Різниця і сума кубів двох виразів

Різницю квадратів двох виразів можна розкласти на множники за формулою різниці квадратів. Розкладаючи на множники різницю кубів двох виразів, використовують формулу різниці кубів:

a ³ - b ³ = (a - b)(a ² + ab + b ²).

Доведемо цю тотожність, перемноживши вирази a - b і a ²+ ab + b ²:

(a - b)(a ²+ ab + b ²) = a ³ + а ² b + ab ² - a ² b - ab ² - b ³= a ³ - b ³.

У формулі різниці кубів тричлен a ²+ ab + b ² називають неповним квадратом суми виразів а і b (він нагадує тричлен a ²+ 2 ab + b ², який є квадратом суми виразів а і b). Отже, формулу різниці кубів можна сформулювати так:

Різниця кубів двох виразів дорівнює добутку різниці цих виразів і неповного квадрата їх суми.

При розкладі на множники суми кубів двох виразів використовують формулу суми кубів:

a ³ + b ³ = (a + b)(a ² - ab + b ²).

Доведемо цю тотожність:

(a + b)(a ²- ab + b ²) = a ³ - а ² b + ab ² + a ² b - ab ² + b ³= a ³ + b ³.

Тричлен a ²- ab + b ² називають неповним квадратом різниці виразів а і b. Отже,

Сума кубів двох виразів дорівнює добутку суми цих виразів і неповного квадрата їх різниці.

Приклади розв’язання вправ

Приклад 1. Розкласти на множники:

а) a ³ - 64; б) 27 a ³+ 125 b ³; в) - x ³- y ⁶.

● а) a ³ - 64 = a ³ - 4³ = (a - 4)(a ² + 4 a + 16);

б) 27 a ³+ 125 b ³ = (3 a)³ + (5 b)³ = (3 a + 5 b)(9 a ² - 15 ab + 25 b ²);

в) - x ³- y ⁶ = -(x ³ + (y ²)³) = -(x + y ²)(x ² - xy ² + y ⁴). ●

Усно

655. Назвіть неповний квадрат різниці виразів:

a) x і y; б) c і d; в) p і 1; г) 2 і c.

656. Назвіть неповний квадрат суми виразів:

a) m і n; б) p і q; в) a і 1; г) 3 і x.

557. Розкладіть на множники: a) x ³ - y ³; б) m ³ + n ³.

Рівень А

Розкладіть на множники:

658. a) p ³ - q ³; б) b ³ - 1; в) x ³ - 27; г) 64 - y ³;

д) b ³ + c ³; е) a ³ + 8; є) 1 + y ³; ж) 125 + b ³.

659. a) m ³ - n ³; б) b ³ - 8; в) 27 - a ³; г) 1 - z ³;

д) x ³ + y ³; е) k ³ + 64; є) p ³ + 1; ж) 27 + c ³.

660. a) 27 x ³ - 1; б) 1 + 64 b ³; в) 8 а ³ - 27; г) 125 - 27 y ³;

д) 64 m ³ - 27; е) b ³ + ; є) y ³ - 1; ж) x ³ + 1.

661. a) m ⁶ - n ³; б) a ⁹ + b ⁶; в) а ⁶ + c ⁶; г) x ¹² - y ⁹.

662. a) 8 z ³ + 1; б) 1 - 125 p ³; в) 27 x ³ + 64; г) 125 c ³ - 8;

д) a ³ - 1; е) 27 m ³ + ; є) y ³ - x ⁹; ж) p ⁶ + q ¹².

Рівень Б

663. Запишіть у вигляді добутку:

a) - a ³ + 8; б) - b ³ - c ³;

в) -27 + y ³; г) -64 - z ³.

Розкладіть на множники:

664. а) 64 a ³ - 27 b ³; б) p ³ - 8 q ³; в) 27 а ⁶ - 125;

г) 0,001 a ⁶ - b ³ c ³; д) 8 x ⁹ + 125 y ⁶; е) 1000 - a ³ b ⁹ c ¹².

665. а) 216 b ³ - 27 c ³; б) 125 m ³ + n ⁶; в) 0,064 x ⁹ y ⁶ z ³ - 27.

Доведіть, що значення виразу ділиться на дане число:

666. а) 921³ - 821³ на 100; б) 57³ + 28³ на 85.

