Степінь з натуральним показником

Нагадаємо, що добуток двох або трьох однакових множників, кожен з яких дорівнює а, — це відповідно квадрат або куб числа а. Наприклад:

5 × 5 = 5²; 5² — квадрат числа 5;

5 × 5 × 5 = 5³; 5³ — куб числа 5.

Квадрат числа 5 називають ще другим степенем цього числа, а куб — третім степенем.

Відповідно добуток 5 × 5 × 5 × 5 позначають 5⁴ і називають четвертим степенем числа 5. У виразі 5⁴ число 5 називають основою степеня, число 4 ¾ показником степеня, а весь вираз 5⁴ називають степенем.

Означення

Степенем числа a з натуральним показником п, більшим від 1, називають добуток п множників, кожен з яких дорівнює а. Степенем числа а з показником 1 називають саме число а.

Степінь з основою а й показником п записують так: аⁿ, читають: «а в степені п», або «n -ий степінь числа а».

Отже, за означенням

, якщо n > 1,

а ¹ = а.

З’ясуємо знак степеня з натуральним показником.

1) а = 0, тоді 0¹ = 0, 0² = 0 × 0 = 0,... ¾ будь-який натуральний степінь числа 0 дорівнює 0.

2) а > 0, тоді а ¹ = а > 0, а ² = аa > 0,... ¾ будь-який натуральний степінь додатного числа є число додатне.

3) а < 0, тоді а ¹ = а < 0, а ² = аa > 0, а ³ = аaa < 0, а ⁴ = ааaa > 0,.... Степінь від’ємного числа з парним показником є число додатне, оскільки добуток парного числа від’ємних чисел додатний. Степінь від’ємного числа з непарним показником є число від’ємне, оскільки добуток непарного числа від’ємних чисел від’ємний.

Підносити числа до степеня з натуральним показником можна за допомогою мікрокалькулятора. Обчислити, наприклад, значення 3,5⁶ можна за схемою:

3,5

´

3,5

´

3,5

´

3,5

´

3,5

´

3,5

=

або за більш зручною схемою:

3,5

´

=

=

=

=

=

Піднесення до степеня — дія третього ступеня. Нагадаємо, що коли вираз без дужок містить дії різних ступенів, то спочатку виконують дії вищого ступеня, відтак — нижчого. Так, щоб знайти значення виразу 2 × 3² – 64,
дії потрібно виконувати в такій послідовності: 1) піднесення до степеня; 2) множення; 3) віднімання.

Приклади розв’язання вправ

Приклад 1. Обчислити 4 × (-5)³ + 8 × 0,5.

● Виконуючи обчислення, можна:

а) записувати кожну дію окремо:

1) (-5)³ = -125; 2) 4 × (-125) = -500;

3) 8 × 0,5 = 4; 4) -500 + 4 = -496;

б) записувати обчислення в рядок:

4 × (-5)³ + 8 × 0,5 = 4 × (-125) + 4 = -500 + 4 = -496.

Відповідь. -496. ●

Усно

233. Прочитайте вирази, назвіть основи й показники степенів:

а ¹²; (-3)⁴; (-0,05)²⁰; m ⁹; 3 ^m;

234. Обчисліть: 1⁷; 2⁴; (-2)⁴; 3³; (-3)³; (-5)²; 4³; 0,1².

235. Значення яких степенів є додатними; від’ємними:

(-7)⁴; (-11)³; 15⁶; (-21)²; 3³; 17³¹; (-1,5)²⁰; (-0,05)¹¹?

Рівень А

Запишіть добуток у вигляді степеня:

236. а) 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4; б) ;

в) г) ;

д) (- b) × (- b) × (- b) × (- b); е) (х - y) × (х - y) × (х - y).

237. а) (-5) × (-5) × (-5) × (-5); б)

в) ; г) (ab) × (ab) × (ab) × (ab) × (ab).

238. Запишіть степінь у вигляді добутку:

а) 6⁴; (-7)⁶; 1,2⁵; а) a ⁵; (2 х)³; (bc)⁴.

Знайдіть значення степеня:

239. а) 12²; б) 4⁴; в) (-0,7)³; г) (-1,5)⁴;

д) е) є) ж) (-0,02)³.

