Обобщенный закон взаимодействия, или обобщенный третий закон Ньютона.

 

Детальный разбор третьего и четвертого начал ОТ позволил по-новому взглянуть на проблему симметрии и тем самым заметно расширить наше понимание соотношений взаимности. Физическое содержание этих соотношений еще лучше прояс­няется, если равенство (85) переписать в виде

¶Р₁¶Е₁ = ¶Р₂¶Е₂ Дж, (90)

где

¶Р₁¶Е₁ = dQ₁; ¶Р₂¶Е₂ = dQ₂ (91)

При такой записи надо не забывать, что изменение каждого данного экстенсора рассматривается в условиях постоянства всех остальных.

Из выражений (90) и (91) видно, что величины dQ₁ и dQ₂ представляют собой некие работы, и это вполне естественно, ибо речь идет о силовом механизме взаимного влияния раз­личных степеней свободы ансамбля. Именно поэтому симмет­ричное изменение состояния системы требует равенства между собой работ, которые совершаются в ходе реализации взаимо­действий.

Взаимодействие происходит между подводимым веществом и неподвижным ансамблем системы. Отмеченная закономер­ность (90) наблюдается в момент присоединения (или отрыва) вещества к ансамблю на завершающем (начальном) участке пути вещества. Так что фактически все осуществляется вблизи неподвижного ансамбля и сопровождается изменением состоя­ния системы.

После прекращения этого процесса утрачивают смысл такие понятия, как работа, сила и перемещение. Результатом совершенной работы является энергия (см. уравнение (31)), которая представляет собой количественную меру связи порций веществ в ансамбле. Следовательно, равенство работ (90) можно рассматривать как равенство энергий связи первого вещества со вторым и второго с первым, что вполне зако­номерно.

Сделанный вывод имеет огромное теоретическое и практи­ческое значение. Во-первых, он позволяет понять глубинный смысл соотношений взаимности. Во-вторых, он говорит о том, что при взаимодействии двух веществ (ансамблей, тел) должно соблюдаться не равенство сил действия и противодействия, как того требует известный третий закон механики Ньютона, а равенство соответствующих работ или энергий связи. Этот чрезвычайно важный результат, который будет иметь необозри­мое количество всевозможных последствий для науки и техники, мы будем именовать обобщеннымзаконом взаимодействия, или обобщенным третьим законом Ньютона.

Обобщенный третий закон Ньютона, утверждая равенство работ взаимодействия (энергий связи), ни слова не говорит о действующих силах и пройденных путях. Это можно тракто­вать и так, что для процессов взаимодействия важны только работы и энергии и не существенны силы и пути. Такое пони­мание в принципе не исключает возможности несоблюдения равенства сил действия и противодействия, если окажутся неодинаковыми пройденные пути, которые пребывают в прямой зависимости, например, от хода реального физического времени на взаимодействующих телах. Таким образом, особую ценность полученного результата надо видеть в том, что он в принципе позволяет нарушать третий закон механики Ньютона. Все эти вопросы более подробно и наглядно излагаются в гл. XXI, где находятся необходимые и достаточные условия для такого нарушения - посредством управления ходом времени.

Из обобщенного третьего закона Ньютона также следует, что порции веществ (ансамбли, тела) удерживаются друг подле друга не силами, ибо сила есть мера качества поведения тел в процессе их сближения или отдаления (то есть в процессе совершения работы) и после прекращения этого процесса в телах не остается, а энергией (соответствующее понятие энергии связи в свое время было выработано в физике). Что касается собственно третьего закона Ньютона, то он справедлив в том случае, когда при равенстве работ оказываются равными между собой также пройденные пути. Вместе с тем равенство по абсолютной величине сил действия и противодействия еще не может служить основанием для утверждения, что тела удерживают друг друга силами (такую терминологию нередко можно встретить в механике) [ТРП, стр.131-132].

Нелинейность дифференциальных уравнений ОТ.

 

В законах структуры и ее симметрии обращает на себя внима­ние удивительно симметричная, простая и удобная форма записи соответствующих дифференциальных уравнений. По-видимому, только такая форма и способна наиболее эффективно отразить все многообразие существующих в природе явлений структурной симметрии. Однако симметричная форма основ­ных уравнений может навести на неверную мысль о том, что в них каждое данное свойство (Р, А, В, С, D и т.д.) линейно (в первой степени) зависит от всех экстенсоров и свойств более высоких порядков, а сами уравнения являются линейными дифференциальными уравнениями.

Действительно, надо отдавать себе ясный отчет в том, что эта линейность является кажущейся. На самом деле в общем случае обсуждаемые дифференциальные уравнения в частных производных с математической точки зрения далеко не линейны из-за тех связей, которые имеются между упомянутыми свой­ствами и экстенсорами. Чтобы в этом убедиться, достаточно подставить в уравнения (54) значения свойств А, В и С из выражений (55), (56), (73), (74), (80) и (81) и принять во внимание, что приращения аргументов (экстенсоров) в дей­ствительности зависят от приращений интенсиалов. Это послед­нее обстоятельство выясняется при выводе уравнения пятого начала ОТ. В результате множители при производных от неиз­вестных функций Ρ содержат сами эти неизвестные функции и уравнения оказываются нелинейными.

