Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Разделенные разности и интерполяционная формула Ньютона с разделенными разностями.Содержание книги
Похожие статьи вашей тематики
Поиск на нашем сайте
Ф-ия на задана табл. , . Разд.раз-ти порядка k опр. рекуррентно ч-з разд.раз-ти порядка р-вом (1) Здесь разд.раз-ти 0-го порядка совпадают со значениями функции в узлах. Лемма. Для разд.раз-й справедливо равенство (2) Док-во. По методу мат. индукции. При получаем Далее предположим, что (2) верна для всех разд. разн-й порядка включительно. Докажем, что (2) имеет место для разностей порядка Лемма док-на. Из нее =>, что разд. разн-ти явл. симметричными функциями своих арг-тов. Интерполяц. многочлен Ньютона с разд. разн-ми. Через будем обозначать интерпол. многочлен Лагранжа для ф-и , , построен. по узлам , Рассмотрим очевидное тож-во (1). Разность есть мн-н степени с корнями ,т.к. в силу инт. условий при имеем . Поэтому (2) Положим в (2) и найдем константу : . Итак, получили . Теперь (1) можно записать в виде (3) Ф-лу (3) наз. инт. ф-лой Ньютона с разд. разностями.
Конечные разности и интерполяционные формулы Ньютона с конечными разностями. Пусть ф-ия на отрезке задана табл. с равноотстоящими узлами . Конечные раз-ти порядка k опр. рекуррентно через конечные раз-ти порядка k-1рав-ом (1). Здесь конечные раз-ти нулевого порядка берутся равными значениям функции в узлах. Лемма. Разд. раз-ти в случае равноотстоящих узлов выр-ся ч-з конечные раз-ти по формуле (2). Доказательство. Для случая k=1проверяем формулу непосредственно . Пусть ф-ла (2) справедлива для раз-ей порядка k-1. Т.имеем .Лемма доказана. В случае выбора в качестве узлов инт. табл. узлов ф-ла Ньютона с разд-ми разн-ми принимает вид (3)Заменим в ней разд. раз-ти конечными в соответствии с (2). Получим (4). В формуле (4) сделаем замену переменной по правилу (4′). Формулу (4′) наз инт. ф-й Ньютона для инт-ия в начале таблицы или для инт. вперед. Здесь имеется в виду, что при p = 0 первый узел инт-ии совп. с начальным узлом т-цы и ост. инт. узлы расп-ся от него вниз (вперед) по таблице. В качестве узлов инт-ии возьмем теперь табличные узлы . Т. инт. формула Ньютона с разд. раз-ми при-ет вид . (5)Так как разд. разности явл-ся сим-ми f-ми своих аргументов, то по формуле (2) имеем . (6) Заменим в формуле (5) разд. р-ти конечными в соответствии с формулой (6). Получим .(7) В формуле (7) сделаем замену переменной по пр-лу : (7′) Ф-лу (7′) наз-ют инт. формулой Ньютона для инт-ия в конце табл. или для инт-ия назад. Здесь имеется в виду, что при первый узел инт-ии совпадает с последним узлом таблицы и остальные инт-ые узлы расп-ся от него вверх (назад) по таблице. Зам. В кач. нач. узла инт-ии обычно выб-ся табл. узел , ближайший к зад. значению аргумента x. Далее выч. . Если , в качестве инт-ых берутся табл. узлы вниз от и выч. пров-ся по инт. Ф-е Ньютона (4′) для инт. в начале таблицы. В случае когда , в кач-е инт. берутся табл. узлы вверх от и вычисления проводятся по инт. формуле Ньютона (7′) для инт-ия в конце табл.
Составление таблиц. Для зад-ой ф-ии требуется постр. на отрезке т-цу . При этом постоянный шаг таблицы h должен быть выбран так, чтобы таблица допускала инт-ию многочленом степени k с заданной точностью . При решении поставленной задачи воспользуемся полученной оценкой остаточного члена инт. многочлена Лагранжа степени k по узлам : ,(1) где , . Т. о., шаг т-цы h следует выбрать так, чтобы уд-лось не-во .(2)Проведем замену переменного по пр-лу . Т. не-во (2) принимает вид . Сл-но, искомое значение шага т-цы h должно уд. Не-ву (3)Здесь предп-ся, что зн-е ар-та x отрезку инт-ии . Итак, задача нах-ия искомого значения шага таблицы h сводится к задаче нахождения max ф-ии на отрезке .В случае линейной инт-ии k=1имеем . Решение уравнения дает . Т.о., т-ца допускает линейную инт-ию с заданной точностью, если ее шаг уд-ет неравенству .(4) Для ф-ии имеем и при можно взять h=0.002. В случае квадратичной интерполяции k= 2имеем . Решение Ур-ия дает .Получаем . Т.о., т-ца допускает квадратичную инт-ю с заданной точностью, если ее шаг уд-ет не-ву (5) Если при квадр-ой инт-ии выбирать узлы инт-ии так, чтобы таб-ый узел был ближайшим к x,то.б вып. не-во или и при выборе шага нужно находить только . Поскольку , то ф-ия на отрезке монотонно убывает. Сл-но, . В рез-те приходим к оценке шага т-цы .(6)Для ф-ии имеем и при м.взять h= 0.02.Т-ца ф-ии y=sin x, доп-щая кв-ую инт-ию, требует для своего хр-ия в 10 раз < объема памяти, чем т-ца этой же ф-ии, доп-ая только лин-ую инт-ию.
|
||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-06; просмотров: 598; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.236.112.101 (0.008 с.) |