Частные случаи расположения плоскости относительно СК.

Рассмотрим плоскость π: Ах+Ву+Сz+D=0, (О, , , ). Утверждение: (, , )ǁ π: Ах+Ву+Сz+D=0 если а₁*А+а₂*B+а₃*С=0, при этом Р₁(х₁,у₁,z₁), , Р₁ ϵ π ⟹ ǁπ, A(x₀+a₁)+B(y₀+a₂)+C(z₀+a₃)+D=0, A*a₁+B*a₂+C*a₃=0, π: Ах+Ву+Сz+D=0.

1)A=0, 0*x+B*y+C*z+D=0, B*y+C*z+D=0, (1,0,0)ǁπǁOx.

2)B=0, A*x+C*z+D=0 ǁ Oy,

3)C=0, A*x+B*y+D=0 ǁ Oz,

4)D=0, A*x+B*y+C*z=0 проходит через начало координат,

5)А=0, В=0, C*z+D=0 ǁ Oxy,

6) A=0, C=0, B*y+D=0 ǁ Oxz,

7) A=0, D=0, B*y+C*z=0 и проходит через начало координат, Ох-лежит в плоскости π,

8)В=0, С=0, A*x+D=0 ǁ Oyz,

9)B=0, D=0, A*x+C*z=0 содержит ось Оу, Оу⊂π,

10) С=0, D=0, A*x+B*y=0, Oz⊂π,

11)A=0, B=0, D=0, C*z=0, z=0,ур-ние плоскости π=Оху,

12)A=0, C=0, D=0, y=0, π=Oxz,

13) B=0, C=0,D=0, x=0, π=Oyz.

 

39°. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через данную точку в данном направлении (каноническое уравнение прямой).

Пусть ∆ - нек. прямая, Є ∆, - напр. вектор., (О, ) – аффинный репер, , , MЄ ∆ - произвольн. точка., M(x,y,z), // , , – каноническое ур-ние прямой.

 

40°. Параметрическое уравнение прямой в пространстве.

Пусть ∆ - нек. прямая, Є ∆, - напр. вектор., (О, ) – аффинный репер, , , MЄ ∆ - произвольн. точка., M(x,y,z), , r(x,y,z), , – параметрич. ур-ние прямой в векторной форме, (x, y, z)= + ,

,

 

41°. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки.

Пусть ∆ - нек. прямая, Є ∆, , , MЄ ∆ - произвольн. точка., M(x,y,z), – напр. вектор. - ур-ние прямой, проходящей через две точки.

 

42. Взаимное расположение двух плоскостей.

Опр: прямая пересечения плоскости с координатной плоскостью наз. следом плоскости на координатной плоскости.

Теор: пусть в нек. СК плоскости заданы ур-ниями: , тогда:

1) плоскости пересекаются ó ; 2) ó ; 3) ó .

Док-во.: 1) => Пусть плоскости пересекаются, тогда найдём коор. Плоскость на которой каждая оставляет след, например Oxy (z=0) прямые пересекаются () 2) => тогда нет решений (); 3) => СЛУ имеет бесконечное множество решений.

 

43. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Прямые: скрещиваются, пересекаются, параллельны, совпадают. Пусть (О, ), : ; : ; Теор.: Пусть – прямые, заданные каноническим ур-нием, тогда: 1) ó - некомпланарные 2) пересек. ó - компланарные, опр. = 0; 3) ó ; 4) ó

 

 

44. Взаимное расположение прямой и плоскости.

Пусть (О, ) ∆: = α; π: Ax+By+Cz+D=0; Перейдём к параметрическому ур-нию в координатной форме: , αЄR; A α = - . 1)Если = - , значит прямая и плоскость пересекаются (единственная общая точка);

2) если , а ≠ 0; то 0 × α = - ур-ние не имеет решений, значит прямая и плоскость параллельны;

3) если , тогда 0×α=0, α – произвольное число. Ур-ние имеет бесконечное множество решений, значит прямая лежит в плоскости.

Теор.: Пусть (О, ) ∆: = α; π: Ax+By+Cz+D=0, тогда:

1) ∆ иπпересек. ó ;

 

2) ∆//πó ;

 

3) ∆ ᴄπó

 

45°. Расстояние от точки до плоскости.

