Четыре частных уравнения переноса.

 

Воспользуемся теперь конкретными потоками J и I и силами X и Υ и преобразуем обобщенное уравнение (100) к виду, удобному для практического использования. При этом всего получаются четыре частных варианта дифференциальных уравнений переноса, ибо каждый из потоков J и I может сочетаться с каждой из сил X и Υ.

В первом варианте сочетаются поток J и сила X. В про­стейших условиях двух степеней свободы (n = 2) из выра­жений (100), (107) и (109), заменив разность dP на dР, получим

J₁ = a₁₁X₁ + a₁₂X₂ (111)

J₂ = a₂₁X₁ + a₂₂X₂

где

a₁₁ = - K_P11(1/(dFdt)); a₂₂ = - K_P22(1/(dFdt)) (112)

a₁₂ = - K_P12(1/(dFdt)); a₂₁ = - K_P21(1/(dFdt)) (113)

В гипотетических частных условиях, когда n = 1,имеем

J = aX (114)

где

a = - К(1/(dFdt)) (115)

В уравнениях переноса (111) и (114) величина a пред­ставляет собой частную проводимость, которая играет роль, например, коэффициента отдачи вещества на контрольной поверхности системы. В частном случае из равенства (114) получается известное уравнение закона теплообмена на по­верхности тела Ньютона (см. параграф 2 гл. XX).

Во втором варианте сочетаются поток I и сила X. Ограничи­ваясь двумя степенями свободы (n = 2), из выражений (100), (108) и (109) находим

I₁ = b₁₁X₁ + b₁₂X₂ (116)

I₂ = b₂₁X₁ + b₂₂X₂

где

b₁₁ = - K_P11(1/dt); b₂₂ = - K_P22(1/dt) (117)

b₁₂ = - K_P12(1/dt); b₂₁ = - K_P21(1/dt) (118)

При n = 1 получаем

I = bX (119)

где

b = K(1/dt) (120)

В уравнениях переноса (116) и (119) частная проводи­мость b есть, например, коэффициент отдачи вещества на контрольной поверхности системы. В отличие от коэффициен­та a, относящегося к единице площади поверхности, вели­чина b относится к поверхности в целом.

В третьем варианте сочетание потока J и силы Υ при двух степенях свободы (n = 2) позволяет получить из выражений (100), (107) и (110) следующее частное дифференциальное уравнение переноса:

J₁ = L₁₁Y₁ + L₁₂Y₂ (121)

J₂ = L₂₁Y₁ + L₂₂Y₂

где

L₁₁ = - K_P11(dx/(dFdt)); L₂₂ = - K_P22(dx/(dFdt)) (122)

L₁₂ = - K_P12(dx/(dFdt)); L₂₁ = - K_P21(dx/(dFdt)) (123)

При n = 1 имеем

J = LY (124)

где

L = - K (dx/(dFdt)) (125)

В уравнениях (121) и (124) коэффициент L представляет собой удельную проводимость системы по отношению к веще­ству. В частных случаях выражение (124) дает известные уравнения законов теплопроводности Фурье, электропровод­ности Ома, диффузии Фика и фильтрации Дарси [17, 18, 21].

Наконец, в четвертом частном варианте сочетаются поток I и сила Υ. Для двух степеней свободы (n = 2) из равенств (100), (108) и (110) находим

I₁ = M₁₁Y₁ + M₁₂Y₂ (126)

I₂ = M₂₁Y₁ + M₂₂Y₂

где

M₁₁ = - K_P11(dx/dt); M₂₂ = - K_P22(dx/dt) (127)

M₁₂ = - K_P12(dx/dt); M₂₁ = - K_P21(dx/dt) (128)

При n = 1 имеем

I = MY (129)

где

M = - K (dx/dt) (130)

Частная проводимость Μ отличается от L тем, что отно­сится не к единице площади сечения системы, как L, а ко всему сечению. Именно в такой форме обычно используется закон электропроводности Ома.

Перечисленные частные дифференциальные уравнения пе­реноса позволяют охватить самые характерные и наиболее часто встречающиеся на практике условия распространения вещества [ТРП, стр.143-145].

 

 

Пятое начало ОТ, или закон переноса.

 

Из дифференциальных уравнений переноса - обобщенного (100) и частных (111), (116), (121) и (126) - следует, что в процессе распространения вещества наблюдается взаимное влияние всех n потоков и термодинамических сил. Даже при наличии только одной какой-либо силы ни один из потоков не обращается в нуль. Отсюда можно сделать интересней­ший вывод о том, что всеобщая связь присуща не только явлениям состояния, но и явлениям переноса. Выведенные уравнения позволяют детально разобраться в характере и причинах имеющейся связи.