667. а) 27³ + 37³ на 64; б) 75³ - 46³ на 29.

Спростіть вираз:

668. а) (a - b)(a ²+ ab + b ²) + b ³; б) (x ² - 1)(x ⁴+ x ² + 1)+ 1;

в) (a ² + b ²)(a ⁴- a ² b ² + b ⁴)- а ⁶ - b ⁶;

г) (a + 2)(a ²- 2 a + 4)- (a - 2)(a ²+ 2 a + 4).

669. а) (x + 3)(x ²- 3 x + 9)- 27;

б) (b - 1)(b ²+ b + 1)+ (b + 1)(b ²- b + 1).

Розв’яжіть рівняння:

670. а) (x - 2)(x ²+ 2 x + 4) = x ³+ 4 x; б) (y ² - 3 y + 9)(y + 3) = 6 y + y ³.

671. а) (1 - x)(1+ x + x ²) = x - x ³; б) -8 z + z ³ = (z - 4)(z ² + 4 z + 16).

Рівень В

672. Доведіть тотожність:

а) (a + b)(a ² - ab + b ²+ 3 a - 3 b + 3) = (a + 1)³+ (b - 1)³;

б) a ⁴- b ⁴ = (a - b)(a ³ + a ² b + ab ² + b ³);

в) a ⁵- b ⁵ = (a - b)(a ⁴ + a ³ b + a ² b ² + ab ³ + b ⁴);

г) a ⁵+ b ⁵ = (a + b)(a ⁴ - a ³ b + a ² b ² - ab ³ + b ⁴).

Доведіть, що значення виразу ділиться на дане число:

673. а) 124⁵ - 74⁵ на 50; б) 87⁵ + 88⁵ на 175.

Вказівка. Використайте тотожності в) і г) задачі 670.

674. а) 6¹⁰ + 8¹⁰ на 100; б) 3¹⁵ - 2²⁰ на 11.

675. Сума і добуток двох чисел відповідно дорівнюють 3,5 і 3. Знайдіть суму кубів цих чисел.

Вправи для повторення

676. Спростіть вираз:

а) (2 x - y)(x - 2 y)+ 5 xy; б) (3 a - b)(- a + 3 b)+ 3(a ² + b ²);

в) (a ²- a + 1)(a ²+ a + 1) - (а ²+ 1)².

677. Обчисліть:

а) 4¹⁰ - (4⁵ + 3)(4⁵ - 3); б) 2¹² × 3¹² - 4 - (6⁶ + 4)(6⁶- 4).

678. Поїзд затримали на станції А на 10 хв, однак він надолужив згаяний час на перегоні між станціями А і В, пройшовши його зі швидкістю 105 км/год, замість запланованої швидкості 90 км/год. Знайдіть відстань між станціями А і В.

679*. Розв’яжіть рівняння:

а) |2 х + 5| = |3 х - 2|; б) | х (х + 1)| = |2 х |.

21. Застосування кількох способів
для розкладання многочленів на множники

Часто, розкладаючи многочлен на множники, потрібно використати
кілька способів. Якщо це можливо, то розкладання доречно починати з винесення спільного множника за дужки.

Розглянемо кілька прикладів.

1. Розкладемо на множники многочлен 7 a ² b ² - 7 b ⁴.

7 a ² b ² - 7 b ⁴ = 7 b ²(a ² - b ²) = 7 b ²(a - b)(a + b).

Спочатку винесли спільний множник 7 b ² за дужки, а потім застосували формулу різниці квадратів.

2. Розкладемо на множники многочлен 6 aс - 9 с - 24 abc + 36 bc.

Усі члени многочлена мають спільний множник 3 с. Винесемо його за дужки:

6 aс - 9 с - 24 abc + 36 bc = 3 с (2 a - 3- 8 ab + 12 b).

Многочлен 2 a - 3- 8 ab + 12 b розкладемо на множники способом групування:

2 a - 3- 8 ab + 12 b = (2 a - 3)- 4 b (2 a - 3)= (2 a - 3)(1 - 4 b).

Отже,

6 aс - 9 с - 24 abc + 36 bc = 3 с (2 a - 3)(1 - 4 b).

Приклади розв’язання вправ

Приклад 1. Розкласти на множники тричлен:

а) х ²- 6 х - 16; б) а ²+ 2 аb - 8 b ².

