x ³ + 2 y ¾ многочлен шостого степеня.

Члени многочлена можна записувати в довільній послідовності. Для многочленів стандартного вигляду, що містять одну змінну, члени, як правило, упорядковують за спаданням або зростанням показників степенів. Наприклад:

5 x ⁴ + x ³ - 4 x ² + 3 x + 2; 2 + 3 x - 4 x ² + x ³ + 5 x ⁴.

Кожний многочлен є цілим виразом. Однак не кожний цілий вираз є многочленом. Наприклад, цілі вирази 2(а + 5), (а - b)² — не многочлени, бо вони не є сумами одночленів.

Приклади розв’язання вправ

Приклад 1. Записати у стандартному вигляді многочлен:

а) 2 х ² + 3 xy - 4 x ² + 1 - xy;
б) a ² b - 2 aba + 12 + 4 a ²× 2 b - 15.

● а) = ;

б) a ² b - 2 aba + 12 + 4 a ²× 2 b - 15 = = 7 a ² b - 3. ●

Усно

338. Які з наведених виразів є многочленами:

a) 3 a ³ + bc ² - ab; б) 3 х + 5; в) а;

г) а ² + ; д) m (2 n - k); е) (x - 3 y)³;

є) ж) -2 k; з) 4,5?

339. Назвіть подібні члени многочлена:

а) 4 a - 3 - a + 1,5; б) 4 xy + 4 х + 4 y;

в) 3 n ² + 4 n - 2 n ² + n - 1; г) a ² + ab + b ² + ba.

340. Назвіть многочлени стандартного вигляду та знайдіть їх степені:

а) с ² + 4 с - 2; б) x + y + 1; в) х;

г) 6 a - a ² + 5 a + 2; д) 4 y - y × 2 y; е) bс + 3.

341. Подайте многочлен у стандартному вигляді:

а) 4 а + 3 + а - 2; б) 2 аba + 3; в) x + y + 2 x - y.

Рівень А

Запишіть многочлен у стандартному вигляді та знайдіть його степінь:

342. а) 3 х - 2 + 2 х - 5; б) 1,2 а + а + 3,5 - 2 а - 4;

в) 4 m + 3 + n - 3 - n + 2 m; г) x ² + x + 2 x ²- 3 x + 3;

д) -3 а ³ + 5 а ² - 5 а ³ - 3 а ² + 7 а; е) - b ² × 5 b - 3 b ³ + 2 b × 3 b - 2 b ².

343. а) 5 а + 6 - 3 а - 4; б) 10 k + 5,5 - 2,5 k - 4,5 k;

в) 2 x ²+ 3 x + x ²- 3 x - 3+ 2 x; г) -2 b ³ + 3 b + 2 b ²- 3 b ³ + b.

344. Розташуйте члени многочлена за спаданням показників степенів:

а) 5 x - 4 х ³ + 5 + х ² - 3 x ⁴; б) 3 а ⁶ + 5 а - 7 а ² - 2 а ⁴ - 2 а ⁷ - 4.

345.Розташуйте члени многочлена за зростанням показників степенів:

а) 6 b ³ + 2 b - 1 + 3 b ⁴ + b ²; б) x ⁵ + 2 x ⁶- 3 x - 3 x ⁴ + 2 + 8 x ⁸.

Знайдіть значення многочлена:

346. а) 2 а ² + 3 а - 2, якщо а = 2;

б) 3 x - х ² + 1 + 2 х ² - 3 x, якщо x = -1,1;

в) 5 ab - а ² + 4 ab + а ², якщо a = -0,5; b = 4.

347. а) 4 x ² + 9 x - 4 x + 2, якщо x = 2;

б) 2 bc + 2,5 bc - 3 - 5 bc, якщо b = 1,5; c = -4.

Рівень Б

Запишіть многочлен у стандартному вигляді та знайдіть його степінь:

348. а) 4 x ² y - 6 х ² y - 3 + 0,3 x ² y;
б) 1,2 abc + а ² b - 0,8 abc - а ² b;

в) 3 x ² × 0,4 x - 0,9 x ³ + x × 4 y - 2 xy;

г) 7 a ⁵ b - 4 b ⁵ a + 8 а ⁵ b - 3 а ⁵ - 5 аb ⁵.

349. а) -3,5 аb - а ² b + 3 + аb + 3 а ² b; б) -5 c ³ d - 2 c ² dс + c ³ d - 1.

Знайдіть значення многочлена:

350. а) 6 х ⁴ - 4 x ² - 8 x ⁴ + 3 x ² + 2 x ⁴ + 1, якщо x = -1,2;

б) -4 a ² b ³ + 7 ab ³ - ab ³ a + b ² ab - 8 ab ³, якщо a = -0,5; b = 2.

351. а) 3 a ⁷ - 3 a ⁴ + 6 - 4 a ⁷ + 5 a ⁴ + a ⁷, якщо a = -3;

б) 2 m ⁴ n ² + 4 m ² n ² m ² - 8 nm ⁴ n + 4 m ² n, якщо m = -0,5; n = 4.

Запишіть у вигляді многочлена число, яке має:

352. а) а сотень, b десятків і с одиниць; б) m тисяч, n сотень і k одиниць.

353. а) а десятків і b одиниць; б) а тисяч, b десятків і с одиниць.

Рівень В

354. Запишіть у вигляді многочлена n -цифрове число, записане за допомогою однієї цифри а.

355. Чи існують такі цілі значення х, для яких значення многочлена 4 x ² + 2 x + 11 є парним числом?

356. Доведіть, що для цілих значень х значення многочлена x ⁵ - 6 x ² + 1 не дорівнює нулю.

357. Семицифрове число ділиться на 7. Крайні цифри цього числа поміняли місцями. Чи ділиться одержане число на 7?

Вправи для повторення

358. Розкрийте дужки і зведіть подібні доданки:

а) 4 a - 3 + (3 a + 5 - 2 a); б) 2 x + 12 – (4 x + 12 – 3 x);

в) (-3 a + 4 b) – (2 a - 1) + 6 b; г) (-4 x + 4) - (3 x – y) - (2 + 2 y).

359. Розв’яжіть рівняння:

а) 4 - 3 y = 2(3 y + 11); б) 0,5(9 z + 2) = 7 z + 2,5;

в) -1,2(m - 1) + 0,7 = m + 0,8; г) 2(-4 x + 4) - 3(3 x – 2) - 3 х = –1.

360. Човен проплив 84 км за 4,5 год, до того ж, протягом 2,5 год він плив за течією річки i протягом 2 год ¾ проти течії. Яка швидкість човна у стоячій воді, якщо швидкість течії річки дорівнює 2,4 км/год?