Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Метод Ритца решения вариационных задач.Содержание книги
Похожие статьи вашей тематики
Поиск на нашем сайте Идею метода Ритца рассмотрим на примере простейшей вариационной задачи , (1) . (2) Будем считать, что вариационная задача (1), (2) имеет решение : . Последовательность функций называют минимизирующей, если . Основная идея метода Ритца заключается в сведении вариационной задачи к задаче на отыскание минимума функции. Пусть имеется семейство функций , таких, что при любых конечных значениях числовых параметров каждая функция принадлежит . Тогда и возникает задача нахождения значений параметров, при которых функция принимает минимальное значение. Если функция непрерывно дифференцируема по своим аргументам, то можно воспользоваться принципом Ферма и определить искомые значения параметров из системы уравнений . (3). В методе Ритца в качестве -го приближения к решению вариационной задачи (1), (2) берется функция . Семейство функций , называется -полным на , если для , , такие, что . Теорема. Если функция непрерывна в области и семейство функций является -полным на , то последовательность , построенная по Ритцу минимизирующая. Доказательство. Зададимся произвольным положительным числом . В силу непрерывности , существует , такое,что при . Поскольку система функций является -полной на , то для , такие, что функция удовлетворяет неравенствам при . Таким образом, . Учитывая, что , отсюда имеем . Так как произвольно, то окончательно получаем . Теорема доказана. Для функционала (4) имеет место Теорема. Если последовательность является минимизирующей для вариационной задачи (4), (2), то она сходится к решению этой задачи. Доказательство. Элемент минимизирующей последовательности приближает решение вариационной задачи с погрешностью . Применяя к последнему интегралу неравенство Буняковского, имеем . Учитывая, что на , получаем Учитывая , получаем окончательную оценку , из которой следует утверждение теоремы.
62. Построение системы линейных уравнений для определения значений параметров в методе Ритца. Краевая задача , (1) (2) эквивалентна вариационной задаче (3) . (4) Сначала зададим семейство функций , которое было бы -полным на , а затем построим минимизирующую последовательность , где значения параметров опр-ся из системы вида . (5). Выберем последовательность функций так, чтобы выполнялись следующие условия: 1) ; 2) ; 3) функции линейно независимы; 4) система функций , образованных по правилу является - полной на . Очевидно, коэффициенты при можно трактовать, как координаты функции . Поэтому функции называют координатными. Имеем Система (5) в данном случае получается в виде (6) Систему можно записать в стандартной форме , где коэффициенты определяются формулами Теорема. Если на , то система (6) имеет единственное решение. Доказательство. Рассмотрим однородную систему, соответствующую (6): Умножим каждое уравнение системы на соответствующее и просуммируем получившиеся уравнения. В результате получим В силу положительности отсюда следует и . Таким образом, , поскольку координатные функции линейно независимы. Следовательно, рассматриваемая однородная система имеет только тривиальное решение, ее определитель отличен от нуля и соответствующая неоднородная система имеет единственное решение при любых правых частях уравнений. Теорема доказана. В качестве координатных функций на практике часто берут функции: 1) или ; 2) . При этом в обоих случаях для обеспечения выполнения граничных условий берут функцию . Легко видеть, что система функций принадлежит множеству допустимых функций. Доказательство -полноты на системы функций с координатными функциями первого вида проведем сначала для случая нулевых граничных условий . Возьмем и . Для существует многочлен степени , такой, что . Рассмотрим многочлен степени : . Он принадлежит множеству . Для производных на отрезке справедлива оценка Проведем оценку приближения на отрезке функции многочленом Обозначим . Отсюда . Таким образом, многочлен представляется в виде . Рассмотрим теперь случай ненулевых граничных условий. Возьмем и . Для функции построим указанным выше способом многочлен , для которого выполняются неравенства Таким образом, многочлен и его производная приближают соответственно функцию и ее производную с погрешностью, не превышающей . 63. Вариационно-разностный вариант метода Рица. Решение вариационной задачи (1) . (2) методом Ритца заключается в построении минимизир. последовательности . (3) Значения параметров находятся из системы линейных алгебраических уравнений , (4) коэффициенты которой вычисляются по формулам (5) . (6) Следовательно, основной объем вычислений при решении вариационной задачи (1), (2) методом Рица приходится на вычисления по формулам (5), (6) и решение системы (4). Уменьшить объем вычислений можно за счет рац. выбора корд. ф-ий. На отрезке построим сетку . (7) и зададим последовательность координатных функций и (8). При таком задании координатных функций для значений минимизир. посл-ти ф-ий (3) во внутр. узлах сетки получаем След-но, значения парам. имеют смысл приближений к решению во внутренних узлах сетки и формулы (3) и (4) можно переписать в виде (3’), (4’). Подставим в расчетные формулы (5) и (6) заданные координатные функции (8). Получаем при , , Система (4¢) в данном случае является симметричной и трехдиагональной , , .
|
||
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-06; просмотров: 942; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.222.118.236 (0.007 с.) |