Ступенчатая матрица. Теорема о приведении матрицы к ступенчатой матрице.

Ступенчатая матрица. Теорема о приведении матрицы к ступенчатой матрице.

Опр. Матрица А наз. ступенчатой если выполнены условия:

Если i -тая строка нулевая, i +1 – нулевая.

Если лидеры строк i и i+ 1 находятся в столбцах k и l, то k < l.

Всякая нулевая матрица явл. ступенчатой.

Если в ступенчатой матрице удалить или дописать нулевые строки то она остается ступенчатой.

Теорема. Пусть в матрице А, а _ik ≠ 0, тогда если к j-той строке прибавить i-тую умн. (- ), то в полученной матрице В эл-т b _jk = 0.

Теорема. Всякую матрицу можно привести к ступенчатой матрице за конечное число элементарных преобразований.

Д- во:

Если А=0, то А – ступенчатая.

Пусть А ≠ 0, тогда матрица содержит хотя-бы одну строку с ненулевым эл-том. (лидер ≠ 0)

Если таких стр. несколько, то выберем ту стр. у которой лидер имеет меньший порядковый номер.

Зафиксируем строку поменяем с первой.

Поступаем аналогично для строк начиная со 2-ой стр. и т.д.

 

3°. Системы линейных уравнений (СЛУ). Решение СЛУ. Эквивалентные СЛУ. Однородные СЛУ.

СЛУ с m-уравнениями и n-переменными наз. совокупность m-уравнений с n-неизвестными.

 

(1)

 

Здесь x₁, x₂, …, x _n — неизвестные, которые надо определить. a ₁₁, a ₁₂, …, a _mn — коэффициенты системы; b₁, b₂, … b _m — свободные члены — предполагаются известными. Индексы коэффициентов (a _ij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно.

Система (1) называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b₁ = b₂ = … = b_m = 0), иначе — неоднородной.

Решением СЛУ (1) наз. Строка (α₁, …, α₂) которая является решением каждого из n-ур-ний. Решить СЛУ – значит найти все решения или доказать что их нет.

Две СЛУ наз. эквивалентными если множество их решений совпадает.

 

Миноры и их алгебраические дополнения. Теорема Лапласа.

Определителем (или детерминантом) n -го порядка называется число D, равное алгебраической сумме n членов, составленных определенным образом из элементов определителя. Рассмотрим определитель n -го порядка:

.

Алгебраическим дополнением элемента определителя n -го порядка называется определитель (n-1) -го порядка, полученный из исходного вычеркиванием i -й строки и j -го столбца и умноженный на .

Минором элемента определителя n -го порядка называется определитель (n-1) -го порядка, полученный из исходного вычеркиванием i -й строки и j -го столбца, на пересечении которых находится данный элемент.

Теорема Лаплпса:

Если в определителе зафиксировать k-строк, то определитель равен сумме всевозможных произведений миноров k-го порядка, стоящих в k-тых строках на их алгебраич. Дополнения.

 

8°. Обратная матрица.

Обра́тная ма́трица — такая матрица A⁻¹, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

Для матрицы А существует обратная тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует.

Обратная матрица вычисляется по формуле:

 

,

 

 

Теорема о разложении вектора на плоскости по двум неколлинеарным векторам.

Теорема. Пусть дана некоторая плоскость π и векторы , (линейно независимость векторов), тогда любой вектор а в плоскости π можно представить в виде линейной комбинации a=x*e1+y*e2 причём данное представление единственное.

Доказательство:

АА1||OE2, AA2||OE1, зн. OA2AA1-параллелограмм = + .

OA1||OE1, ||OE1, =x* , OA2||OE2, || , =y* , =x* +y* .

Докажем, что такое разложение единственное:

Предположим, что это разложение не единственное.

=x1* +y1*

x* +y* +(-(x1* +y1* ))=

т.к. , - линейно независимость векторов, то

x-x1=0, x=x1;

y-y1=0, y=y1;

14. Теорема о разложении вектора в пространстве по трем некомпланарным векторам.

Теорема. Пусть , - линейно независимые векторы, тогда любой вектор =x* +y* +z* , данное представление единственное.

 

 

Док-во св-ва 4:

, , – компланарны тогда, когда , 1, 1 - ЛЗВ→λ1 + λ2 + λ3 = ,

→ (λ1a1+λ2b1+λ3c1; λ1a2+λ2b2+λ3c2; λ1a3+λ2b3+λ3c3)= 0,0,0

↔ то =0 ↔ =0

↑ однородная СЛУ

Док-во св-ва 6:

(О; 1; 2)

A(x1, y1); B(x2, y2)

=x1 1+y1 2; =x2 1+y2 2

= + = - =x2 1+y2 2–(x1 1+y1 2)=(x2-x1) 1+(y2-y1) 2;

(x2-x1; y2-y1)

 

20. Преобразование прямоугольных координат.