Пусть (O, ) π: Ax+By+Cz+D=0; P – не принадлежит плоскости. P , MЄπ, M , PN π, , | |= | |× cos() = = =

 

46. Расстояние от точки до прямой в пространстве.

Пусть (O, ), ∆: , , // ∆, P , ρ(P,∆) = PN, PN – высота параллелепипеда, построенного на векторах и , ρ(P,∆) = = =

 

Расстояние между скрещивающимися прямыми.

Пусть (О, ), : ; : ; ρ() = = =

 

48°. Угол между двумя плоскостями.

Угол между двумя плоскостями равен углу между между нормальными векторами к этим плоскостям. Пусть (O, ), , , ()= | |= =

 

49°. Угол между двумя прямыми в пространстве.

Угол между двумя прямыми равен углу между направляющими векторами. Пусть (О, ), : ; : ; = =

 

Угол между прямой и плоскостью.

∆: = α; π: Ax+By+Cz+D=0;

=90- (); = ()-90;

sin = |sin(90- ())|= | | = ; =

 

 

 

Эллипс и его каноническое уравнение

Пусть F ₁ и F ₂ – некоторые точки плоскости расстояние F ₁ F ₂ = 2C.

Опр: Эллипсом называется фигура состоящая из всех точек плоскости для которых сумма расстояний до двух фиксированных F ₁,F ₂ есть число постоянно равное 2а, где а>c,F ₁, F ₂ – называются фокусами. МF ₁ + МF ₂ =2а.

Введем прямоуг. Систему координат. О – середина отрезка F ₁ F ₂.

F ₁ (-с,0) F ₂ (с,0) M(x,y)-произвольная т. Эллипса.

МF ₁ =

МF ₂ = + =2a

2a- =

возведем и перегруппируем

Покажем, что всякое уравнение определяет эллипс. Пусть точка М(х0,у0)-точка удовлетворяющая урв-ию

Попробуем найти МF ₁ =

MF ₂ =

МF ₁ +MF ₂ = =2a

 

График круг

 

Исследование формы эллипса

Пусть х²/а²+у²/b²=1, где b²=a²-c²

F ₁ (-c,0) F ₂ (c,0)

1)y²=b²/a²(a²-x²) => x²≤a², |x|≤a x=a, x=-a;

X²=a²/b²(b²-y²) => y²≤b², |y|≤b y=b, y=-b;

Все точки эллипса расположены внутри прямоугольника, ограниченного прямыми.

2) M ₁ (x₁,y₁) принадлежит эллипсу, то M ₂ (-x₁,y₁), M ₃ (-x₁,-y₁), M ₄ (x₁,-y₁) принадлежат эллипсу

Эллипс симметричен относительно оси О _х,О _у и начало координат. О(0,0) – центр эллипса. Будем исследовать эллипс только в 1-ой четверти

X≥0, y≥0 y²= (a²-x²)

y= , Х изменяется от О до a

если х=0, то у=b

если х возрастает, то у убывает

если х=а, то у=0

А₁(-а,0), А₂(а,0) вершины эллипса

В₁(-b,0), B₂(b,0)

Опр. Прямая, проходящая через фокусы называется факальной осью.

Опр. Расстояние от центра эллипса до вершины факальной оси называется большей полуосью (а)

Опр. Расстояние от эллипса до вершины факальной оси называется меньшей полуосью.(b-меньшая полуось)

Опр. Число равное отношению расстояния между фокусами к расстоянию между вершинами факальной оси наз. эксцентриситетом (степень сжатия окружности из которой получится эллипс) ε<1.

Опр. Отрезок, соединяющий точку эллипса сфокусам называется факальным радиусом (МF ₁,MF ₂)

МF ₁ =a+(c/a)x=a+εx

MF ₂ =a-(c/a)x=a+εx

Опр. Длина перпендикуляра восстановленного из фокуса до пересечения с эллипсом наз. Факальным араметром Р.

Факальный параметр p=b²/a

Оптическоесв-во эллипса

X²/9+y²/25=1 c²=16 c=4; x^’=y, y^’=x. F₁(-4,0)F₂(4,0)

X^’2/25+y^’2/9=1 b²=a²-c²