Методические пособия, изданные в МГТУ (МП)

ЛИТЕРАТУРА

Основная литература (ОЛ)

1. Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия: Учеб. для вузов / Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1998. – 392 с. (Сер. Математика в техническом университете, вып. III).

 

2. Канатников А.Н., Крищенко А.П. Линейная алгебра: Учеб. для вузов / Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. – 336 с. (Сер. Математика в техническом университете, вып. IV).

3. Канатников А.Н., Крищенко А.П., Четвериков В.Н. Дифференциальное исчисление функций многих переменных: Учеб. для вузов / Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003. – 456 с. (Сер. Математика в техническом университете, вып. V).

4. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. – М.: Физматлит, 2005.

5. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. Т. 1. – М.: Интеграл-Пресс, 2006. – 416 с.

6. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Т. 2. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.: Дрофа, 2003. – 512 с.

7. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 1. Линейная алгебра и основы математического анализа: Учеб. пособие для втузов / Под ред. А.В. Ефремова, Б.П. Демидовича. – М.: Наука, 1993. – 478 с.

8. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 2. Специальные разделы математического анализа: Учеб. пособие для втузов / Под ред. А.В. Ефремова, Б.П. Демидовича. – М.: Наука, 1986. – 368 с.

9. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов / Под ред. Б.П. Демидовича. – М.: Интеграл-Пресс, 1997. – 416 с.

Дополнительная литература (ДЛ)

1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Наука, 1984. – 319 с.

2. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т. 2. – М.: Высш. шк., 1981. – 584 с.

3. Сборник задач по линейной алгебре / Под ред. С.К. Соболева. – М.: МГТУ, 1991. –154 с.

4. Вся высшая математика: Учебник для втузов: В 6 т. / Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко и др. – Т. 1. – М.: Эдиториал УРСС, 2000. – 327 с.

5. Вся высшая математика: Учебник для втузов: В 6 т. / Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко и др. – Т. 2. – М.: Эдиториал УРСС, 2000. – 184 с.

6. Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. Под ред. Д.В. Беклемишева. – М.: Наука, 1987. – 496 с.

Методические пособия, изданные в МГТУ (МП)

1. Крищенко А.П. Линейные пространства. Линейные операторы: Учеб. пособие. – М.: МГТУ, 1988. – 49 с.

2. Ильичев А.Т., Крапоткин В.Г., Савин А.С. Линейные операторы. Методические указания к выполнению типового расчета. – М.: МГТУ, 2003. – 36 с.

3. Пугачев О.В., Стась Г.П, Чередниченко А.В. Квадратичные формы и их геометрические приложения. Методические указания к выполнению типового расчета. – М.: МГТУ, 2004. – 59 с.

4. Богомолов В.Г., Матвеев М.В., Филиновский А.В. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. – М.: МГТУ, 1993. – 52 с.

5. Богомолов В.Г., Матвеев М.В., Филиновский А.В. Прикладные задачи дифференциального исчисления функций нескольких переменных. – М.: МГТУ, 1993. – 56 с.

6. Гришина Г.В., Демин А.И., Михайлова О.В. Функции многих переменных. Методические указания к выполнению домашнего задания. – М.: МГТУ, 2003. – 44 с.

7. Дерябина Г.С., Чуев В.Ю. Вектор-функция нескольких переменных. – М: МГТУ, 2002, – 26 с.

ЛЕКЦИИ

Модуль 1: Матрицы и системы линейных алгебраических уравнений

Лекция 1. Пространство арифметических векторов. Линейная зависимость и линейная независимость арифметических векторов, необходимое и достаточное условие линейной зависимости. Минор матрицы. Базисный минор. Теорема о базисном миноре и её следствие для квадратной матрицы.

ОЛ-1 гл.6 п.6.7; гл.8 п.8.4-8.5; ОЛ-4 гл.1 пар.3 п.1-2; ОЛ-5 гл.5 пар. 4.

