Метод исключения части неизвестных функций из системы ДУ

Основным методом решения систем вида (1) является метод исключения неизвестных функций, в результате которого система (1) сводится к одному ДУ n-го порядка относительно одной функции. Разберем принципиальное осуществление этого метода.

Поставим задачу: исключить из системы (1) функций y₂, y₃, …, y_n и получить ДУ относительно у₁(х).

1 шаг: Дифференцируем первое уравнение системы (1) по х:

здесь все функции, входящие в правую часть уравнения, выражаются через по равенствам (1), поэтому правую часть последнего уравнения можно обозначить одной ФНП ; в результате получим, что

(2)

2 шаг: продифференцируем ДУ (2) еще раз по х:

(3)

Проделав этап дифференцирования n раз, мы получим вместо системы (1) систему ДУ (2), (3) и т.д. Эта система имеет следующий вид:

Из первых (n-1) уравнений этой последней системы можно алгебраически выразить набор из (n-1) штук функций через ;

подставив эти выражения у₂, …, у_n в последнее уравнение, получим ДУ n -го порядка относительно одной функции y₁(x):

При этом разрешение первых (n-1) уравнений относительно y₂, y₃, …, y_n предполагается гипотетически, в общем случае ничем не обосновывается, но в каждом конкретном случае может подтверждаться практической реализацией.

ПРИМЕР 1.Дана система двух ДУ и начальные условия , . Требуется найти функции у₁(х) и у₂(х).

РЕШЕНИЕ. Решение проводим методом повышения порядка ДУ за счет исключения из системы одной из неизвестных функций. Будем исключать у₂(х), а у₁(х) оставлять.

1 шаг: первое уравнение дифференцируем по х ;

заменяем на выражение, взятое из первого уравнения исходной системы, - на выражение, взятое из второго уравнения исходной системы:

.

Так как в данной системе исключить нужно только одну функцию, то задача решается одним шагом.

Чтобы закончить исключение у₂ и в результате получить ДУ II порядка относительно у₁, возьмем у₂ из первого уравнения исходной системы и подставим в последнее ДУ II порядка: .

Получили ДУ II порядка относительно функции – линейное, неоднородное, с постоянными коэффициентами.

Запишем его в привычном виде «через штрихи» и решим известными методами:



(**)

;

- подходит под I специальный вид, в котором

;

ДУ(**)

.

Общее решение ДУ (**): .

Вторую функцию исходной системы найдем, используя первое уравнение этой системы и уже найденную функцию :

Таким образом, получено решение исходной системы ДУ:

ПРОВЕРКА. Продифференцируем полученные функции и и подставим их и их производные в каждое уравнение исходной системы:

первое уравнение:

- верно;

второе уравнение:

- верно

общее решение системы ДУ найдено верно.

Задача Коши:

Ответ: – это частное решение данной системы, удовлетворяющее поставленным начальным условиям.

ЗАМЕЧАНИЯ.

1.Нормальная система ДУ вида (1) относительно n произвольных функций сводится методом исключения к одному ДУ n -го порядка, поэтому в общее решение системы должно войти ровно n произвольных постоянных, и для их нахождения нужно ставить n начальных условий

общее решение , начальные условия

2. Если в систему ДУ входят производные высших порядков, то ее всегда можно привести к нормальной форме введением вспомогательных функций, а только после этого просчитать порядок того ДУ, к которому сведется система методом исключения, а следовательно, и количество произвольных постоянных.

Пример 2.Рассмотрим механическое движение материальной точки ,

ускорение ,

– координаты движущейся точки (функции от t, t-время),

равнодействующая сила .

Запишем уравнение движения в скалярной форме и получим систему дифференциальных уравнений относительно функций , , :

Сводим систему к нормальной форме с помощью вспомогательных функций :

, .

Система в нормальной форме:

Эта система сведется к ДУ VI порядка и в ее общее решение будет входить 6 произвольных констант (точнее, не более 6, так как иногда система n уравнений сводится к одному ДУ более низкого порядка, чем n; это бывает в случае, когда среди уравнений системы нет независимости и часть из них является следствием других уравнений).

3. При решении нормальных систем ДУ методом повышения порядка сохраняется тип ДУ исходной системы, в частности, гарантированно сохраняется линейность, то есть если все ДУ системы являются линейными, то и сведение будет к линейному ДУ. Также сохраняется постоянство коэффициентов и однородность или неоднородность ДУ. Это дает возможность отдельно построить теорию решения линейных систем с постоянными коэффициентами. Так можно рассмотреть нормальную систему линейных однородных ДУ с постоянными коэффициентами:

(4)

(в скобках написано выражение для случая неоднородных ДУ) неизвестные функции: ; - числа или const по t, называются коэффициентами системы линейных ДУ.

Решение такой однородной системы (4) естественно искать в виде набора экспонент

Здесь - это числа, которые подбираются из условия, что все функции x₁(t), x₂(t), …, x_n(t) удовлетворяют исходной системе ЛОДУ.

Подставив эти функции в систему (4), получим:

Это система линейных алгебраических уравнений относительно , причем недоопределенная, так как уравнений n штук, а неизвестных (n+1) штук.

Набор является тривиальным решением этой системы, но он приводит и к тривиальному решению системы ДУ . Для нахождения нетривиальных решений запишем систему как однородную относительно :

Для существования нетривиальных решений однородной системы необходимо и достаточно, чтобы главный определитель системы был равен 0, то есть

.

Это равенство называется характеристическим уравнением для системы ДУ (4), оно является алгебраическим уравнением n -ной степени относительно числа k и, следовательно, имеет ровно n корней на множестве комплексных чисел С.

Далее по корням характеристического уравнения разрабатывается теория записи общего решения системы, аналогичная правилу составления ФСЧР и общего решения линейного однородного ДУ с постоянными коэффициентами n -го порядка.

4. Система линейных ДУ с постоянными коэффициентами часто записывается и решается в матричном виде: (4) , где

Характеристическое уравнение этой системы имеет вид , где - это единичная матрица порядка n. Работа с системой (4) становится более компактной.

5. Понятие фазового пространства.

Рассмотрим систему трех ДУ относительно трех функций , записанную в нормальной форме:

Решение этой системы всегда можно трактовать как траекторию движения точки с координатами в пространстве R ³, при этом решение системы является параметрическими уравнениями этой траектории движения.

Аналогично решение системы относительно n неизвестных функций можно трактовать как уравнение линии (траектории движения) точки в пространстве R ⁿ, которое и называется фазовым пространством для данной системы ДУ.

Такая трактовка дает возможность проиллюстрировать решения системы ДУ в виде некоторых линий в фазовом пространстве.