Побудувати ряд Фур’є для заданої функції



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Побудувати ряд Фур’є для заданої функції



1. , ; .

,

тобто це функція загального виду, отже, ряд Фур’є цієї функції має вигляд

.

Обчислимо коефіцієнти цього ряду.

;

 

;

 

.

 

Таким чином, ряд Фур’є має вигляд

.

 

2. , ;

,

тобто функція є парною, а її ряд Фур’є має вигляд

.

Обчислимо коефіцієнти ряду.

 

;

 

.

 

Отже, .

3. Функція задана графічно.

Рис.4.1

Графік даної функції симетричний відносно початку координат, тому функція непарна, періодична с періодом .

Ряд Фур’є має вигляд

де .

Задамо функцію аналітично. Графік функції – пряма, що сполучає точки та .Запишемо рівняння прямої :

.

Тоді

.

Таким чином, ряд Фур’є функції, зображеної на рис.1, виглядає так:

.

 

Завдання для самостійної роботи

 

Знайти ряд Фур’є для функцій

1. .

2. .

3. На проміжку функцію задано графічно; .

Рис. 4.2

Відповіді

1. .

2. .

3.

 

4.3. Ряди Фур’є 2l- періодичних функцій

 

Якщо f(x) є функцією періоду 2l, її розвинення в ряд Фур’є має вигляд

,

де коефіцієнти обчислюються за формулами

,

,

.

Для парних функцій формули мають вигляд

, , ,

а для непарних –

, .

 

Зразки розв’язання задач

 

1. , ;

Функція є періодичною з періодом , отже, .

– функція загального вигляду,

отже, .

Обчислимо коефіцієнти ряду.

;

;

.

Остаточно .

 

2. ;

Функція є періодичною з періодом , отже, . Очевидно, що функція є ні парною, ні непарною, отже,

.

Обчислимо коефіцієнти ряду.

,

,

,

;

,

,

,

;

,

,

,

.

Таким чином, ряд має вигляд

.

3. , ; .

Функція має період , отже, .

– функція непарна, тобто її ряд Фур’є має вигляд .

Обчислимо коефіцієнти ряду.

.

Отриманий результат справджується для , оскільки застосування відомої формули з таблиці інтегралів можливо лише, якщо .

Окремо обчислимо коефіцієнт :

.

Таким чином, , або .

Отриманий результат є очікуваним, оскільки функція співпадає з однією з функцій системи, за якою будується розвинення.

 

4.На проміжку періодичну з періодом функціюy=f(x)задано графічно.

Рис.4.3

 

Період функції 2l=8, отже, півперіод l=4. Графік є симетричним відносно осі , тому функція парна та розкладається в ряд Фур’є за косинусами:

.

Задамо функцію аналітично. Запишемо рівняння прямої, яка проходить через точки та .

Користуючись рівнянням , маємо

.

Таким чином, для .

Якщо , то ; при .

Остаточно .

 

Обчислимо коефіцієнти Фур’є:

;

 

.

 

.

 

Зауваження. Також цілком коректною є задача побудови ряду Фур’є для функції, яку задано лише на скінченому проміжку . Треба лише зауважити, що застосовувати отримане розвинення можна виключно для значень аргументу із зазначеного проміжку.

 

Завдання для самостійної роботи

 

Знайти ряд Фур’є для функцій .

1. .

2.

 

 

Відповіді

1. .

2. .

 

 

4.4. Ряди Фур’є для функцій, заданих на проміжку

 

Якщо функцію задано на проміжку , то її визначення можна доповнити для проміжку , та побудувати розвинення отриманої функції в ряд Фур’є.

У випадку, коли функцію продовжено на проміжку парним образом, отримують розвинення заданої на функції за косинусами:

, ,

де ,

.

Якщо продовження є непарним, отримують розвинення заданої функції за синусами:

, ,

де .

Аналогічно будується розвинення в ряд Фур’є функцій, заданих на проміжку .

