Постановка задачи интерполирования. Существование и единственность обобщенного интерполяционного многочлена.

Интерполирование или интерполяция – это один из наиболее часто применяемых на практике методов приближения функций. Задача интерполирования ставится следующим образом.

Рассмотрим пространство функций, определенных на отрезке . Пусть в пространстве задана последовательность линейно независимых функций . Пусть также на отрезке задана последовательность попарно неравных точек при . Образуем линейную комбинацию (1)

Линейную комбинацию вида (1) называют обобщенным многочленом по системе функций .

Систему функций называют системой Чебышева на отрезке , если любой нетривиальный обобщенный многочлен по этой системе обращается в нуль на отрезке не более чем в n точках.

В задаче интерполирования функцию нужно приблизить обобщенным многочленом (1) так, чтобы значения функции и обобщенного многочлена совпадали в заданных точках:

. (2)

Обобщенный многочлен , удовлетворяющий условиям (2), называют интерполяционным обобщенным многочленом. При этом функцию , для которой строится интерполяционный обобщенный многочлен, называют интерполируемой функцией, а точки называют узлами интерполяции. Равенства (2) будем называть интерполяционными условиями.

Теорема существования и единственности интерполяционного обобщенного многочлена. Для того чтобы для любой функции при любых наборах попарно неравных узлов существовал интерполяционный обобщенный многочлен по системе функций , необходимо и достаточно, чтобы эта система функций была системой Чебышева на отрезке . При этом интерполяционный обобщенный многочлен будет единственным.

Доказательство. Возьмём из (1) интерполяционные условия (1)

Интерполяционные условия представляют собой систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов . Система (1) имеет решение при любых правых частях тогда и только тогда, когда ее определитель отличен от нуля.

Докажем необходимость. Допустим противное: при любых наборах попарно неравных узлов на отрезке , а система функций не является системой Чебышева на этом отрезке. Тогда существует нетривиальный обобщенный многочлен , который обращается в нуль на более чем в n точках. Возьмем n+ 1 из них в качестве узлов . Следовательно, . Это означает, что столбцы определителя линейно зависимы и . Полученное противоречие доказывает необходимость.

Достаточность. Допустим противное: система функций является системой Чебышева на отрезке , а при некотором наборе попарно неравных узлов на этом отрезке. Следовательно, столбцы определителя линейно зависимы: . Последнее означает, что нетривиальный обобщенный многочлен обращается в нуль на более, чем в n точках, то есть, система функций не является на этом отрезке системой Чебышева. Полученное противоречие доказывает достаточность.

Поскольку при система (1) имеет единственное решение, то интерполяционный обобщенный многочлен также будет при этом единственным. Теорема доказана.

 

Интерполяционный многочлен Лагранжа.

Запишем решение с-мы (1) по ф-лам Крамера и выполним разложение по столбцу i: . Т.о., инт. об. мн-н м. представить в виде (2)

.Интерполяционный многочлен Лагранжа. С-ма ф-ций , (1) в силу осн. теоремы алгебры, явл. с-мой Чебышева на любом отрезке. Для любой ф-ции по этой с-ме ф-ий при любом наборе попарно неравных узлов ! инт. обоб. мн-н, к-ый м. б. записан в виде , (2) где обоб. мн-ны не зависят от ф-ии .Зафикс. j и рассм. ф-ию , приним. в узлах значения Для этой ф-ии имеем инт. обоб. мн-н . Т.к. вып-ся инт. усл-я, то . Т.о., для обоб. мн-нов имеет место св-во (3) Если построить обоб. мн-ны , удовл. св-ву (3), то тем самым б. построен инт. обоб. мн-н (2). Для с-мы ф-ий (1),очевидно, мн-ны обл. св-м (3). Т.о., по с-ме ф-ий (3) инт-ый мн-н получается в виде (4). (4) наз. инт.мн-м Лагранжа для ф-и по . Обозн. .имеем и .С исп-ем мн-на инт.мн-н Лагранжа примет вид . (4’)

 

Схема Эйткина

Рассм. задачу инт-ия. Ф-я задана на табл .(1) Треб. для заданного знач. вычисл. приближ. знач. ф-и, исп-я инт. мн-н. Обозн. через инт. мн-н, постр. для ф-и по узлам В сх. Эйткена сначала для заданного знач. арг. выб-ся ближ-й табл. узел среди всех табл-х узлов . Пусть это б. табл. узел . Этот табл.узел берется в кач-ве узла инт-ии . Соотв.табл. зн-е ф-и обозн.через . Это табл.знач. м. сч. нач. приближением к иском. зн-ю ф-и в т. .Далее из ост. табл. узлов выбирается ближ. к . Это б. или или Найденный ближ. узел обозн. ,а соотв. табл. зн-е обозн. Затем проводятся выч-я по ф-ле .(2) Здесь в числителе дроби нах. определитель кв.матрицы 2-го порядка. Опр-мый ф-ой (2) мн-н имеет 1-ую степень и для него вып-ся инт. ус-я . Б. сч. тожд-ми обоз-я и Тогда ф-ла (2) м.б. переписана в виде . Выч-ое зн-е явл. 2-ым приближением к искомому зн-ию . Это зн-е получается линейной инт-ей по ф-ле (2). На след. шаге сх.Эйткена из ост. табл. узлов нах. ближ. к заданному зн-ию и обозн. через (берется в качестве) . Новое приближение к искомому значению вычисляется по формуле (3) Перед этим предварительно должно быть вычислено , которое вычисляется по формуле, аналогичной формуле (2), в которой все индексы должны быть увеличены на 1. Легко видеть, что при этом будут выполняться условия интерполяции , .Если значения и совпадают в пределах требуемой точности, то вычисления прекращаются. В качестве окончательного результата берется значение . В противном случае выбирается еще один узел интерполяции и проводятся вычисления по формуле (4) при i=3 и k=1, 2, 3. Формула (4) является основной вычислительной формулой схемы Эйткена.