Різниця і сума кубів двох виразів 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Різниця і сума кубів двох виразів



Різницю квадратів двох виразів можна розкласти на множники за формулою різниці квадратів. Розкладаючи на множники різницю кубів двох виразів, використовують формулу різниці кубів:

a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2).

Доведемо цю тотожність, перемноживши вирази a - b і a 2+ ab + b 2:

(a - b)(a 2+ ab + b 2) = a 3 + а 2 b + ab 2 - a 2 b - ab 2 - b 3= a 3 - b 3.

У формулі різниці кубів тричлен a 2+ ab + b 2 називають неповним квадратом суми виразів а і b (він нагадує тричлен a 2+ 2 ab + b 2, який є квадратом суми виразів а і b). Отже, формулу різниці кубів можна сформулювати так:

Різниця кубів двох виразів дорівнює добутку різниці цих виразів і неповного квадрата їх суми.

При розкладі на множники суми кубів двох виразів використовують формулу суми кубів:

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2).

Доведемо цю тотожність:

(a + b)(a 2- ab + b 2) = a 3 - а 2 b + ab 2 + a 2 b - ab 2 + b 3= a 3 + b 3.

Тричлен a 2- ab + b 2 називають неповним квадратом різниці виразів а і b. Отже,

Сума кубів двох виразів дорівнює добутку суми цих виразів і неповного квадрата їх різниці.

Приклади розв’язання вправ

Приклад 1. Розкласти на множники:

а) a 3 - 64; б) 27 a 3+ 125 b 3; в) - x 3- y 6.

а) a 3 - 64 = a 3 - 43 = (a - 4)(a 2 + 4 a + 16);

б) 27 a 3+ 125 b 3 = (3 a)3 + (5 b)3 = (3 a + 5 b)(9 a 2 - 15 ab + 25 b 2);

в) - x 3- y 6 = -(x 3 + (y 2)3) = -(x + y 2)(x 2 - xy 2 + y 4). ●

Усно

655. Назвіть неповний квадрат різниці виразів:

a) x і y; б) c і d; в) p і 1; г) 2 і c.

656. Назвіть неповний квадрат суми виразів:

a) m і n; б) p і q; в) a і 1; г) 3 і x.

557. Розкладіть на множники: a) x 3 - y 3; б) m 3 + n 3.

Рівень А

Розкладіть на множники:

658. a) p 3 - q 3; б) b 3 - 1; в) x 3 - 27; г) 64 - y 3;

д) b 3 + c 3; е) a 3 + 8; є) 1 + y 3; ж) 125 + b 3.

659. a) m 3 - n 3; б) b 3 - 8; в) 27 - a 3; г) 1 - z 3;

д) x 3 + y 3; е) k 3 + 64; є) p 3 + 1; ж) 27 + c 3.

660. a) 27 x 3 - 1; б) 1 + 64 b 3; в) 8 а 3 - 27; г) 125 - 27 y 3;

д) 64 m 3 - 27; е) b 3 + ; є) y 3 - 1; ж) x 3 + 1.

661. a) m 6 - n 3; б) a 9 + b 6; в) а 6 + c 6; г) x 12 - y 9.

662. a) 8 z 3 + 1; б) 1 - 125 p 3; в) 27 x 3 + 64; г) 125 c 3 - 8;

д) a 3 - 1; е) 27 m 3 + ; є) y 3 - x 9; ж) p 6 + q 12.

Рівень Б

663. Запишіть у вигляді добутку:

a) - a 3 + 8; б) - b 3 - c 3;

в) -27 + y 3; г) -64 - z 3.

Розкладіть на множники:

664. а) 64 a 3 - 27 b 3; б) p 3 - 8 q 3; в) 27 а 6 - 125;

г) 0,001 a 6 - b 3 c 3; д) 8 x 9 + 125 y 6; е) 1000 - a 3 b 9 c 12.

665. а) 216 b 3 - 27 c 3; б) 125 m 3 + n 6; в) 0,064 x 9 y 6 z 3 - 27.

Доведіть, що значення виразу ділиться на дане число:

666. а) 9213 - 8213 на 100; б) 573 + 283 на 85.

667. а) 273 + 373 на 64; б) 753 - 463 на 29.