Лекция 2. Ранг матрицы. Теорема о ранге матрицы (без док-ва). Инвариантность ранга матрицы относительно элементарных преобразований (без док-ва). Методы вычисления ранга матрицы. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Координатная, матричная и векторная форма записи. Критерий Кронекера-Капелли совместности неоднородной системы линейных уравнений.

ОЛ-1 гл.8 п.8.4 – 8.6; гл.9 п.9.1-9.3; ОЛ-4 гл.1 пар.3; гл.3 пар.1; ОЛ-5 гл.5 пар. 4-5.

Лекции 3–4. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Однородные системы линейных алгебраических уравнений. Свойства решений однородной системы. Теорема о числе линейно независимых решений однородной СЛАУ. Фундаментальная система решений однородной СЛАУ. Теорема о структуре общего решения неоднородной СЛАУ. Свойства решений неоднородной и соответствующей однородной системы. Построение нормальной фундаментальной системы решений системы линейных однородных уравнений и частного решения совместной неоднородной системы линейных уравнений.

ОЛ-1 гл.9 п.9.5 – 9.7; ОЛ-4 гл.3 пар.2; ОЛ-5 гл.5 пар. 5.

Модуль 2: Линейные и евклидовы пространства

Лекция 5. Аксиоматика линейного пространства. Примеры линейных пространств. Следствия из аксиом. Линейные комбинации векторов, линейно зависимые и линейно независимые системы векторов, критерий линейной зависимости и независимости векторов. Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем векторов. Размерность и базисы линейного пространства. Разложение вектора по базису, единственность разложения. Конечномерные линейные пространства.

ОЛ-2 гл.1 п.1.1 – 1.7; ОЛ-4 гл.2 пар.1-2; ОЛ-5 гл.6 пар. 1.

Лекция 6. Координаты вектора. Линейные операции над векторами в координатной форме. Переход к новому базису, матрица перехода. Преобразование координат вектора при переходе к другому базису. Подпространства линейных пространств, их свойства, размерность. Линейная оболочка системы векторов. Ранг системы векторов.

ОЛ-2 гл.1 п.1.6, 1.8; гл.2 п.2.1-2.2, 2.4-2.6; ОЛ-4 гл.2 пар.2-4; ОЛ-5 гл.6 пар. 1-2.

Лекция 7. Аксиоматика евклидова пространства, скалярное произведение. Примеры евклидовых пространств. Неравенство Коши-Буняковского. Нормированное пространство. Норма вектора и её свойства. Угол между векторами. Ортогональные векторы, линейная независимость ортогональной системы векторов.

ОЛ-2 гл.3 п.3.1 –3.5; ОЛ-4 гл.4 пар.1-3; ОЛ-5 гл.7 пар.1.

Лекция 8. Ортонормированный базис евклидова пространства, его построение из произвольного базиса с помощью процесса ортогонализации Грама-Шмидта. Скалярное произведение векторов в произвольном и ортонормированном базисах. Матрица Грама и её свойства.

ОЛ-2 гл.3 п.3.6 – 3.8; ОЛ-4 гл.4 пар.2 п.1-4; ОЛ-5 гл.7 пар. 1,3.

Лекция 9. Ортогональные матрицы и их свойства. Теорема о матрице перехода от ортонормированного базиса к ортонормированному базису. Изоморфизм линейных и евклидовых пространств. Теорема об изоморфизме конечномерных линейных пространств. Теорема об изоморфизме конечномерных евклидовых пространств.

ОЛ-2 гл.7 п.7.1, 7.3; гл.4 п.4.2; ОЛ-5 гл.7 пар.1 п.6; гл.6 пар.3 п.3.

Модуль 3: Линейные операторы

Лекция 10. Понятие линейного оператора. Примеры. Матрица линейного оператора, ее преобразование при замене базиса. Подобные матрицы. Линейные операции над линейными операторами. Произведение линейных операторов. Связь между операциями с линейными операторами и операциями с их матрицами. Обратный оператор и его матрица.

ОЛ-2 гл.4 п.4.1 – 4.5; ОЛ-4 гл.5 пар.1-2; ОЛ-5 гл.6 пар.3.

