Поверхности второго порядка, заданные общим уравнением.

Опр. Уравнение вида

, (2.1)

где , , , ,

(т.е. хотя бы один коэффициент ) называется уравнением второго порядка от трех переменных.

Опр. Фигура, которая в некоторой специально выбранной прямоугольной системе координат может быть задана уравнением (2.1) называется поверхностью второго порядка.

Пример. Пусть фигура задана уравнением . Здесь , , , , а все остальные коэффициенты равны нулю. Перейдем к новой системе координат по формулам:

(2.2)

Если (2.2) подставить в уравнение (2.1), и наложить условие, что коэффициенты при слагаемых , , будут равны нулю, то получим уравнение вида (2.3)

где , , находятся из уравнения:

,

а углы в системе (2.2) находятся из решения системы:

 

Рассмотрим случаи.

I) Пусть , , . Тогда

, где .

Обозначая новую систему координат будем иметь , , . Теперь имеем

Возможны следующие случаи:

I₁. Если , , , D одного знака, то фигура, заданная уравнением (2.1) – эллипсоид.

I₂. Если , , одного знака, а D противоположного знака, то фигура, заданная уравнением (2.1) – пустое множество (мнимый эллипсоид).

I₃. Если , , одного знака, а противоположного знака, то фигура, заданная уравнением (2.1) – однополостный гиперболоид.

I₄. Если , одного знака, а , противоположного знака, то фигура, заданная уравнением (2.1) – двуполостный гиперболоид.

I₅. Если , , одного знака, а , то фигура, заданная уравнением (2.1) – точка (начало координат, точка ).

I₆. Если , одного знака, противоположного, , то фигура, заданная уравнением (2.1) – конус.

 

 

Бинарные отношения.

Бинарным отношением,заданным на множестве А, называется подмножество R≤А²(А×А). Если a и b є А, то aRb(элемент а находится в бинарном отношении R с элем.b). Пусть на множ. А задано бин.отнош.R, тогда,если R=A²,то назыв. универ сальное бинарное отношение,если R=0,то R-пустое бин.отнош.Опр.Б.о.R назыв.

1) рефлексивным,если aRa;

2) симметричным,если aRb→bRa;

3) транзитивным,если aRb, bRc→aRc;

4) антисимметричным, если aRb, bRa→a=b.

70°. Отношение эквивалентности и порядка.

Отношение эквивалентности и порядка.Б.о.R наз.отношением эквивалентности,если R-рефлексивно,симметрично и транзитивно.

Опр. Пусть R-отнош.экв. аєА.Множество ā={xєA|aRx}назыв. классом эквивалентности элем. а. Теорема:любых два класса эквивалентности либо не пересекаются, либо совпадают.

Опред:если на множ.А задано отнош.эквив. ̴,то совокупность всевожможных непересекающихся классов эквив. наз. фактор-множеством(А ̰).Б.о. наз. отнош.частичного порядка,если рефл., антисимм., транзитивно.Элем. a и b-сравнимые,если aRb или bRa, в противном случае они несравнимы.

 

71°. Алгебраическая операция. Свойства алгебраических операций.

Свойства алг.опер. Пусть X-непустое множество. Говорят,что на множестве Х задана алг. опер., если указано правило, по которому двум любым элементам этого множества ставится в соответствие вполне определённый элемент этого множества. Элем.nєX наз. нейтральным, если n◦a=a◦n=a.

Алг.опер. наз. ассоциативной, если a◦(b◦c)=(a◦b)◦c.Пусть на Х задана алг.о. Элем. aєX наз.симметричным к bєX, если a◦b=b◦a=n.Алг. о. наз.коммутативной,если a◦b=b◦a.

Свойства:

1)если существует n.,то он единственный;

2)симметричный элем- единственный.

 

72°.Определение группы.Простейшие свойства групп.

Непустое множество G наз. группой,если на нём задана алг. опер.,удовл.условиям:G1)◦ -ассоц-на a◦(b◦c)=(a◦b)◦c;G2)сущ-ет nєG; n◦a= a◦n =a;G3)для люб. a◦G сущ. b симметр.эл. a◦b=b◦a=n.G4)Группа наз. коммутата тивной (абелевой), если ◦ -коммут. опер., т.е. a◦b=b◦a.

Свойства:1)n-единств-й;2)для люб. a,bєG уравнения ax=b,ya=b – им.единственные решения;

3)обратным элем к произв.(ab)^-1=b^-1a^-1.

Группа, на которой задана опер. «сложения»-аддитивная, «умножения»-мультипликативная.

