Наближене обчислення значень функцій та

Визначених інтегралів

 

Для наближеного обчислення значень функцій необхідно побудувати розвинення шуканої функції у степеневий ряд, який є збіжним для відповідного значення аргументу. Далі отриманий числовий ряд наближено замінюється його частинною сумою так, щоб залишковий член ряду не перевищував за абсолютним значенням заданої точності.

Для обчислення визначеного інтегралу будуємо розвинення підінтегральної функції у степеневий ряд та почленно інтегруємо його. Далі отриманий числовий ряд наближено замінюється його частинною сумою так, щоб залишковий член ряду не перевищував за абсолютним значенням заданої точності.

 

Зразки розв’язування задач

 

1.Записати у вигляді збіжного числового ряду .

 

Можна вважати, що шукана величина є значенням функції при :

.

Запишемо розвинення в ряд Маклорена логарифмічної функції

, .

Значення аргументу належить області збіжності наведеного ряду, отже, шукане значення функції можна отримати у вигляді числового ряду підстановкою вказаного значення у степеневий ряд:

.

 

2.Записати у вигляді збіжного числового ряду .

Спроба представити шукане значення у вигляді є

недоцільною, оскільки не належить області збіжності відповідного ряду, отже, використання цього розвинення неможливе.

Запишемо аргумент функції у вигляді дробу

; ; ; .

Таким чином, можна вважати, що

.

Представимо логарифм дробу у вигляді степеневого ряду:

,

Тоді .

 

3.Записати у вигляді збіжного числового ряду .

Можна вважати, що шукана величина є значенням функції при :

.

Запишемо розвинення в ряд Маклорена цієї функції.

, .

Значення аргументу належить області збіжності наведеного ряду, отже, шукане значення функції можна отримати у вигляді числового ряду підстановкою вказаного значення у степеневий ряд:

.

Ряд можна записати також у такій формі:

.

 

4.Записати у вигляді збіжного числового ряду .

Спроба представити шукане значення у вигляді є недоцільною, оскільки не належить області збіжності біноміального ряду, отже, використання цього розвинення неможливе.

Порівняємо значення аргумента кореня третього степеня з відповідними (третіми) степенями натуральних чисел:

, , ; .

Тоді можна представити аргумент кореня у вигляді

,

який надає можливість скористатися табличним розвиненням:

.

Запишемо відповідне табличне розвинення

, .

Значення аргументу належить області збіжності наведеного ряду, отже, шукане значення функції можна отримати у вигляді числового ряду підстановкою вказаного значення у отримане розвинення:

.

Ряд можна також записати у такій формі:

.

 

5.Записати у вигляді збіжного числового ряду .

Порівняємо значення аргументу кореня третього степеня з відповідними (третіми) степенями натуральних чисел:

, , ; .

Тоді можна представити аргумент кореня у вигляді

,

який надає можливість скористатися табличним розвиненням:

.

Запишемо відповідне табличне розвинення

, .

Значення аргументу належить області збіжності наведеного ряду, отже, шукане значення функції можна отримати у вигляді числового ряду підстановкою вказаного значення у отримане розвинення:

.

 

Зауваження. Спроба записати число 20 у вигляді є недоцільною, оскільки отримане таким чином значення аргументу степеневої функції лежить за межами області збіжності відповідного ряду.

 

6.Обчислити з точністю .

Представимо шукане значення у вигляді збіжного числового ряду.

;

.

Залишковий член цього ряду з чергуванням знаків за абсолютним значенням не перевищує першого відкинутого члена ряду, отже,

.

 

7.Обчислити з точністю .

 

Представимо шукане значення у вигляді збіжного числового ряду.

;

Залишковий член цього ряду з чергуванням знаків за абсолютним значенням не перевищує першого відкинутого члена ряду, отже,

.

 

Зауваження. При обчисленні значень тригонометричних функцій використовується радіанна міра аргументів.

 

8.Обчислити з точністю .

 

Представимо шукане значення у вигляді збіжного числового ряду.

.

Цей ряд на відміну від попередніх є знакосталим, тому необхідно застосувати іншу методику оцінки залишкового члена ряду.

Припустимо, що для забезпечення заданої точності треба залишити членів ряду. Тоді залишковий член ряду відповідає умові

.

Оберемо . Тоді . Очевидно, що обраної кількості членів ряду недостатньо для досягнення заданої точності.

Візьмемо . В цьому випадку , тобто .

Тоді

.

 

8.Обчислити з точністю .

Запишемо розвинення у ряд Маклорена підінтегральної функції .

; .

Цей ряд збігається на всій множині дійсних чисел.

Тоді

=

.

.

Залишковий член цього ряду з чергуванням знаків за абсолютним значенням не перевищує першого відкинутого члена ряду, отже,

.

 

9.Обчислити з точністю .

Підінтегральна функція не визначена при , але , отже, функція є інтегровною на проміжку . Запишемо розвинення у ряд Маклорена підінтегральної функції.

.

Отриманий ряд збігається, якщо , отже його можна почленно інтегрувати на проміжку .

Тоді

;

.

 

Залишковий член цього ряду з чергуванням знаків за абсолютним значенням не перевищує першого відкинутого члена ряду, отже,

.

 

Завдання для самостійної роботи

 

Записати значення функції у вигляді збіжного числового ряду

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

Обчислити значення функції з заданою точністю

10. , . 11. , .

12. , (скористатися тим, що ).

Обчислити визначений інтеграл з заданою точністю

13. , 14. , .

Відповіді.

1. 2. 3. 4.

5. 6.

7. 8.

9.

10. 0,607 11. 8,246 12. 0,81 13. 0,157 14. 0,24951