Спростіть вираз:

668. а) (a - b)(a 2+ ab + b 2) + b 3; б) (x 2 - 1)(x 4+ x 2 + 1)+ 1;

в) (a 2 + b 2)(a 4- a 2 b 2 + b 4)- а 6 - b 6;

г) (a + 2)(a 2- 2 a + 4)- (a - 2)(a 2+ 2 a + 4).

669. а) (x + 3)(x 2- 3 x + 9)- 27;

б) (b - 1)(b 2+ b + 1)+ (b + 1)(b 2- b + 1).

Розв’яжіть рівняння:

670. а) (x - 2)(x 2+ 2 x + 4) = x 3+ 4 x; б) (y 2 - 3 y + 9)(y + 3) = 6 y + y 3.

671. а) (1 - x)(1+ x + x 2) = x - x 3; б) -8 z + z 3 = (z - 4)(z 2 + 4 z + 16).

Рівень В

672. Доведіть тотожність:

а) (a + b)(a 2 - ab + b 2+ 3 a - 3 b + 3) = (a + 1)3+ (b - 1)3;

б) a 4- b 4 = (a - b)(a 3 + a 2 b + ab 2 + b 3);

в) a 5- b 5 = (a - b)(a 4 + a 3 b + a 2 b 2 + ab 3 + b 4);

г) a 5+ b 5 = (a + b)(a 4 - a 3 b + a 2 b 2 - ab 3 + b 4).

Доведіть, що значення виразу ділиться на дане число:

673. а) 1245 - 745 на 50; б) 875 + 885 на 175.

Вказівка. Використайте тотожності в) і г) задачі 670.

674. а) 610 + 810 на 100; б) 315 - 220 на 11.

675. Сума і добуток двох чисел відповідно дорівнюють 3,5 і 3. Знайдіть суму кубів цих чисел.

Вправи для повторення

676. Спростіть вираз:

а) (2 x - y)(x - 2 y)+ 5 xy; б) (3 a - b)(- a + 3 b)+ 3(a 2 + b 2);

в) (a 2- a + 1)(a 2+ a + 1) - (а 2+ 1)2.

677. Обчисліть:

а) 410 - (45 + 3)(45 - 3); б) 212 × 312 - 4 - (66 + 4)(66- 4).

678. Поїзд затримали на станції А на 10 хв, однак він надолужив згаяний час на перегоні між станціями А і В, пройшовши його зі швидкістю 105 км/год, замість запланованої швидкості 90 км/год. Знайдіть відстань між станціями А і В.

679*. Розв’яжіть рівняння:

а) |2 х + 5| = |3 х - 2|; б) | х (х + 1)| = |2 х |.

21. Застосування кількох способів
для розкладання многочленів на множники

Часто, розкладаючи многочлен на множники, потрібно використати
кілька способів. Якщо це можливо, то розкладання доречно починати з винесення спільного множника за дужки.

Розглянемо кілька прикладів.

1. Розкладемо на множники многочлен 7 a 2 b 2 - 7 b 4.

7 a 2 b 2 - 7 b 4 = 7 b 2(a 2 - b 2) = 7 b 2(a - b)(a + b).

Спочатку винесли спільний множник 7 b 2 за дужки, а потім застосували формулу різниці квадратів.

2. Розкладемо на множники многочлен 6 - 9 с - 24 abc + 36 bc.

Усі члени многочлена мають спільний множник 3 с. Винесемо його за дужки:

6 - 9 с - 24 abc + 36 bc = 3 с (2 a - 3- 8 ab + 12 b).

Многочлен 2 a - 3- 8 ab + 12 b розкладемо на множники способом групування:

2 a - 3- 8 ab + 12 b = (2 a - 3)- 4 b (2 a - 3)= (2 a - 3)(1 - 4 b).

Отже,

6 - 9 с - 24 abc + 36 bc = 3 с (2 a - 3)(1 - 4 b).

Приклади розв’язання вправ

Приклад 1. Розкласти на множники тричлен:

а) х 2- 6 х - 16; б) а 2+ 2 аb - 8 b 2.