(O, , ) – «старая» (O, , ) «новая»

M(x,y); =x +y M(x’,y’); =x’ +y’
Найду координаты O, , в старой СК; OO’= a1 +a2 ; O’(a1,a2); = + ; = +

ϕ =<(, ); =cosϕ; =-sinϕ; =cosϕ; =sin ϕ
= cosϕ +sinϕ ; =-sinϕ +cosϕ

=OO’+O’M;

x +y = a1 + a2 + x’(cosϕ + sinϕ )+y’(-sinϕ + cosϕ )

(x- a 1-x’cosϕ+y’sinϕ) +(y- a 2-x’sinϕ-y’cosϕ) =

x=x’cosϕ-y’sinϕ+ a 1

y=x’sinϕ+y=cosϕ+ a 2

= +

 

Угол между прямой и плоскостью.

∆: = α; π: Ax+By+Cz+D=0;

=90- (); = ()-90;

sin = |sin(90- ())|= | | = ; =

 

 

 

Исследование формы эллипса

Пусть х²/а²+у²/b²=1, где b²=a²-c²

F ₁ (-c,0) F ₂ (c,0)

1)y²=b²/a²(a²-x²) => x²≤a², |x|≤a x=a, x=-a;

X²=a²/b²(b²-y²) => y²≤b², |y|≤b y=b, y=-b;

Все точки эллипса расположены внутри прямоугольника, ограниченного прямыми.

2) M ₁ (x₁,y₁) принадлежит эллипсу, то M ₂ (-x₁,y₁), M ₃ (-x₁,-y₁), M ₄ (x₁,-y₁) принадлежат эллипсу

Эллипс симметричен относительно оси О _х,О _у и начало координат. О(0,0) – центр эллипса. Будем исследовать эллипс только в 1-ой четверти

X≥0, y≥0 y²= (a²-x²)

y= , Х изменяется от О до a

если х=0, то у=b

если х возрастает, то у убывает

если х=а, то у=0

А₁(-а,0), А₂(а,0) вершины эллипса

В₁(-b,0), B₂(b,0)

Опр. Прямая, проходящая через фокусы называется факальной осью.

Опр. Расстояние от центра эллипса до вершины факальной оси называется большей полуосью (а)

Опр. Расстояние от эллипса до вершины факальной оси называется меньшей полуосью.(b-меньшая полуось)

Опр. Число равное отношению расстояния между фокусами к расстоянию между вершинами факальной оси наз. эксцентриситетом (степень сжатия окружности из которой получится эллипс) ε<1.

Опр. Отрезок, соединяющий точку эллипса сфокусам называется факальным радиусом (МF ₁,MF ₂)

МF ₁ =a+(c/a)x=a+εx

MF ₂ =a-(c/a)x=a+εx

Опр. Длина перпендикуляра восстановленного из фокуса до пересечения с эллипсом наз. Факальным араметром Р.

Факальный параметр p=b²/a

Оптическоесв-во эллипса

X²/9+y²/25=1 c²=16 c=4; x^’=y, y^’=x. F₁(-4,0)F₂(4,0)

X^’2/25+y^’2/9=1 b²=a²-c²

Исследование формы параболы

Пусть у²=2рх – каноническое уравнение параболы в специально выбранной системе координат.

Чем больше р, то больше расходятся ветви и наоборот.

Т.к. р>0, y²≥0, то x≥0.

Если точка M₁(x₁, y₁) принадлежит параболе, то точка M₂(x₁, -y₁) принадлежит параболе, парабола симметрично оси Ох.

X≥0, y≥0 y=

Если х=0, то у=0

О(0, 0)- вершина параболы.

Если х возрастает, то

у возрастатет.

Опр. Факальной осью

параболы называется

прямая, проходящая

через фокус перпендикулярно директрисе.

Опр. факальный параметр= р

Примеры:

1)у²=-2рх – неканоническое уравнение параболы х^’=y, y^’=x.F(-p/2, 0)

Ветви параболы наклонены по оси О_х во II-ой и III –ей четверти.

2)х²=2ру у=-р/2 у=у^’; F(0, p/2)

Ветви параболы наклонены по оси O_y в I – ой и II-ой четвертях

3)х²=-ру х^’=-y, y^’=x; y=p/2 F(0, -p/2)

Ветви параболы наклонены по оси О_уIII-ей и IV-ой четвертях.

 

 

Бинарные отношения.