240. а) 2⁵; б) (-3)⁴; в) (-1)⁵; г) 0,4³;

д) 1,1³; е) 0,04³; є) ж)

Обчисліть:

241. а) 6 × (-2)⁴; б) 6 × (-2⁴); в) 5 × (-3)³; г) 5 × (-3³);

д) 5³ - 5²; е) (-6 × 0,5)⁵; є) 0,1³ - 0,1²; ж) (15 - 16)¹⁰.

242. а) (3 - 7)⁴; б) 2 × (-7³); в) 2⁶ + (-3)³; г) (-4 + 3)⁹.

243. Знайдіть значення виразу:

а) а ²; (- а)²; - а ², якщо а = 3; б) а ³; (- а)³; - а ³, якщо а = 10.

244. Знайдіть значення виразу:

а) 2 а ³ + 1, якщо а = -2; а = 0; а = 2; б) (х + 1)⁴, якщо х = -2; х = 2.

Рівень Б

Заповніть таблицю:

245.

n

246.

n

n ^4

n ^3

4 ^n

3 ^n

Порівняйте значення виразів:

247. а) (5 × 2)² і 5² × 2²; б) (2 + 3)³ і 2³ + 3³;

в) 7⁴ - 6⁴ і 5⁴; г) 5³ + 21³ і 26³.

248. а) (7 - 5)² і 7² - 5²; б) (10: 2)³ і 10³: 2³;

в) 14² + 19² і 33²; г) 12⁴ - 3⁵ і 12³ + 3⁶.

Знайдіть значення виразу:

249. b ⁴ + b ³ + b ² + b + 1, якщо b = -2; b = -1; b = 0; b = 1; b = 2.

250. х ⁵ - х ⁴ + х ³ - х ² + х, якщо х = -1; х = 0; х = 2.

Подайте у вигляді квадрата або куба числа:

251. 27; 144; -125; 216; 0,125; 0,001;

252. 64; 1000; -8; 6,25; 0,008;

253. Доведіть, що вираз набуває лише додатних значень:

а) а ² + 1; б) а ¹⁰ + 5; в) (а - 2)² + 2; г) (а + 4)⁴ + 0,5.

Рівень В

254. Знайдіть значення виразу, якщо а = 0; а = 1; а = -1:

а) а + а ² + а ³ +… + а ⁹⁹ + а ¹⁰⁰ (ця сума має 100 доданків, кожен з яких є степенем числа а; показники степенів ¾ усі натуральні числа від 1 до 100 включно);

б) а + а ² + а ³ +… + а ⁹⁸ + а ⁹⁹; в) аа ² а ³… а ⁹⁹ а ¹⁰⁰; г) аа ² а ³… а ⁹⁸ а ⁹⁹.

255. Знайдіть найменше значення виразу:

а) а ² + 1; б) а ⁴ - 2; в) (а - 1)² + 12; г) (2 а + 2)⁴ - 5.

Для якого значення а значення виразу є найменшим?

256. 1) Доведіть, що вираз набуває лише додатних значень:

а) х ² +(х + 1)²; б) (х - 2)² + (х - 1)⁸; в) х ⁴ + | х + 1|.

2) Розв’яжіть рівняння:

а) х ² +(х + 1)² = 0; б) (х - 2)² + (х - 1)⁸ = 0; в) х ⁴ + | х + 1| = -1.

257. Знайдіть останню цифру числа 987⁹⁸⁷.

Вправи для повторення

258. Розв’яжіть рівняння:

а) 5 х - 3 = 3 х + 17; б) 7 х + 32 = 12 х + 25;

в) 2(х - 11) - 5(5 - 2 х) = –23; г) 8(-3 х + 4) + 14(3 + 2 х) = 4 + 2 х.

259. Футбольна команда у 15 матчах набрала 23 очка, програвши 6 матчів. У скількох матчах команда здобула перемогу і скільки матчів зіграла внічию? (За перемогу команді нараховується 3 очка, за нічию ¾ 1 очко, за поразку ¾ 0 очок.)

260. Середнє арифметичне трьох чисел дорівнює -8. Перше число на 5 більше від другого, а друге — на 1 менше від третього. Знайдіть ці числа.

Властивості степеня з натуральним показником