а) Якщо до виразу х 2- 6 х = х 2- 2×3× х додати 32, тобто 9, то одержимо вираз х 2- 6 х + 9, який є квадратом двочлена х - 3. Тому, виділивши квадрат цього двочлена, матимемо:

х 2- 6 х - 16 = х 2- 6 х + 9 - 9 - 16=(х - 3)2- 25 = (х - 3)2- 52 =

= (х - 3 - 5)(х - 3+ 5)= (х - 8)(х + 2);

б) a 2 + 2 ab - 8 b 2 = a 2 + 2 ab + b 2 - b 2 - 8 b 2 = (a + b)2 - 9 b 2 =

= (a + b - 3 b)(a + b + 3 b) =(a - 2 b)(a + 4 b). ●

Приклад 2. Розкласти на множники многочлен m 2 - 4 n 2 - mk - 2 nk.

m 2 - 4 n 2 - mk - 2 nk = m 2 - (2 n)2 - (mk + 2 nk) =

= (m - 2 n)(m + 2 n) - k (m + 2 n) = (m + 2 n)(m – 2 n - k). ●

Приклад 3. Розв’язати рівняння 18 x 3- 2 х = 0.

● Розкладемо ліву частину рівняння на множники:

18 x 3- 2 х = 2 х (9 х 2 - 1) = 2 х (3 х - 1)(3 х + 1).

Маємо рівняння

2 х (3 х - 1)(3 х + 1) = 0,

звідки: х = 0, або 3 х - 1 = 0, або 3 х + 1 = 0; х = 0, або х = , або х = - .

Відповідь. 0; ; - . ●

Рівень А

Розкладіть на множники:

680. a) 7 a 2 - 7 b 2; б) km 2 - kn 2; в) 9 x 2 - 36;
г) 4 a 3 - 4 a; д) x 4 - x 2; е) ca 2 - 9 cb 2;
є) 2 a 3 - 2 b 3; ж) 27 c + b 3 c.

681. a) 5 p 2 - 5 q 2; б) 3 b 2 - 27; в) 24 - 6 a 2; г) 3 y 4 - 3 y 2;

д) 18 xy 2 - 2 x; е) 4 k 3 + 32; є) 6 a - 6 ab 3; ж) a 3 - a 5.

682. а) 3 p 2 + 6 pq + 3 q 2; б) - b 2+ 2 bc - c 2; в) 81 - 54 b + 9 b 2;

г) 2 xb 2 + 8 xb + 8 x; д) 9 a 3 + 6 a 2 + a; е) m - 10 m 2 + 25 m 3.

683. а) 4 x 2 + 8 x + 4; б) n - 14 nc + 49 nc 2;

в) -6 a 2 + 24 ab - 24 b 2; г) x 3 - 12 x 2 + 36 х.

Знайдіть значення виразу:

684. а) 4 x 2 - 4 у 2, якщо x = 51; у = 49;

б) 5 a 2 - 10 ab + 5 b 2, якщо a = 7,3; b = 2,3.

685. а) 3 m 2 + 6 mn + 3 n 2, якщо m = 4,8; n = 5,2;

б) 10 a 2 - 10 b 2, якщо a = 63; b = 37.

Розв’яжіть рівняння:

686. а) 8 x 2- 72 = 0; б) 12 x 2 - 3 = 0.

687. а) 5 x 2- 125 = 0; б) 50 x 2 - 2 = 0.

Рівень Б

Розкладіть на множники:

688. a) a 4 - n 4; б) k 4 - 16.

689. a) x 4 - 1; б) 81 - b 4.

690. а) 3 mn + 24 n - 9 m - 72; б) bx 4 - x 4 + bx 3 - x 3;

в) -4 abc - 32 bc - 12 ac - 96 c; г) 2 y 4 - 2 y 3 a + 2 y 2 ab - 2 y 3 b;

д) 1,5 a 2- 0,5 a 2 x + 1,5 ax - 0,5 ax 2; е) x 2 y 2 a - x 2 y 2 + 5 axy - 5 xy.

691. a) 4 ac + 2 bc + 4 xac + 2 xbc; б) m 2 a - m 2 b + 3 am - 3 bm;

в) - a 3 b - a 2 b 2 - a 2 b - ab 2; г) 0,2 x 4 + 0,6 x 3 y - 0,4 x 3 - 1,2 x 2 y.

692. а) x 2 - 2 xy + y 2- z 2; б) x 2 - a 2 - 2 ab - b 2;

в) c 2 + 9- 6 c - k 2; г) 4 x 2 - 4 y - y 2 - 4.

