З’ясувати, чи буде заданий ряд розбіжним, абсолютно або умовно збіжним.

1.

Члени заданого ряду мають різні знаки. Дослідимо цей ряд на абсолютну збіжність.

Узагальнений гармонічний ряд збігається (оскільки показник степеня ). Згідно з ознакою порівняння знакододатний ряд також збігається, отже знакозмінний ряд збігається абсолютно.

 

2.

Знаки членів ряду чергуються та відповідають залежності . Загальний член ряду задається формулою .

Перевіримо, чи виконуються умови теореми Лейбніца.

.

За необхідною умовою збіжності ряд розбігається.

 

3.

Загальний член ряду задається формулою .

Перевіримо, чи виконуються умови теореми Лейбніца.

1) ;

2) , , , …

, .

За теоремою Лейбніца ряд збігається.

Дослідимо ряд з модулів .

~ .

Узагальнений гармонічний ряд розбігається (оскільки показник степеня ).

.

Згідно з граничною ознакою порівняння знакододатний ряд також розбігається, отже, ряд збігається умовно.

 

Зауваження. Умова спадності може виконуватися не з першого члена ряду.

4.

Загальний член ряду задається формулою .

Перевіримо, чи виконуються умови теореми Лейбніца.

1) ;

2) , , , …

, , , оскільки функція

є монотонно спадною для ().

За теоремою Лейбніца ряд збігається.

Дослідимо ряд з модулів . Скористаємося для цього ознакою Даламбера.

, .

.

За ознакою Даламбера ряд збігається, отже, ряд збігається абсолютно.

Зауваження. У останньому прикладі можна обмежитися дослідженням ряду з модулів, оскільки при абсолютній збіжності автоматично забезпечується збіжність за Лейбніцем.

 

5.

Дослідимо ряд з модулів . Скористаємося для цього ознакою Даламбера.

, .

.

За ознакою Даламбера ряд збігається, отже, ряд збігається абсолютно.

Зауваження. Якщо при дослідженні ряду з модулів за радикальною ознакою Коші або за ознакою Даламбера з’ясовано, що цей ряд розбігається, то можна зробити висновок, що буде розбіжним і знакозмінний ряд, оскільки в таких випадках ( або ) не виконується необхідна умова збіжності.

 

Завдання для самостійної роботи

 

1. 2. 3.

4. 5. 6.

Відповіді.

1. Абсолютно збігається. 2. Розбігається. 3. Абсолютно збігається. 4. Умовно збігається. 5. Умовно збігається. 6. Абсолютно збігається.

 

 

Розділ 2

СТЕПЕНЕВІ РЯДИ

Збіжність степеневих рядів

 

Розглянемо послідовність функцій . Вираз вигляду

називається функціональним рядом.

Ряд є збіжним в точці , якщо збігається числовий ряд , та абсолютно збіжним, якщо збігається ряд .

Множина всіх значень аргументу , для яких функції , ,... визначені, а ряд збігається, називається областю збіжності цього ряду.

Сума називається п -ю частинною сумою ряду , а її границя – сумою цього ряду. Різницю називають залишком ряду.

Область збіжності функціонального ряду можна знайти за ознакою Даламбера або радикальною ознакою Коші.

 

Ознака Даламбера.

Функціональний ряд є абсолютно збіжним для тих значень аргументу х, для яких справджується нерівність

.

Якщо , ряд є розбіжним, а поведінка функціонального ряду при тих значеннях аргументу, для яких , потребує окремого дослідження.

 

Ознака Коші.

Функціональний ряд є абсолютно збіжним для тих значень аргументу х, для яких справджується нерівність

.

Якщо , ряд є розбіжним, а поведінка функціонального ряду при тих значеннях аргументу, для яких , потребує окремого дослідження.

 

Функціональний ряд вигляду , називається степеневим, а числа , , ,... ,... – коєфіцієнтами цього ряду.

Якщо , степеневий ряд має вигляд .

Для будь-якого степеневого ряду існує таке число , що для розглядуваний ряд збігається, а для ряд є розбіжним. Інтервал називається інтервалом збіжності, а число – радіусом збіжності цього ряду.

Степеневий ряд є абсолютно збіжним для значень аргументу, які задовольняють умові , тобто інтервалом збіжності такого ряду буде .

Поведінка степеневого ряду на границях інтервалу збіжності потребує окремого дослідження.

Якщо серед коефіцієнтів ряду немає таких, що дорівнюють нулю, (тобто у ряді немає пропуску степенів), радіус збіжності обчислюється за формулами

або .

Якщо радіус збіжності є нескінченно великим, ряд збігається на всій множині дійсних чисел, а якщо , ряд буде збіжним тільки в одній точці (або ).

Якщо ряд побудовано з пропуском степенів, для визначення інтервалу збіжності використовують умови для функціонального ряду, тобто нерівності або .

 

Зразки розв’язування задач

 

1. З’ясувати, чи буде степеневий ряд збігатися у точці .

.

Це знакододатний числовий ряд, який буде збіжним ().

 

Знайти інтервал збіжності ряду:

2.

Для даного ряду ; .

.

Інтервал збіжності ряду .

 

3.

Для даного ряду , , .

.

Інтервал збіжності ряду , або .

 

4.

Для даного ряду , , .

.

Таким чином, ряд буде збіжним, якщо .

 

5.

Для даного ряду , , .

Таким чином, ряд буде збіжним, якщо .

 

6.

Це ряд з пропуском степенів, тому скористаємося ознакою Даламбера:

, ;

.

Нерівність справджується, якщо

.

Таким чином, інтервалом збіжності ряду буде .

 

7.

Це ряд з пропуском степенів, тому скористаємося ознакою Коші:

;

.

Нерівність справджується для будь-якого значення , отже, ряд буде збіжним для .

 

8.

Це ряд з пропуском степенів, тому скористаємося ознакою Даламбера:

, ;

.

Нерівність справджується, лише якщо , отже, ряд буде збіжним тільки для .