Бинарным отношением,заданным на множестве А, называется подмножество R≤А²(А×А). Если a и b є А, то aRb(элемент а находится в бинарном отношении R с элем.b). Пусть на множ. А задано бин.отнош.R, тогда,если R=A²,то назыв. универ сальное бинарное отношение,если R=0,то R-пустое бин.отнош.Опр.Б.о.R назыв.

1) рефлексивным,если aRa;

2) симметричным,если aRb→bRa;

3) транзитивным,если aRb, bRc→aRc;

4) антисимметричным, если aRb, bRa→a=b.

70°. Отношение эквивалентности и порядка.

Отношение эквивалентности и порядка.Б.о.R наз.отношением эквивалентности,если R-рефлексивно,симметрично и транзитивно.

Опр. Пусть R-отнош.экв. аєА.Множество ā={xєA|aRx}назыв. классом эквивалентности элем. а. Теорема:любых два класса эквивалентности либо не пересекаются, либо совпадают.

Опред:если на множ.А задано отнош.эквив. ̴,то совокупность всевожможных непересекающихся классов эквив. наз. фактор-множеством(А ̰).Б.о. наз. отнош.частичного порядка,если рефл., антисимм., транзитивно.Элем. a и b-сравнимые,если aRb или bRa, в противном случае они несравнимы.

 

71°. Алгебраическая операция. Свойства алгебраических операций.

Свойства алг.опер. Пусть X-непустое множество. Говорят,что на множестве Х задана алг. опер., если указано правило, по которому двум любым элементам этого множества ставится в соответствие вполне определённый элемент этого множества. Элем.nєX наз. нейтральным, если n◦a=a◦n=a.

Алг.опер. наз. ассоциативной, если a◦(b◦c)=(a◦b)◦c.Пусть на Х задана алг.о. Элем. aєX наз.симметричным к bєX, если a◦b=b◦a=n.Алг. о. наз.коммутативной,если a◦b=b◦a.

Свойства:

1)если существует n.,то он единственный;

2)симметричный элем- единственный.

 

72°.Определение группы.Простейшие свойства групп.

Непустое множество G наз. группой,если на нём задана алг. опер.,удовл.условиям:G1)◦ -ассоц-на a◦(b◦c)=(a◦b)◦c;G2)сущ-ет nєG; n◦a= a◦n =a;G3)для люб. a◦G сущ. b симметр.эл. a◦b=b◦a=n.G4)Группа наз. коммутата тивной (абелевой), если ◦ -коммут. опер., т.е. a◦b=b◦a.

Свойства:1)n-единств-й;2)для люб. a,bєG уравнения ax=b,ya=b – им.единственные решения;

3)обратным элем к произв.(ab)^-1=b^-1a^-1.

Группа, на которой задана опер. «сложения»-аддитивная, «умножения»-мультипликативная.

 

73°. Определение кольца. Простейшие свойства колец.

Непустое множество К наз.кольцом,если на нём заданы 2 алг. оп. «+», «*»,для которых выполняются аксиомы:К1)К явл.абелевой группой относит. «+»(проверить G1,G2,G3,G4) К2)опер «*умн.»-ассоц-на, т.е. a*(b*c)=(a*b)*c;К3)умнож.дистрибутивно отностит.оп. сложения,т.е. a*(b+c)=a*b+a*c.

Опр: кольцо назыв. коммутативным кольцом, если опер. умн.коммут-на К4)a*b=b*a.

Опр: коль цо К наз.кольцом с единицей,если К5) существует nєК n*a=a*n=a.

Свойства:

1) кольцо явл.коммутат.гр., значит для него вып-ся все св-ва групп 2) в кольце можно ввести опер. вычитания;

3) если a*0=0*a=0; a*b=0; a 0, b 0-делители нуля;

4) если а не является делителем 0, то a*b=a*c→ b=c;

5) (-a)*b=a*(-b)=-(a*b);

6) if K-кольцо с 1,то оно единственно;

7) К(кольцо с обратн. эл.)- группа отн.умнож.

 

74°.Определение поля.Простейшие свойства поля.

Коммутативное кольцо с единицей, в котором все элементы кроме 0 обратимы наз. полем. Вып. усл. (К1-К5).

Свойства:

1) для полей верны все св-ва колец К1) К явл.абелевой группой относит. «+»(проверить G1,G2,G3,G4) К2) опер «*умн.»-ассоц-на, т.е. a*(b*c)=(a*b)*c; К3) умнож. дистрибутивно отностит. оп. сложения, т.е. a*(b+c)=a*b+a*c.