Лекция 11. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора, их нахождение. Характеристический многочлен, его инвариантность относительно выбора базиса. Линейная независимость собственных векторов, соответствующих различным собственным значениям. Матрица линейного оператора в базисе из собственных векторов.

ОЛ-2 гл.5 п.5.1 – 5.5; ОЛ-4 гл.5 пар.3; ОЛ-5 гл.6 пар. 4.

Лекция 12. Линейные операторы в евклидовых пространствах. Сопряженный оператор. Линейность сопряженного оператора. Матрица сопряженного оператора в ортонормированном базисе. Свойства сопряженного оператора.

ОЛ-2 гл.6 п.6.1; ОЛ-4 гл.5 пар.5 п.1; ОЛ-5 гл.7 пар. 2.

Лекция 13. Самосопряженный (симметрический оператор), симметричность его матрицы в ортонормированном базисе. Свойства собственных значений и собственных векторов самосопряженного линейного оператора. Существование ортонормированного базиса евклидова пространства из собственных векторов самосопряженного оператора.

ОЛ-2 гл.6 п.6.2 – 6.3; ОЛ-4 гл.5 пар.5 п.2; ОЛ-5 гл.7 пар. 2.

Лекция 14. Ортогональный оператор. Свойства ортогонального оператора. Теорема об ортогональности его матрицы в ортонормированном базисе. Ортогональные преобразования координат. Приведение матрицы самосопряженного оператора к диагональному виду с помощью ортогонального преобразования.

ОЛ-2 гл.7 п.7.2 – 7.4; ОЛ-4 гл.5 пар.9; ОЛ-5 гл.7 пар.2.

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ

Контрольные мероприятия

Модуль 1: Матрицы и системы линейных алгебраических уравнений (5 неделя, максимум 16 баллов, минимум 8 баллов).

Рубежный контроль по модулю 1 (5 неделя).

Модуль 2: Линейные и евклидовы пространства (9 неделя, максимум 20 баллов, минимум 10 баллов).

Домашнее задание №1 «Линейные и евклидовы пространства» (выдача 6 неделя, прием 9 неделя).

Рубежный контроль по модулю 2 (9 неделя).

Модуль 3: Линейные операторы (13 неделя, максимум 26 баллов, минимум 14 баллов).

Рубежный контроль по модулю 2 (13 неделя).

Модуль 4: Квадратичные формы (17 неделя, максимум 28 баллов, минимум 14 баллов)

Домашнее задание №2 «Приложения квадратичных форм» (выдача 13 неделя, прием 17 неделя).

Рубежный контроль по модулю 2 (17 неделя).

Типовые задания

Домашнее задание №1. «Линейные и евклидовы пространства»

Модуль 2, литература МП-1, МП-2.

Задача 1 (2 балла). В линейном пространстве свободных векторов выбран правый орто­нор­мированный базис , , . Этот базис поворачивается вокруг заданного вектора (это один из базисных векторов) на заданный угол в указанном направлении (положительном или отрицательном), а затем вокруг вектора (один из базисных векторов в новом положении) на заданный угол в указанном направлении. В результате получается новый базис , , . Найти матрицу перехода из старого базиса в новый.

Вариант: , , , .

Задача 2 (4 балла). В евклидовом пространстве задан базис , , , (координаты этих векторов определены в стандартном базисе) и два вектора и (их координаты определены в заданном базисе ).

1. Применяя процесс ортогонализации, построить по базису новый ортонор­ми­рованный базис .

2. Найти матрицу перехода от нового базиса к старому базису .

3. Найти координаты векторов и в базисе .

4. Вычислить скалярное произведение .

5. Вычислить угол между векторами и .

Вариант:

, , , , ,

Домашнее задание №2 «Приложения квадратичных форм»

Модуль 4, литература МП-1, МП-2, МП-3.