● а) Якщо до виразу х ²- 6 х = х ²- 2×3× х додати 3², тобто 9, то одержимо вираз х ²- 6 х + 9, який є квадратом двочлена х - 3. Тому, виділивши квадрат цього двочлена, матимемо:

х ²- 6 х - 16 = х ²- 6 х + 9 - 9 - 16=(х - 3)²- 25 = (х - 3)²- 5² =

= (х - 3 - 5)(х - 3+ 5)= (х - 8)(х + 2);

б) a ² + 2 ab - 8 b ² = a ² + 2 ab + b ² - b ² - 8 b ² = (a + b)² - 9 b ² =

= (a + b - 3 b)(a + b + 3 b) =(a - 2 b)(a + 4 b). ●

Приклад 2. Розкласти на множники многочлен m ² - 4 n ² - mk - 2 nk.

● m ² - 4 n ² - mk - 2 nk = m ² - (2 n)² - (mk + 2 nk) =

= (m - 2 n)(m + 2 n) - k (m + 2 n) = (m + 2 n)(m – 2 n - k). ●

Приклад 3. Розв’язати рівняння 18 x ³- 2 х = 0.

● Розкладемо ліву частину рівняння на множники:

18 x ³- 2 х = 2 х (9 х ² - 1) = 2 х (3 х - 1)(3 х + 1).

Маємо рівняння

2 х (3 х - 1)(3 х + 1) = 0,

звідки: х = 0, або 3 х - 1 = 0, або 3 х + 1 = 0; х = 0, або х = , або х = - .

Відповідь. 0; ; - . ●

Рівень А

Розкладіть на множники:

680. a) 7 a ² - 7 b ²; б) km ² - kn ²; в) 9 x ² - 36;
г) 4 a ³ - 4 a; д) x ⁴ - x ²; е) ca ² - 9 cb ²;
є) 2 a ³ - 2 b ³; ж) 27 c + b ³ c.

681. a) 5 p ² - 5 q ²; б) 3 b ² - 27; в) 24 - 6 a ²; г) 3 y ⁴ - 3 y ²;

д) 18 xy ² - 2 x; е) 4 k ³ + 32; є) 6 a - 6 ab ³; ж) a ³ - a ⁵.

682. а) 3 p ² + 6 pq + 3 q ²; б) - b ²+ 2 bc - c ²; в) 81 - 54 b + 9 b ²;

г) 2 xb ² + 8 xb + 8 x; д) 9 a ³ + 6 a ² + a; е) m - 10 m ² + 25 m ³.

683. а) 4 x ² + 8 x + 4; б) n - 14 nc + 49 nc ²;

в) -6 a ² + 24 ab - 24 b ²; г) x ³ - 12 x ² + 36 х.

Знайдіть значення виразу:

684. а) 4 x ² - 4 у ², якщо x = 51; у = 49;

б) 5 a ² - 10 ab + 5 b ², якщо a = 7,3; b = 2,3.

685. а) 3 m ² + 6 mn + 3 n ², якщо m = 4,8; n = 5,2;

б) 10 a ² - 10 b ², якщо a = 63; b = 37.

Розв’яжіть рівняння:

686. а) 8 x ²- 72 = 0; б) 12 x ² - 3 = 0.

687. а) 5 x ²- 125 = 0; б) 50 x ² - 2 = 0.

Рівень Б

Розкладіть на множники:

688. a) a ⁴ - n ⁴; б) k ⁴ - 16.

689. a) x ⁴ - 1; б) 81 - b ⁴.

690. а) 3 mn + 24 n - 9 m - 72; б) bx ⁴ - x ⁴ + bx ³ - x ³;

в) -4 abc - 32 bc - 12 ac - 96 c; г) 2 y ⁴ - 2 y ³ a + 2 y ² ab - 2 y ³ b;

д) 1,5 a ²- 0,5 a ² x + 1,5 ax - 0,5 ax ²; е) x ² y ² a - x ² y ² + 5 axy - 5 xy.

691. a) 4 ac + 2 bc + 4 xac + 2 xbc; б) m ² a - m ² b + 3 am - 3 bm;

в) - a ³ b - a ² b ² - a ² b - ab ²; г) 0,2 x ⁴ + 0,6 x ³ y - 0,4 x ³ - 1,2 x ² y.

