Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Метод неопределенных коэффициентов для нахождения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентамиСодержание книги
Похожие статьи вашей тематики
Поиск на нашем сайте
Рассмотрим ЛНДУ - линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:
Его общее решение: -- по теореме об общем решении ЛНДУ. Здесь – это общее решение соответствующего однородного уравнения с постоянными коэффициентами, которое находится по корням характеристического уравнения: – корни характеристического уравнения. Теперь ставим задачу нахождения – какого-нибудь частного решения ЛНДУ(1). Говорят, что правая часть f(x) ДУ (1) имеет специальный вид, если она представлена следующей формулой:
где , - целые многочлены степени и . Ниже приведены примеры различных функций вида (2):
Будем рассматривать метод нахождения для двух наиболее простых частных случаев функции (2). Можно показать, что для любого ЛНДУ (1) в этих случаях можно найти по следующими двум правилам.
ПРИМЕР 1. Найти общее решение ДУ - линейного, неоднородного, с постоянными коэффициентами. РЕШЕНИЕ. . Находим : характеристическое уравнение - действительные различные корни ФСЧР: . Находим . Анализируем правую часть неоднородного ДУ: -- подходит под первый специальный вид, причем совпадает с одним из корней характеристического уравнения. По правилу 1 записываем вид частного решения : . Неопределенные коэффициенты А и В находим из условия, что составленное удовлетворяет тождественно исходному неоднородному ДУ. Нахождение ', '' и подстановку в исходное ДУ удобно осуществлять по следующей схеме: Пояснения к схеме: 1) при выполнении дифференцирования в этой задаче полезно пользоваться несложным частным алгоритмом: ; 2) слева от вертикальной черты в указанной схеме проставлены коэффициенты, с которыми , и входят в исходное ЛНДУ; 3) подстановка , , в ЛНДУ проводится с одновременным приведением подобных слагаемых, которые выделены одинаковым подчеркиванием. Таким образом, в результате подстановки функции в исходное ЛНДУ получаем равенство, которое должно выполняться при любых x (то есть тождество): ; поделив обе части равенства на , получаем тождественное равенство двух многочленов первой степени: ; тождественное равенство многочленов означает совпадение их коэффициентов при одинаковых степенях х, поэтому приравниваем этих коэффициентов получаем систему уравнений для нахождения и :
Найденные коэффициенты А и В подставляем в и получаем, что . Проверка обязательна и выполняется по той же схеме: результат подстановки в левую часть ДУ совпадает с , следовательно, найдено верно. Далее складываем и получаем общее решение данного в задаче ЛНДУ. Ответ: . ПРИМЕР 2. Найти частное решение ДУ . РЕШЕНИЕ. Так как имеем ЛНДУ, то его общее решение имеет форму . Находим общее решение соответствующего ЛОДУ: , где , - это ФСЧР, , - произвольные постоянные; так как ЛОДУ имеет постоянные коэффициенты, то ФСЧР можно найти с помощью характеристического уравнения: - равные действительные корни . Находим - какое-нибудь частное решение ЛНДУ: - подходит под первый специальный вид, в котором ; по правилу 1 записываем вид частного решения ; неопределенные коэффициенты A, B, C находим из условия, что удовлетворяет исходному неоднородному ДУ; дифференцирование и подстановку его в ДУ осуществляем по схеме, учитывая при этом, что : далее разделим обе части равенства на и получим тождественное равенство двух многочленов, которое означает совпадение их коэффициентов при одинаковых степенях :
коэффициенты при ; коэффициенты при ; коэффициенты при ; таким образом, . Проверка : – верно. Составляем общее решение исходного ДУ: . Решаем задачу Коши, удовлетворяя общим решением поставленным начальным условиям: ;
. Подставляем вычисленные значения постоянных и в общее решение и получаем частное решение исходного ДУ, соответствующее поставленным начальным условиям: . Для ответа выполняем группировку слагаемых и упрощение коэффициентов. Ответ: .
Пример 3. Найти частное решение ДУ , , . Решение. . Находим : характеристическое уравнение - комплексно-сопряженные ФСЧР: . Находим . Анализируем правую часть неоднородного ДУ: – подходит под второй специальный вид, в котором α =1 и β = 2 . По правилу 2 составляем вид частного решения : . Неопределенные коэффициенты А и В находим из условия, что составленное удовлетворяет исходному неоднородному ДУ. Нахождение ', '' и подстановку в исходное ДУ осуществляем по схеме:
. Используем тождественное равенство тригонометрических выражений:
Приравниваем коэффициенты при и и вычисляем коэффициенты А и В:
Итак, получено . Проверка:
результат подстановки в левую часть исходного ДУ совпадает с , следовательно найдено верно. Записываем общее решение неоднородного уравнения: . Задача Коши: . ; . Подставив найденные значения с1 и с2 в общее решение, получаем частное решение, соответствующее поставленным начальным условиям: Ответ: . ЗАМЕЧАНИЯ. 1. В общем случае линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами и правой части специального общего вида (2) частное решение ищется в следующем виде: . Здесь – большая из степеней многочленов и ; -- целые многочлены степени k, взятые в самом общем виде с неопределенными коэффициентами; r – это кратность чисел (α±iβ) как корней характеристического уравнения (r = 0 – не являются корнями, r=1 – простые корни, r=2 – двукратные корни и т.д.). 2. Принцип суперпозиции (наложения) частных решений ЛНДУ позволяет расширить возможности работы по сформулированным правилам 1 и 2. ПРИМЕР 4. Найти общее решение ЛНДУ РЕШЕНИЕ. Находим : . Находим : , где – подходит под второй специальный вид, – подходит под первый специальный вид. По принципу наложения частных решений составляем исходного уравнения , где удовлетворяет ДУ , удовлетворяет ДУ . Находим : и - второй специальный вид, в котором ; по правилу 2 составляем и находим коэффициенты А и В:
таким образом, ; проверка : ДУ: – верно. Находим : – первый специальный вид, в котором ; по правилу 1 составляем и находим коэффициенты и : ; ДУ: . Ответ: .
|
||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-06-07; просмотров: 3249; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.12.34.192 (0.009 с.) |