Побудувати ряд Фур’є для заданої функції

1. , ; .

,

тобто це функція загального виду, отже, ряд Фур’є цієї функції має вигляд

.

Обчислимо коефіцієнти цього ряду.

;

 

;

 

.

 

Таким чином, ряд Фур’є має вигляд

.

 

2. , ;

,

тобто функція є парною, а її ряд Фур’є має вигляд

.

Обчислимо коефіцієнти ряду.

 

;

 

.

 

Отже, .

3. Функція задана графічно.

Рис.4.1

Графік даної функції симетричний відносно початку координат, тому функція непарна, періодична с періодом 2π.

Ряд Фур’є має вигляд

де .

Задамо функцію аналітично. Графік функції – пряма, що сполучає точки та .Запишемо рівняння прямої :

.

Тоді

.

Таким чином, ряд Фур’є функції, зображеної на рис.1, виглядає так:

.

 

Завдання для самостійної роботи

 

Знайти ряд Фур’є для функцій

1. .

2. .

3. На проміжку функцію задано графічно; .

Рис. 4.2

Відповіді

1. .

2. .

3.

 

4.3. Ряди Фур’є 2 l - періодичних функцій

 

Якщо f(x) є функцією періоду 2 l, її розвинення в ряд Фур’є має вигляд

,

де коефіцієнти обчислюються за формулами

,

,

.

Для парних функцій формули мають вигляд

, , ,

а для непарних –

, .

 

Зразки розв’язання задач

 

1. , ;

Функція є періодичною з періодом , отже, .

– функція загального вигляду,

отже, .

Обчислимо коефіцієнти ряду.

;

;

.

Остаточно .

 

2. ;

Функція є періодичною з періодом , отже, . Очевидно, що функція є ні парною, ні непарною, отже,

.

Обчислимо коефіцієнти ряду.

,

,

,

;

,

,

,

;

,

,

,

.

Таким чином, ряд має вигляд

.

3. , ; .

Функція має період , отже, .

– функція непарна, тобто її ряд Фур’є має вигляд .

Обчислимо коефіцієнти ряду.

.

Отриманий результат справджується для , оскільки застосування відомої формули з таблиці інтегралів можливо лише, якщо .

Окремо обчислимо коефіцієнт :

.

Таким чином, , або .

Отриманий результат є очікуваним, оскільки функція співпадає з однією з функцій системи, за якою будується розвинення.

 

4.На проміжку періодичну з періодом функцію y=f(x) задано графічно.

Рис.4.3

 

Період функції 2 l= 8, отже, півперіод l= 4. Графік є симетричним відносно осі , тому функція парна та розкладається в ряд Фур’є за косинусами:

.

Задамо функцію аналітично. Запишемо рівняння прямої, яка проходить через точки та .

Користуючись рівнянням , маємо

.

Таким чином, для .

Якщо , то ; при .

Остаточно .

 

Обчислимо коефіцієнти Фур’є:

;

 

.

 

.

 

Зауваження. Також цілком коректною є задача побудови ряду Фур’є для функції, яку задано лише на скінченому проміжку . Треба лише зауважити, що застосовувати отримане розвинення можна виключно для значень аргументу із зазначеного проміжку.

 

Завдання для самостійної роботи

 

Знайти ряд Фур’є для функцій.

1. .

2.

 

 

Відповіді

1. .

2. .

 

 

4.4. Ряди Фур’є для функцій, заданих на проміжку

 

Якщо функцію задано на проміжку , то її визначення можна доповнити для проміжку , та побудувати розвинення отриманої функції в ряд Фур’є.

У випадку, коли функцію продовжено на проміжку парним образом, отримують розвинення заданої на функції за косинусами:

, ,

де ,

.

Якщо продовження є непарним, отримують розвинення заданої функції за синусами:

, ,

де .

Аналогічно будується розвинення в ряд Фур’є функцій, заданих на проміжку .

 

Зразки розв’язання задач

 

1. Побудувати розвинення в ряд Фур’є функції ,

а) за синусами;

б) за косинусами.

 

а) Функцію задано на проміжку , отже, . Розвинення в ряд Фур’є за синусами має вид

.

Обчислимо коефіцієнти цього ряду.

.

Остаточно , .

 

б) Розвинення функції в ряд Фур’є за косинусами має вид

.

Обчислимо коефіцієнти ряду.

;

 

.

 

Таким чином,

, .

 

 

2. Побудувати ряди Фур’є за синусами та за косинусами функції, заданої графічно.

Рис.4.4

 

Задамо функцію аналітично. Очевидно, що, якщо , то , а для , отже,

.

Функцію задано на проміжку , тобто .

а) Розвинення в ряд за синусами має вид

.

Обчислимо коефіцієнти цього ряду.

.

Тоді , .

 

б) Побудуємо ряд за косинусами:

.

.

.

Отже,

, .

 

Завдання для самостійної роботи

Побудувати розвинення в ряди Фур’є за синусами та за косинусами функцій:

1. , .

2. .

3.

Рис.4.5

 

Відповіді

 

1. а) ;

б) .

2. а) ;

б) .

3. а) ;

б) .

 

 

ЛІТЕРАТУРА

 

1. Дубовик В.П., Юрик І.І. Вища математика: Навч. посібник. – К.: А.С.К., 2006. – 648 с.

2. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления.

В 3-х т. Т. 2: М: – ФИЗМАТЛИТ, 2001. – 810 с.

3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: Учеб. для втузов. В 2-х т.: Т. 2: – М: – Интеграл-Пресс, 2004. – 544 с.

4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч. Ч. 2: – М.: Оникс, 2006. – 416 с.

5. Сборник задач по высшей математике. 2 курс / К.Н. Лунгу, В.П. Норин, Д.Т. Письменный и др. – М.: АЙРИС-пресс, 2009. – 592 с.

З М І С Т

Вступ ……………………………………………………………………………….3

 

Розділ 1

Числові ряди

1.1. Знакододатні ряди…………………………………………………………….4

1.2. Знакозмінні ряди…………………………………………………………….19

 

Розділ 2

Степеневі ряди

2.1. Збіжність степеневих рядів…….……………………………………………23

2.2. Розвинення функцій в степеневі ряди……………………………………...32

 

Розділ 3

Застосування рядів

3.1. Наближене обчислення значень функцій та визначених

інтегралів…………………………………………………………………......50

3.2. Інтегрування диференціальних рівнянь за допомогою

степеневих рядів……………………………………………………………..60

 

Розділ 4

Ряди Фур’є

4.1. Основні формули…………………………………………………………….66

4.2. Розвинення в ряди Фур’є 2π -періодичних функцій…………..…………...68

4.3. Ряди Фур’є 2l -періодичних функцій…………………………..…………..74

4.4. Ряди Фур’є для функцій, заданих на проміжку ……………..…….81

 

 

ЛІТЕРАТУРА ……………………………………………………………………..86

Навчальне видання

Кадильникова Тетяна Михайлівна

Кагадій Лариса Петрівна

Кочеткова Інна Борисівна

Сушко Лариса Федорівна

Запорожченко Олена Євгенівна

 

 

Вища математика в прикладах

та задачах.

Частина V

Навчальний посібник

 

 

Тематичний план 2011, поз.

Підписано до друку. Формат 60х84 1/16. Папір друк. Друк плоский.

Облік.-вид. арк.. Умов. друк. арк.. Тираж 100 пр. Замовлення №

Національна металургійна академія України

49600, м. Дніпропетровськ-5, пр. Гагаріна, 4

__________________________________

Редакційно-видавничий відділ НМетАУ