Следовательно, симметричная (по виду линейная) форма записи уравнений еще не означает линейности самих уравне­ний. Благодаря существенной нелинейности дифференциальных уравнений математический аппарат ОТ приобретает исключи­тельные гибкость и универсальность [21, с.55]. Это замечание в равной мере относится к уравнениям всех семи начал ОТ.

Принятая симметричная форма записи уравнений не случай­на. Она потребовалась для того, чтобы специально выделить в уравнениях те их части, то есть те свойства А, В, С, D и т.д., которые подчиняются законам симметрии структуры типа (86), (88), (89) и т.д. При другой форме записи было бы зна­чительно труднее установить эти законы [ТРП, стр.133].

 

 

Идеальная система.

 

Нелинейные дифференциальные уравнения ОТ становятся линейными лишь в отдельных частных случаях, например когда свойства А в уравнениях типа (54) оказываются вели­чинами постоянными, при этом структуры В, С, D и т.д. обращаются в нуль. Систему, обладающую такими свойствами, будем называть идеальной.

Существует много различных определений понятия идеаль­ной системы, из них логически оправданными можно считать два. Первое предполагает отсутствие в системе трения. Это понимание сыграло в науке свою положительную роль. Однако такого рода идеализация большого интереса для нас не пред­ставляет, ибо в ОТ сформулирован всеобщий закон диссипа­ции - седьмое начало, поэтому пренебречь трением значит пренебречь одним из важнейших законов природы, то есть вместе с водой выплеснуть из ванны и ребенка.

Второе определение к идеальным относит системы, у кото­рых физические коэффициенты типа А, К и т.д. не зависят от экстенсоров и, следовательно, являются величинами посто­янными. Именно такое определение мы будем использовать в качестве основного. Преимущество его заключается в том, что математический аппарат исследования предельно упро­щается, вместе с тем все главные свойства системы, харак­теризуемые началами ОТ, не выпадают из поля зрения иссле­дователя. Этого рода идеализация является значительно более общей и важной для теории и практики, чем первая; в частности, она позволяет крайне упростить изучение реальных систем с трением. Вторая идеализация, как и начала ОТ, может быть применена к любому количественному уровню мироздания (нано-, микро-, макро- и т.д.) и любому агрегат­ному состоянию системы (твердому, жидкому, газообразному).

Разумеется, в действительности не существует идеальных систем, они являются предельной абстракцией. Однако в пер­вом приближении допущение о постоянстве свойств типа А, К и т.д. сделать часто возможно. Возникающая в расчетах ошибка будет тем меньше, чем ближе реальная система подходит по своим свойствам к идеальной.

В качестве простейшего примера проинтегрируем диффе­ренциальное уравнение состояния (54) применительно к иде­альной системе (А = const; n = 2).Имеем

Р₁ = А₁₁Е₁ + А₁₂Е₂ (92)

Р₂ = А₂₁Е₁ + А₂₂Е₂

где

А₁₂ = А₂₁

Постоянные интегрирования положены равными нулю, так как при Е = 0 интенсиал системы Р = 0, что прямо следует из свойств парена (см. параграф 1, гл. XVII).

В условиях одной степени свободы (A = const; n = l) из дифференциального уравнения (58) с учетом равенства (60) получаем

Р = АЕ; Е = КР (93)

Из уравнений (92) видно, что каждый интенсиал зависит от всех полных экстенсоров системы, при этом сохраняется симметрия во взаимном влиянии степеней свободы. Из выра­жения (93) следует, что у идеальной системы интенсиал про­порционален экстенсору, например, электрический потенциал пропорционален электрическому заряду, температура - энтро­пии, сила - деформации (закон Гука), момент силы - углу закручивания и т.д.; в трех последних примерах использованы не истинно простые, а условно простые экстенсоры (см. пара­графы 5, 9 и 16 гл. XV) [ТРП, стр.133-135].

 

 

Глава ХI. Пятое начало ОТ.

 

 

Состояние и перенос.

 

Продолжим анализ интенсиала Р, входящего в основное уравнение (31) для ансамбля простых явлений и пред­ставляющего собой специфическую меру интенсивности силового взаимодействия вещества. Это позволит обна­ружить следующее - пятое - важнейшее свойство, одно­временно присущее также всем явлениям, находящимся на более высоких уровнях эволюционного развития.

Из закона состояния должно быть ясно, что в готовом ансамбле интенсиал характеризует интенсивность, напряжен­ность, активность поведения сопряженного с интенсиалом вещества. Эта активность сохраняется в течение всего времени существования системы в данном состоянии и реализуется в ходе изменения этого состояния.