693. а) m 2 + 2 mn + n 2- k 2; б) а 2 - 4 x 2 - 4 xy - y 2;

в) a 2 - 8 a - b 2 + 16; г) p 2 - 25 + 10 q - q 2.

694. Розкладіть многочлен a 2 + 2 ab + b 2- c 2 + 2 c - 1 на множники. Доведіть, що коли a + b + с = 1, то значення цього многочлена дорівнює нулю.

695.Розкладіть на множники многочлен a 2 + 2 a + 1 - b 2- c 2 + 2 bc та знайдіть його значення, якщо a = -1 і b = с.

Розкладіть на множники:

696. а) a 2 - b 2 + a + b; б) x 2 - a 2 + x - a;

в) 4 x 2 + y - 2 x - y 2; г) 3,5 x 2 - 3,5 y 2 - x + y.

697. а) c 2 - b 2 + c - b; б) x + y + x 2 - y 2 ;

в) a 2 + 4,8 ab - x 2 - 4,8 xb.

Розкладіть на множники та знайдіть значення виразу:

698. а) x 2 - y 2+ (x + y)2, якщо х = у =

б) a 2 + (a + 4)2 - 16, якщо а = 96.

699. а) a 2 - b 2+ (a - b)2, якщо а = b =

б) (m - 2)2+ m 2 - 4, якщо m = 102.

Розв’яжіть рівняння:

700. а) x 3- x = 0; б) 1,6 y 3 - 0,4 y = 0;

в) x 3 - 4 x 2 - 4 x + 16 = 0; г) 2 z 3 - z 2 = 8 z - 4;

д) x 4 - x 3 - x 2 + x = 0; е) x 3 - 2 x 2 + 4 x - 8 = 0.

701. а) x 3- 4 x = 0; б) 1,2 z 3 - 0,3 z = 0;

в) x 3 - x 2 - 9 x + 9 = 0; г) 4 y 3 - y 2 = 4 y – 1.

Рівень В

Розкладіть на множники:

702. а) х 2+ 2 х - 8; б) а 2- 8 а + 12;

в) 4 с 2- 4 с - 3; г) х 2- 6 ху + 5 y 2;

д) а 2+ 12 аb + 11 b 2; е) 9 а 2- 6 аb - 8 b 2.

703. а) 2 a 2+ a - 4 ab - b + 2 b 2; б) a 3 - b 3- (a - b)3.

704. Розв’яжіть рівняння:

а) х 2- 8 х + 7 = 0; б) у 2+ 12 у + 20 = 0;

в) (x - 1)2- 6(x - 1) + 8 = 0; г) (x - 1)(x - 3)(x 2 - 3) = (x - 1)(x - 3).

705. Доведіть тотожність:

a 6- b 6 = (a - b)(a + b)(a 2 - ab + b 2)(a 2 + ab + b 2).

706. Доведіть, що значення виразу 334 + 992 - 330- 990 ділиться на 80.

707. Доведіть, що значення виразу 1110 + 4 × 749 + 1111- 4 × 748 ділиться на 12.

708. Доведіть, що рівність a 3+ b 2 = ab (а + 1) є правильною тільки тоді, коли b = а або b = а 2.

Вправи для повторення

709. Подайте у вигляді многочлена:

а) (3 a + 2 b)(4 a - b)+ 2 b 2; б) 2 x (y + 15 x) + (x - 6 y)(5 y + 2 x).

710. Розв’яжіть рівняння:

а) ; б)

711. Запишіть у вигляді виразу:

а) подвоєний добуток змінної а та суми змінних m і n;

б) різницю квадратів виразів а – 1 і bc.

712. Сплав срібла і міді, загальна маса якого дорівнює 2 кг, містить 80% міді. Знайдіть масу срібла у сплаві.

713. Сплав міді й цинку має масу 4,2 кг. Знайдіть масу міді, якщо її у сплаві на 10% більше, ніж цинку.

714. До сплаву міді й олова, загальна маса якого дорівнює 2 кг, додали 200 г міді й одержали новий сплав, у якому міді стало в 1,2 разу більше, ніж олова. Скільки відсотків міді містив перший сплав?

Для тих, хто хоче знати більше



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2016-09-20; просмотров: 1091; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.81.30.41 (0.1 с.)