Будем рассматривать следующие три типа ДУ, допускающих понижение порядка.

1. Простейшие ДУ n-го порядка:

(4)

Решаются - кратным интегрированием.

2. Дифференциальные уравнения, не содержащие явно искомую функцию :

.

(5)

Метод решения: замена ;

ДУ (5) – получилось ДУ I порядка относительно функции .

3. Дифференциальные уравнения, не содержащие явно независимую переменную :

(6)

Метод решения: замена , то есть ;

тогда ДУ(6) - получилось ДУ I порядка, в котором – это независимая переменная, – искомая функция.

ПРИМЕР 1. Найти частное решение ДУ , , .

РЕШЕНИЕ. Данное уравнение является простейшим ДУ третьего порядка, решаем его трехкратным интегрированием:

1) так как по определению третьей производной имеем, что , то

;

найдем из условия : ;

2) теперь в подставим и используем определение второй производной: 

; найдем из условия : ;

3) подставив в , заменим :

; найдем из условия : .Получили решение задачи Коши, причем, без нахождения общего решения: . Ответ: .

ПРИМЕР 2. Найти общее решение дифференциального уравнения .

РЕШЕНИЕ. Данное ДУ второго порядка не содержит в явном виде искомую функцию , поэтому допускает понижение порядка, как ДУ вида (5). Заменим: .

Исходное ДУ - это линейное ДУ I порядка относительно функции . Сделаем еще одну замену, рекомендуемую для линейных ДУ I порядка:

, тогда .

ДУ относительно :

.

ДУ относительно : .

Общее решение ДУ I порядка: .

Возвращаемся к искомой функции . Так как , то получили, что  это дифференциальное уравнение I порядка относительно функции , оно с разделяющимися переменными, решаем его: – это общее решение исходного ДУ.

Проверка:

Решение любого ДУ можно подтвердить проверкой. Сделаем это в решаемой задаче.

подставляем в исходное ДУ:

- верно,

следовательно, общее решение найдено правильно. Ответ: .

ПРИМЕР 3

Найти общее решение дифференциального уравнения .

РЕШЕНИЕ. Данное ДУ II порядка не содержит независимую переменную в явном виде, поэтому допускает понижение порядка, как ДУ вида (6). Сделаем замену: .

Здесь при пересчете второй производной использовано правило дифференцирования сложной функции: .

Исходное ДУ – получили ДУ I порядка относительно функции ;

его решение:

а) – это первая часть общего решения исходного ДУ;

б)



.

Возвращаемся к функции , помня, что : – это ДУ I порядка относительно функции , оно с разделяющимися переменными, решаем его:

- это вторая часть общего решения исходного ДУ.

Объединяем обе части общего решения: первая часть получается из второй, если положить ; поэтому вторая часть включает в себя первую, то есть является их объединением. Ответ: .

Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Основные свойства решений линейных однородных дифференциальных уравнений, теорема об общем решении

4.1 Общие определения

Линейным дифференциальным уравнением -го порядка называется ДУ, в которое неизвестная функция и все её производные входят линейно, то есть только в первых степенях и не перемножаются.

Общий вид линейного ДУ n-го порядка относительно функции :

	(1)
Здесь	- коэффициенты линейного ДУ (непрерывные функции от x), ; - правая часть линейного ДУ; - коэффициент при старшей производной отличен от нуля.

Линейное ДУ(1) называется линейным однородным дифференциальным уравнением

(ЛОДУ), если его правая часть равна нулю, то есть функция .

Общий вид линейного однородного ДУ n-го порядка:

(2)

Линейное ДУ(1) называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением (ЛНДУ), если его правая часть есть отличная от нуля функция, то есть .

Говорят, что линейное однородное дифференциальное уравнение (2) сопутствует, или сопровождает, или соответствует линейному неоднородному дифференциальному уравнению (1).

Если в ДУ(1) все коэффициенты являются постоянными числами, то ДУ(1) называется линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами (однородным или неоднородным).

Общность не нарушается, если изучение линейных ДУ и методов их решения рассмотреть на примере линейных ДУ II порядка:

Каноническая форма линейных ДУ второго порядка:

(1')

В частности, для ДУ(1') с постоянными коэффициентами функции и будут постоянными числами.

Основные свойства решений линейных однородных ДУ

Будем рассматривать ЛОДУ второго порядка