 

73°. Определение кольца. Простейшие свойства колец.

Непустое множество К наз.кольцом,если на нём заданы 2 алг. оп. «+», «*»,для которых выполняются аксиомы:К1)К явл.абелевой группой относит. «+»(проверить G1,G2,G3,G4) К2)опер «*умн.»-ассоц-на, т.е. a*(b*c)=(a*b)*c;К3)умнож.дистрибутивно отностит.оп. сложения,т.е. a*(b+c)=a*b+a*c.

Опр: кольцо назыв. коммутативным кольцом, если опер. умн.коммут-на К4)a*b=b*a.

Опр: коль цо К наз.кольцом с единицей,если К5) существует nєК n*a=a*n=a.

Свойства:

1) кольцо явл.коммутат.гр., значит для него вып-ся все св-ва групп 2) в кольце можно ввести опер. вычитания;

3) если a*0=0*a=0; a*b=0; a 0, b 0-делители нуля;

4) если а не является делителем 0, то a*b=a*c→ b=c;

5) (-a)*b=a*(-b)=-(a*b);

6) if K-кольцо с 1,то оно единственно;

7) К(кольцо с обратн. эл.)- группа отн.умнож.

 

74°.Определение поля.Простейшие свойства поля.

Коммутативное кольцо с единицей, в котором все элементы кроме 0 обратимы наз. полем. Вып. усл. (К1-К5).

Свойства:

1) для полей верны все св-ва колец К1) К явл.абелевой группой относит. «+»(проверить G1,G2,G3,G4) К2) опер «*умн.»-ассоц-на, т.е. a*(b*c)=(a*b)*c; К3) умнож. дистрибутивно отностит. оп. сложения, т.е. a*(b+c)=a*b+a*c.

Опр: кольцо назыв. коммутативным кольцом, если опер. умн.коммут-на К4)a*b=b*a.Опр: кольцо К наз. кольцом с единицей,если К5) существует nєК n*a=a*n=a.;

2) в поле нет делитителей 0; 3)ax=b-единств.реш.,если aǂ0.

 

Изоморфизмы групп, колец.

Группы G1,G2 наз.изоморфными,если существует взаимооднозначное соответствие(биекция)f:G1→G2; f(a◦b)=f(a)*f(b)

f-изоморфизм.

Опр. Кольцо К1 и К2 наз. изоморфными, если сущ. биекция f:K1→K2; f(a+b)=f(a)+f(b);f(a*b)=f(a)*f(b) C1 C2 – изоморфно

Свойства изом.группы:

1)G G(рефл.);

2)G F→F G(симм.);

3)G F,F H→ G H.

Множество групп разбивается на взаимно непересекающиеся классы изоморфных групп.

 

76⁰.Построение поля комплексных чисел.Алгебраическая форма комплексного числа.

Пусть z₁=a₁+b₁i, z₂=a₂+b₂i принадлежат С, z₁=z₂,если a₁=a₂,b₁=b₂.

Опр. Суммой двух элементов z₁ и z₂єС наз.эл. .

Опр. Произведением и н. .

Теорема. Множество С={a+bi|a,bєR} с операциями сложения и умн. явл-ся полем. Зам:каждый ненулевой элемент множества обратим.

Опр. Пусть z=a+bi є C наз.комплексно-сопряж.

Опр. Пусть z=a+bi є C; a=Rez-действит. часть компл.числа;b=Imz-мнимая часть; a+0i – действительные числа; 0+bi – мнимые числа.

 

77°.Тригонометрическая и экспоненциальная форма записи комплексного числа.Действия над компл. числами в триг.и экспон.форме записи.

Рассм.С={a+bi|a,bєR} z=a+bi.Каждому числу z=a+bi можно поставить в соответствие точку с координатами (a,b)в прямоугольной CK.и наоборот –это взаимно однозначное соответствие.

- тригонометрическая форма записи компл.числа. – экспоненциальная форма. =-1. = . .

 

78°.Возведение в степень и извлечение корня n-ой степени из комплексного числа.

Опр. z⁰=1;z¹=z;zⁿ=z*z*z…

Опр. Z^-n= . Формула Муавра: ; Опр. Корнем n-ой степени из числа z наз.число w такое, что wⁿ=z;Если z=0,то =0;если z 0,то z=a+bi=r(cosx +isinx); r(cosx+isinx)=r₀ⁿ(cosnx₀+isinnx₀); r₀= ; w= ( +i ) – корень n-ой степени. ( +i )