Опр: кольцо назыв. коммутативным кольцом, если опер. умн.коммут-на К4)a*b=b*a.Опр: кольцо К наз. кольцом с единицей,если К5) существует nєК n*a=a*n=a.;

2) в поле нет делитителей 0; 3)ax=b-единств.реш.,если aǂ0.

 

Изоморфизмы групп, колец.

Группы G1,G2 наз.изоморфными,если существует взаимооднозначное соответствие(биекция)f:G1→G2; f(a◦b)=f(a)*f(b)

f-изоморфизм.

Опр. Кольцо К1 и К2 наз. изоморфными, если сущ. биекция f:K1→K2; f(a+b)=f(a)+f(b);f(a*b)=f(a)*f(b) C1 C2 – изоморфно

Свойства изом.группы:

1)G G(рефл.);

2)G F→F G(симм.);

3)G F,F H→ G H.

Множество групп разбивается на взаимно непересекающиеся классы изоморфных групп.

 

76⁰.Построение поля комплексных чисел.Алгебраическая форма комплексного числа.

Пусть z₁=a₁+b₁i, z₂=a₂+b₂i принадлежат С, z₁=z₂,если a₁=a₂,b₁=b₂.

Опр. Суммой двух элементов z₁ и z₂єС наз.эл. .

Опр. Произведением и н. .

Теорема. Множество С={a+bi|a,bєR} с операциями сложения и умн. явл-ся полем. Зам:каждый ненулевой элемент множества обратим.

Опр. Пусть z=a+bi є C наз.комплексно-сопряж.

Опр. Пусть z=a+bi є C; a=Rez-действит. часть компл.числа;b=Imz-мнимая часть; a+0i – действительные числа; 0+bi – мнимые числа.

 

77°.Тригонометрическая и экспоненциальная форма записи комплексного числа.Действия над компл. числами в триг.и экспон.форме записи.

Рассм.С={a+bi|a,bєR} z=a+bi.Каждому числу z=a+bi можно поставить в соответствие точку с координатами (a,b)в прямоугольной CK.и наоборот –это взаимно однозначное соответствие.

- тригонометрическая форма записи компл.числа. – экспоненциальная форма. =-1. = . .

 

78°.Возведение в степень и извлечение корня n-ой степени из комплексного числа.

Опр. z⁰=1;z¹=z;zⁿ=z*z*z…

Опр. Z^-n= . Формула Муавра: ; Опр. Корнем n-ой степени из числа z наз.число w такое, что wⁿ=z;Если z=0,то =0;если z 0,то z=a+bi=r(cosx +isinx); r(cosx+isinx)=r₀ⁿ(cosnx₀+isinnx₀); r₀= ; w= ( +i ) – корень n-ой степени. ( +i )

 

Св-ва.

, если r(x)=0

Опр. Многочлен кот.явл.делителем 2 других многочленов наз. Их общих делителем.

Опр. Наибольшим общим делителем f(x) и g(x) наз. Их общий делитель кот. Делится на все остальные их общие делители. Нод определен с точностью до числового множества. Нод(f(x),g(x))=d(x)

Опр. Многочлены наз. Взаимно простыми., если НОД их явл. Многоченом нулевой степени .

Теорема. Если f(x)=g(x)*q(x)+r(x), то НОД многочлен f(x),g(x), такой же НОД(g(x),f(x)).

АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА

Найти НОД (f(x),g(x)). Пусть Deg f(x) ≥ deg g(x), если f(x) g(x), тогда НОД (f(x),g(x)) = g(x), если не так, то f(x)=g(x)*q(x)+r(x): многочлен.

g(x)=r₁(x)*q₂(x)+r₂(x), если r₂!=0, то

r₁(x)=r₂(x)*q₃(x)+r₃(x)…

r_n-1=r_n(x)*q_n+1(x)

теорема. Если d(x)=НОД(f(x),g(x))

Критерий взаимнопростые многочлены:f(x) и g(x)-взаимопростые

 

Св-ва неприводимого мн-чл.

1)Если f(x) – неприводим, а α – элемент поля, α!=0, то α(f(x)) - неприводим

2)Многочлен 1-ой степени над любым полем неприводим

3)Если f(x) – неприводим, g(x) – произвольный мн/чл., то либо g(x) f(x) или НОД (f(x),g(x))=1

ТЕОРЕМА

Всякий многочлен можно представить в виде произведения неприводимого многочлена, причем данное разложение единственно с точностью до числового множителя и порядка следования множителей.

 

84°. Корни многочлена от одной переменной. Схема Горнера.

Пусть F-поле, С-элемент поля, тогда F(C)= -значение многочлена при x=c.