 

Зразки розв’язання задач

 

1. Побудувати розвинення в ряд Фур’є функції ,

а) за синусами;

б) за косинусами.

 

а) Функцію задано на проміжку , отже, . Розвинення в ряд Фур’є за синусами має вид

.

Обчислимо коефіцієнти цього ряду.

.

Остаточно , .

 

б) Розвинення функції в ряд Фур’є за косинусами має вид

.

Обчислимо коефіцієнти ряду.

;

 

.

 

Таким чином,

, .

 

 

2. Побудувати ряди Фур’є за синусами та за косинусами функції, заданої графічно.

Рис.4.4

 

Задамо функцію аналітично. Очевидно, що, якщо , то , а для , отже,

.

Функцію задано на проміжку , тобто .

а) Розвинення в ряд за синусами має вид

.

Обчислимо коефіцієнти цього ряду.

.

Тоді , .

 

б) Побудуємо ряд за косинусами:

.

.

.

Отже,

, .

 

Завдання для самостійної роботи

Побудувати розвинення в ряди Фур’є за синусами та за косинусами функцій:

1. , .

2. .

3.

Рис.4.5

 

Відповіді

 

1. а) ;

б) .

2. а) ;

б) .

3. а) ;

б) .

 

 

ЛІТЕРАТУРА

 

1. Дубовик В.П., Юрик І.І. Вища математика: Навч. посібник. – К.: А.С.К., 2006. – 648 с.

2. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления.

В 3-х т. Т. 2: М: – ФИЗМАТЛИТ, 2001. – 810 с.

3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: Учеб. для втузов. В 2-х т.: Т. 2: – М: – Интеграл-Пресс, 2004. – 544 с.

4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч. Ч. 2: – М.: Оникс, 2006. – 416 с.

5. Сборник задач по высшей математике. 2 курс / К.Н. Лунгу, В.П. Норин, Д.Т. Письменный и др. – М.: АЙРИС-пресс, 2009. – 592 с.


З М І С Т

Вступ……………………………………………………………………………….3

 

Розділ 1

Числові ряди

1.1. Знакододатні ряди…………………………………………………………….4

1.2. Знакозмінні ряди…………………………………………………………….19

 

Розділ 2

Степеневі ряди

2.1. Збіжність степеневих рядів…….……………………………………………23

2.2. Розвинення функцій в степеневі ряди……………………………………...32

 

Розділ 3

Застосування рядів

3.1. Наближене обчислення значень функцій та визначених

інтегралів…………………………………………………………………......50

3.2. Інтегрування диференціальних рівнянь за допомогою

степеневих рядів……………………………………………………………..60

 

Розділ 4

Ряди Фур’є

4.1. Основні формули…………………………………………………………….66

4.2. Розвинення в ряди Фур’є -періодичних функцій…………..…………...68

4.3. Ряди Фур’є 2l-періодичних функцій…………………………..…………..74

4.4.Ряди Фур’є для функцій, заданих на проміжку ……………..…….81

 

 

ЛІТЕРАТУРА……………………………………………………………………..86


Навчальне видання

Кадильникова Тетяна Михайлівна

Кагадій Лариса Петрівна

Кочеткова Інна Борисівна

Сушко Лариса Федорівна

Запорожченко Олена Євгенівна

 

 

Вища математика в прикладах

та задачах.

Частина V

Навчальний посібник

 

 

Тематичний план 2011, поз.

Підписано до друку . Формат 60х84 1/16. Папір друк. Друк плоский.

Облік.-вид. арк. . Умов. друк. арк. . Тираж 100 пр. Замовлення №

Національна металургійна академія України

49600, м. Дніпропетровськ-5, пр. Гагаріна, 4

__________________________________

Редакційно-видавничий відділ НМетАУ



Последнее изменение этой страницы: 2016-06-26; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.234.211.61 (0.022 с.)