В случае явлений состояния всеобщая связь сводится к тому, что происходит взаимное влияние всех n веществ, на­ходящихся в системе. Это влияние с качественной и коли­чественной стороны определяется третьим и четвертым на­чалами ОТ, оно прежде всего сказывается на величине интенсиала, характеризующего активность, напряженность, ин­тенсивность поведения системы, причем интенсиал определя­ется уравнением состояния.

В случае явлений переноса речь идет о том, что каждое данное вещество распространяется под действием сопряженной с ним термодинамической силы (разности или градиента интенсиала). Но одновременно наблюдается также перенос всех остальных веществ из числа n,на которые данная тер­модинамическая сила непосредственно не влияет. Конечно, имеются в виду условия, когда все прочие термодинамиче­ские силы, кроме данной, равны нулю. Это значит, что осталь­ные вещества увлекаются данным и в этом может быть по­винно только универсальное взаимодействие, присущее всем веществам без исключения. Следовательно, не только систе­ма, но и объект переноса обладает свойствами ансамбля, в котором связанны между собой разнородные вещества.

Как видим, всеобщая связь явлений приводит к объеди­нению порций веществ в ансамбли, составляющие систему, а также в ансамбли, служащие объектами переноса. Однов­ременно происходит взаимное влияние указанных двух типов ансамблей, что находит соответствующее отражение в уров­нях активности поведения системы и интенсивности распро­странения вещества. При этом интенсивность распростране­ния сказывается на величине потоков, которые определяют­ся уравнениями переноса.

Всеобщая связь явлений, проявляющаяся в процессах рас­пространения вещества, составляет замечательное свойство природы, оно может быть сформулировано в виде особого закона переноса. В общем случае закон переноса, или пятое начало ОТ, выглядит следующим образом: поток любого ве­щества складывается из n величин, каждая из которых про­порциональна соответствующей термодинамической силе, ко­эффициентами пропорциональности служат проводимости - основные и перекрестные, обобщенные или частные.

Пятое начало ОТ - это известный физический закон, впервые сформулированный Онзагером в его термодинамике необратимых процессов. Однако в ОТ этот закон приобрел наиболее общую и универсальную форму: он был распрост­ранен на все разнообразные вещества природы. Ему также дано новое физическое толкование. Благодаря этому появ­ляется возможность дополнительно сделать большое число теоретических прогнозов, не доступных для традиционной те­ории и поддающихся непосредственной экспериментальной про­верке. В частности, пятое начало ОТ позволяет эксперимен­тально подтвердить факт существования универсального вза­имодействия и определить конкретные значения величины универсальной силы, которая ответственна за объединение разнородных веществ в переносимые ансамбли (см. параг­раф 7 гл. XX) [21, с.352].

Следует заметить, что любое конкретное уравнение переноса справедливо только для условий, при которых в ходе процесса не изменяются существенно ни свойства системы, ни особенно состав переносимых ансамблей. Всякие такого рода изменения прежде всего сказываются на значениях ко­эффициентов состояния и переноса, а в отдельных случаях могут привести даже к изменению числа степеней свободы системы. Такие условия могут возникнуть, например, при очень больших перепадах интенсиала в системе, если ее свой­ства и свойства переносимых ансамблей сильно изменяются с изменениями этого интенсиала. Соответствующие достаточ­но подробные оговорки были сделаны ранее в параграфе 2 гл. IX применительно к третьему началу ОТ.

На практике обычно пользуются частными уравнениями переноса. В некоторых дисциплинах отдельные виды проводимостей именуются по-разному, в частности коэффициента­ми переноса (например, коэффициент массопереноса, теплопереноса), коэффициентами отдачи, если речь идет о поверхности тела (например, коэффициент массоотдачи, теплоотдачи), коэффициентами передачи, когда в процессе участвует цепочка типа среда - тело - среда (например, коэффициент массопередачи, теплопередачи) и т.д. Мы не будем прене­брегать традиционными наименованиями, но все же пред­почтение будем отдавать терминам, которые ближе отвечают духу ОТ.

Во всех уравнениях переноса - обобщенных и частных - основные проводимости,или основные коэффициенты перено­са, отражают влияние данной силы на сопряженный с нею поток, а перекрестные проводимости, или перекрестные ко­эффициенты переноса, - на несопряженные с нею потоки. Основные проводимости имеют индексы, составленные из одинаковых цифр, перекрестные - из разных. Перекрестные проводимости именуются также коэффициентами увлечения [20, 21]. Коэффициенты увлечения определяют количествен­ную сторону взаимного увлечения различных потоков [ТРП, стр.145-147].