Вместе с тем ранее было установлено, что при образова­нии и распаде ансамбля интенсиал определяет интенсивность процесса, является специфическим аналогом силы. Это прямо следует из сопоставления формул (28) и (42), то есть

Р_х = Р(dE/dx); Р = Р_х(dx/dE) (94)

Поэтому интенсиал оказывает соответствующее влияние и на интенсивность, скорость переноса вещества, причем специфика заключается в том, что с каждым данным веществом сопряжен свой особый интенсиал, ответственный за перемещение только этого вещества.

Таким образом, выясняется новая роль интенсиала - служить движущей причиной переноса, распространения веще­ства. Об интенсивности этого переноса можно было бы на­глядно судить, например, по величине универсальной силы Р_х, если бы ее удалось выразить через такие специфические меры, как интенсиал и экстенсор. Однако в этом вопросе имеются и определенные тонкости, ибо интенсивность поведения вещества в данном состоянии и интенсивность его перемещения в ходе изменения указанного состояния - это принципиально различные вещи. Поэтому в рассматриваемых условиях найти необходимую универсальную меру Р_х, например, по формуле (94) не представляется возможным. Требуется разобраться в этих тонкостях.

Каждое основное вещество излучает и окружено веществом взаимодействия. Это значит, что основное вещество взаимо­действует одновременно со всех сторон и приобретает способ­ность перемещаться только в том случае, если разнонаправ­ленные воздействия на него не уравновешивают друг друга. Иными словами, для переноса вещества существенна не абсолютная величина активности, а равнодействующая, или разность, этих величин. Именно эта разность участвует в процессе переноса данного вещества.

Обсуждаемая разность определяется в зависимости от характера распределения интенсиала. Например, если на инте­ресующем нас участке нет скачка интенсиала, тогда разность dP берется на расстоянии dx (похожие условия изображены на рис. 2, а), где

dР = Р_с - Р_си (95)

При наличии скачка в данном сечении разность составляет величину δΡ (такие условия для контрольной поверхности показаны на рис. 2, в и г). Имеем

dР = Р_с - Р_си (96)

где Р_с - значение интенсиала окружающей среды; Р_п - зна­чение интенсиала на поверхности системы. Величина dP именуется перепадом интенсиала на участке dx, а δΡ - напором интенсиала на поверхности.

Следовательно, чтобы определить искомую силу Р_х, надо пользоваться не формулой (94), а приравнять работы типа (28) и (91). Например, с учетом разности (95) находим

Р_хdх = - dРdЕ,

откуда

Р_х = - (dР/dх)dЕ. (97)

Универсальная сила Р_х, участвующая в процессе переноса, пропорциональна градиенту интенсиала dP/dx и количеству переносимого вещества dE. Знак минус говорит о том, что сила направлена в сторону уменьшения интенсиала, то есть градиент и сила смотрят в противоположные стороны.

Из сказанного должно быть ясно, что равнодействующая, суммарная сила, определяемая формулой (97) и ответственная за перенос вещества, не равна силе (94). Благодаря этой раз­нице большая активность поведения не обязательно сочета­ется с высокой интенсивностью распространения вещества, а малая активность - с низкой. Для переноса важен не уро­вень активности Р, а разность уровней dP (см. формулу (97)). Например, при высокой активности разность интенсиалов может быть небольшой, тогда интенсивность процесса переноса будет незначительной. Наоборот, вблизи нуля интенсиала, когда активность поведения невелика, разность интенсиалов может быть сравнительно высокой и процесс распространения веще­ства окажется более интенсивным, чем в первом случае.

Установленная разница между активностью поведения и интенсивностью распространения вещества имеет важное принципиальное значение для всего последующего. Она за­ставляет рассматривать отдельно эти две категории отноше­ний, а также позволяет по-новому взглянуть на полученные ранее результаты, в частности на третье начало ОТ.

Становится ясно, что интенсиал, входящий во все преды­дущие уравнения, фактически является характеристикой активности, напряженности, интенсивности поведения (состоя­ния) системы. Что касается интенсивности переноса, то этот вопрос упомянутыми уравнениями непосредственно не решает­ся. Сказанное относится и к третьему началу ОТ, которое опре­деляет только активность состояния системы.

Таким образом, мы пришли к интереснейшему выводу о не­обходимости различать состояние и перенос, который является причиной изменения состояния. Более того, анализ показывает, что в природе существуют только эти две основные категории отношений - состояние и изменение состояния. Поэтому теория приобретет необходимую законченность только в том единствен­ном случае, если она сможет с исчерпывающей полнотой описать одновременно обе указанные категории.

Детально оценивать состояние системы с помощью интен­сиала и выведенных ранее уравнений мы уже умеем. Теперь предстоит научиться то же самое проделывать с изменением состояния. Для этого надо вывести соответствующие урав­нения переноса, которые бы связали с интенсиалом количество перенесенного вещества. Очевидно, что без интенсиала и здесь обойтись невозможно, ибо именно через него определяется суммарная сила, ответственная за перенос вещества (см. фор­мулу (97)) [ТРП, стр.136-138].