ОПР. Элемент С взятый из поля F, называется корнем многочлена f(x) F[x], если f(C) = 0

Теорма Безу: Элемент С явл. Корнем f(x), тогда и тока тогда, когда

 

СХЕМА ГОРНЕРА пусть f(x)=a₀xⁿ + a₁x^n-1 +…+ a_n-1x + a_n; C F(элемент поля), f(x)=(x-c)*q(x)+r.

q(x)=b₀x^n-1 + b₁x^n-2 +…+ b_n-2x + b_n-1

	a0	a1	a2	…	an-1	an
C	b0	b1=a1+C*b0	b2=a2+C*b1	…	Bn-1=an-1+C*bn-2	r=an+C*bn-1

Опр. Пусть с-корень f(x). C-наз.K- Кратным корнем f(x), если , но не делится на .

Теорема. Многочлен в степени n имеет n-корень, при этом если многочлен разложен на первую степень, то он имеет n-четное кол-во корней.

 

ТЕОРЕМА

Всякую правильную дробь можно представить в виде суммы простейших

Д-во:

. – прав-я дробь. НОД (g₁(x),g₂(x))=1

1= (x)g₁(x)+ (x)g₂(x) |* f(x)

F(x) = (x) g₁(x) f(x) + (x) g₂(x) f(x)|:g ₁ (x)*g ₂ (x)

. = +

Теорема. Всякую простейшую дробь знаменатель кот. Стоит степень не приводимого многочлена. можно представить в виде суммы, k- простейших дробей в знаменателе, кот. Стоят p(x), p ² (x)….p ^k (x). , deg f ^k (x)<deg p(x)

87°. Многочлены с рациональными коэфициентами. Нахождение корней многочленов с рациональными коэфициентами.

пусть f(x) Q[x](многочлен на поле).f(x) = a_nxⁿ+a_n-1xⁿ⁺¹+…+a₁x+a₀

a_i Q, i=0;n

пусть f(x) Q[x], q=НОД (a_n, …, a_n), g(x)=q * f(x) Z [x]

всякий корень f(x) явл корнем g(x) и наоборот.

ТЕОРЕМА

Пусть f(x) Z [x]. Если – рациональный корень многочлена, то а₀ p, a_n q

Пример Нахождения корней многочленов с рациональными коэфициентами

f(x) = 2x³ + 3x² + 3x + 1

-1/2

p = 1, -1

q = 1, -1, 2, -2

. : 1, -1, ½,- ½

X= 1 – не корень

Х= - ½ - корень

2x³ + 3x² + 3x + 1 = (x+1/2)*(2x² + 2x +2)

Замечание. Если число не целое то это НЕ корень!.

 

Ступенчатая матрица. Теорема о приведении матрицы к ступенчатой матрице.

Опр. Матрица А наз. ступенчатой если выполнены условия:

Если i -тая строка нулевая, i +1 – нулевая.

Если лидеры строк i и i+ 1 находятся в столбцах k и l, то k < l.

Всякая нулевая матрица явл. ступенчатой.

Если в ступенчатой матрице удалить или дописать нулевые строки то она остается ступенчатой.

Теорема. Пусть в матрице А, а _ik ≠ 0, тогда если к j-той строке прибавить i-тую умн. (- ), то в полученной матрице В эл-т b _jk = 0.

Теорема. Всякую матрицу можно привести к ступенчатой матрице за конечное число элементарных преобразований.

Д- во:

Если А=0, то А – ступенчатая.

Пусть А ≠ 0, тогда матрица содержит хотя-бы одну строку с ненулевым эл-том. (лидер ≠ 0)

Если таких стр. несколько, то выберем ту стр. у которой лидер имеет меньший порядковый номер.

Зафиксируем строку поменяем с первой.

Поступаем аналогично для строк начиная со 2-ой стр. и т.д.

 

3°. Системы линейных уравнений (СЛУ). Решение СЛУ. Эквивалентные СЛУ. Однородные СЛУ.

СЛУ с m-уравнениями и n-переменными наз. совокупность m-уравнений с n-неизвестными.

 

(1)

 

Здесь x₁, x₂, …, x _n — неизвестные, которые надо определить. a ₁₁, a ₁₂, …, a _mn — коэффициенты системы; b₁, b₂, … b _m — свободные члены — предполагаются известными. Индексы коэффициентов (a _ij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно.

Система (1) называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b₁ = b₂ = … = b_m = 0), иначе — неоднородной.

Решением СЛУ (1) наз. Строка (α₁, …, α₂) которая является решением каждого из n-ур-ний. Решить СЛУ – значит найти все решения или доказать что их нет.

Две СЛУ наз. эквивалентными если множество их решений совпадает.