Геометрическая трактовка основных понятий ДУ I порядка

Общее решение: – это однопараметрическое (параметр – ) семейство линий на координатной плоскости , которые называются интегральными линиями дифференциального уравнения.

ЧАСТНОЕ РЕШЕНИЕ: – это одна из интегральных линий.

Начальное условие: - фиксирует точку , через которую проходит интегральная линия, соответствующая частному решению, полученному по этому начальному условию.

Дифференциальное уравнение – задает в каждой точке значение производной , что геометрически равно значению углового коэффициента касательной к интегральной линии. Следовательно, ДУ задает поле направлений касательных к интегральным линиям.

ПРИМЕР 3. - ДУ I порядка. Его общее РЕШЕНИЕ: – это однопараметрическое семейство интегральных линий, имеющих форму парабол с вершинами по оси OY. Начальное условие: - фиксирует на плоскости XOY точку .

Решаем задачу Коши, то есть ищем интегральную линию, проходящую через точку :

- это значение постоянной для искомого частного решения; тогда – искомое частное решение, график которого проходит через точку .

Геометрический смысл ДУ: – задает к интегральной линии в каждой точке ; например, в точке имеем .

Важное значение в теории ДУ имеет теорема существования и единственности частных решений, или решения задачи Коши (без доказательства, рассматриваем только для ДУ I порядка).

ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ДУ I ПОРЯДКА.

Рассмотрим ДУ I порядка в канонической форме и начальное условие . Если функция , стоящая в правой части дифференциального уравнения, в точке и ее окрестности непрерывна и имеет непрерывную частную производную , то ДУ имеет единственное частное решение, удовлетворяющее поставленному начальному условию.

То есть если условия теоремы выполнены, то существует единственная интегральная линия данного ДУ, проходящая через точку .

Если же условия теоремы не выполнены, то нельзя гарантировать существование и единственность интегральной линии, проходящей через точку . Следовательно, в этом случае возможны следующие варианты:

 не существует интегральной линии, проходящей через точку ;

 существует интегральная линия, проходящая через точку , но не единственная;

 существует единственная интегральная линия, проходящая через точку .

Точки , не удовлетворяющие условию теоремы существования и единственности частных решений, называются особыми точками дифференциального уравнения.

Пример 4

1) ­ обе функции непрерывны при любых .

Поэтому в любой точке существует и является единственной интегральная линия данного ДУ. Интегральные линии не пересекаются для этого ДУ ни в одной точке плоскости XOY (см. чертеж в предыдущем примере).

2) -	обе функции непрерывны при любых , кроме точек, в которых .

По теореме существования и единственности заключаем, что

1) через любую точку (x, y), в которой x ≠ 0, проходит единственная интегральная линия;

2) через любую точку (0, y) нельзя гарантировать прохождение единственной интегральной линии.

Общее решение данного ДУ: - это семейство прямых, проходящих через начало координат.

Все точки являются особыми точками этого ДУ. Через одну из них проходят все интегральные линии; через остальные особые точки (точки оси OY) не проходит ни одна из интегральных линий данного ДУ.

ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (РЕШЕНИЕ ДУ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ, ОДНОРОДНЫЕ ДУ, ЛИНЕЙНЫЕ ДУ, ДУ БЕРНУЛЛИ)

Основные типы ДУ I порядка, их каноническая форма и суть методов решения

1. ДУ с разделяющимися переменными:

нужно разделить переменные и проинтегрировать обе части равенства с добавлением константы.

2. Однородные ДУ:

нужно заменить

3. Линейные ДУ I порядка:

нужно заменить

4. ДУ Бернулли, или обобщенное линейное:

, где

нужно заменить

Если общее решение ДУ выражается через интегралы, то говорят, что дифференциальное уравнение интегрируемо в квадратурах.

Например,

1) данное ДУ интегрируемо в квадратурах;

2) ДУ Риккати:

-известо как ДУ, которое не интегрируется в квадратурах.