692. а) x ² - 2 xy + y ²- z ²; б) x ² - a ² - 2 ab - b ²;

в) c ² + 9- 6 c - k ²; г) 4 x ² - 4 y - y ² - 4.

693. а) m ² + 2 mn + n ²- k ²; б) а ² - 4 x ² - 4 xy - y ²;

в) a ² - 8 a - b ² + 16; г) p ² - 25 + 10 q - q ².

694. Розкладіть многочлен a ² + 2 ab + b ²- c ² + 2 c - 1 на множники. Доведіть, що коли a + b + с = 1, то значення цього многочлена дорівнює нулю.

695.Розкладіть на множники многочлен a ² + 2 a + 1 - b ²- c ² + 2 bc та знайдіть його значення, якщо a = -1 і b = с.

Розкладіть на множники:

696. а) a ² - b ² + a + b; б) x ² - a ² + x - a;

в) 4 x ² + y - 2 x - y ²; г) 3,5 x ² - 3,5 y ² - x + y.

697. а) c ² - b ² + c - b; б) x + y + x ² - y ² ;

в) a ² + 4,8 ab - x ² - 4,8 xb.

Розкладіть на множники та знайдіть значення виразу:

698. а) x ² - y ²+ (x + y)², якщо х = у =

б) a ² + (a + 4)² - 16, якщо а = 96.

699. а) a ² - b ²+ (a - b)², якщо а = b =

б) (m - 2)²+ m ² - 4, якщо m = 102.

Розв’яжіть рівняння:

700. а) x ³- x = 0; б) 1,6 y ³ - 0,4 y = 0;

в) x ³ - 4 x ² - 4 x + 16 = 0; г) 2 z ³ - z ² = 8 z - 4;

д) x ⁴ - x ³ - x ² + x = 0; е) x ³ - 2 x ² + 4 x - 8 = 0.

701. а) x ³- 4 x = 0; б) 1,2 z ³ - 0,3 z = 0;

в) x ³ - x ² - 9 x + 9 = 0; г) 4 y ³ - y ² = 4 y – 1.

Рівень В

Розкладіть на множники:

702. а) х ²+ 2 х - 8; б) а ²- 8 а + 12;

в) 4 с ²- 4 с - 3; г) х ²- 6 ху + 5 y ²;

д) а ²+ 12 аb + 11 b ²; е) 9 а ²- 6 аb - 8 b ².

703. а) 2 a ²+ a - 4 ab - b + 2 b ²; б) a ³ - b ³- (a - b)³.

704. Розв’яжіть рівняння:

а) х ²- 8 х + 7 = 0; б) у ²+ 12 у + 20 = 0;

в) (x - 1)²- 6(x - 1) + 8 = 0; г) (x - 1)(x - 3)(x ² - 3) = (x - 1)(x - 3).

705. Доведіть тотожність:

a ⁶- b ⁶ = (a - b)(a + b)(a ² - ab + b ²)(a ² + ab + b ²).

706. Доведіть, що значення виразу 3³⁴ + 9⁹² - 3³⁰- 9⁹⁰ ділиться на 80.

707. Доведіть, що значення виразу 11¹⁰ + 4 × 7⁴⁹ + 11¹¹- 4 × 7⁴⁸ ділиться на 12.

708. Доведіть, що рівність a ³+ b ² = ab (а + 1) є правильною тільки тоді, коли b = а або b = а ².

Вправи для повторення

709. Подайте у вигляді многочлена:

а) (3 a + 2 b)(4 a - b)+ 2 b ²; б) 2 x (y + 15 x) + (x - 6 y)(5 y + 2 x).

710. Розв’яжіть рівняння:

а) ; б)

711. Запишіть у вигляді виразу:

а) подвоєний добуток змінної а та суми змінних m і n;

б) різницю квадратів виразів а – 1 і bc.

712. Сплав срібла і міді, загальна маса якого дорівнює 2 кг, містить 80% міді. Знайдіть масу срібла у сплаві.

713. Сплав міді й цинку має масу 4,2 кг. Знайдіть масу міді, якщо її у сплаві на 10% більше, ніж цинку.

714. До сплаву міді й олова, загальна маса якого дорівнює 2 кг, додали 200 г міді й одержали новий сплав, у якому міді стало в 1,2 разу більше, ніж олова. Скільки відсотків міді містив перший сплав?

Для тих, хто хоче знати більше