Уравнение а) линии второго порядка на плоскости в системе координат и уравнения б) поверхности второго порядка в пространстве в системе координат привести к каноническому виду, указав:

1) одно из преобразований перехода от заданной системы координат к канонической системе координат (собственные числа ортогонального преобразования расположить в порядке возрастания);

2) канонический вид уравнения линии и поверхности, значения всех параметров, характеризующих форму линии и поверхности;

3) на плоскости построить исходную систему координат , каноническую систему координат , эскиз линии; для центральной линии найти координаты центра, вершин, фокусов, уравнения асимптот (для гиперболы), а для параболы — координаты вершины, фокуса, уравнение директрисы;

4) поверхность построить в канонической системе координат.

Вариант:

а) ; — 4 балла

б) .— 6 баллов

ЛИТЕРАТУРА

Основная литература (ОЛ)

1. Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия: Учеб. для вузов / Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1998. – 392 с. (Сер. Математика в техническом университете, вып. III).

 

2. Канатников А.Н., Крищенко А.П. Линейная алгебра: Учеб. для вузов / Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. – 336 с. (Сер. Математика в техническом университете, вып. IV).

3. Канатников А.Н., Крищенко А.П., Четвериков В.Н. Дифференциальное исчисление функций многих переменных: Учеб. для вузов / Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003. – 456 с. (Сер. Математика в техническом университете, вып. V).

4. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. – М.: Физматлит, 2005.

5. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. Т. 1. – М.: Интеграл-Пресс, 2006. – 416 с.

6. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Т. 2. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.: Дрофа, 2003. – 512 с.

7. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 1. Линейная алгебра и основы математического анализа: Учеб. пособие для втузов / Под ред. А.В. Ефремова, Б.П. Демидовича. – М.: Наука, 1993. – 478 с.

8. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 2. Специальные разделы математического анализа: Учеб. пособие для втузов / Под ред. А.В. Ефремова, Б.П. Демидовича. – М.: Наука, 1986. – 368 с.

9. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов / Под ред. Б.П. Демидовича. – М.: Интеграл-Пресс, 1997. – 416 с.

Дополнительная литература (ДЛ)

1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Наука, 1984. – 319 с.

2. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т. 2. – М.: Высш. шк., 1981. – 584 с.

3. Сборник задач по линейной алгебре / Под ред. С.К. Соболева. – М.: МГТУ, 1991. –154 с.

4. Вся высшая математика: Учебник для втузов: В 6 т. / Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко и др. – Т. 1. – М.: Эдиториал УРСС, 2000. – 327 с.

5. Вся высшая математика: Учебник для втузов: В 6 т. / Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко и др. – Т. 2. – М.: Эдиториал УРСС, 2000. – 184 с.

6. Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. Под ред. Д.В. Беклемишева. – М.: Наука, 1987. – 496 с.

Методические пособия, изданные в МГТУ (МП)

1. Крищенко А.П. Линейные пространства. Линейные операторы: Учеб. пособие. – М.: МГТУ, 1988. – 49 с.

2. Ильичев А.Т., Крапоткин В.Г., Савин А.С. Линейные операторы. Методические указания к выполнению типового расчета. – М.: МГТУ, 2003. – 36 с.

3. Пугачев О.В., Стась Г.П, Чередниченко А.В. Квадратичные формы и их геометрические приложения. Методические указания к выполнению типового расчета. – М.: МГТУ, 2004. – 59 с.

4. Богомолов В.Г., Матвеев М.В., Филиновский А.В. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. – М.: МГТУ, 1993. – 52 с.

5. Богомолов В.Г., Матвеев М.В., Филиновский А.В. Прикладные задачи дифференциального исчисления функций нескольких переменных. – М.: МГТУ, 1993. – 56 с.

6. Гришина Г.В., Демин А.И., Михайлова О.В. Функции многих переменных. Методические указания к выполнению домашнего задания. – М.: МГТУ, 2003. – 44 с.

7. Дерябина Г.С., Чуев В.Ю. Вектор-функция нескольких переменных. – М: МГТУ, 2002, – 26 с.

ЛЕКЦИИ