Сходимость сеточного метода решения краевых задач для обыкновенных диф. уравнений.

Для граничной задачи , (1) y(a)=A, y(b)=B (2) на равномерной сетке x_i=a+ih, i=0,1,...,N;h=(b-a)/N построена разностная схема , (3) y₀=A, y_N=B (4). Точное решение y(x) в узлах сетки: , (5) , y(x_N)=B (6). Для погрешности, с которой алгебраические уравнения (3) приближают диф-ое уравнение (1) в узлах сетки, была получена оценка (7). Граничные условия приближаются точно. Фактическое решение системы (3), (4), вследствие выч-ой погрешности, отличается от точного решения y_i этой системы, => , (8) (9) Оценим погрешности . Вычитая из (5), (6) соотв. ур-ния (8), (9), получим разностную задачу , (10) (11).

Лемма. Пусть выполняются условия:1) 2) g(x)≤0,a≤x≤b 3) 4) , для произвольных последовательностей , .Тогда , i=0,1,...N. Док-во. Рассмотрим 2 числовые последовательности z_i±ε_i, i=0,1,...,N. Из условия 3) леммы имеем , i=1,2...N-1. В силу принципа max для оператора последоват-ти z_i±ε_i,i=0,1,...N принимают свое наименьшее отрицательное значение на границе. Из условия (4) на границе имеем z₀±ε₀≥0 и z_N±ε_N≥0. Т.о. z_i±ε_i≥0, i=0,1,...N лемма доказана.

Построим посл-ть z_i. Рассм. граничную задачу: ,(12)

E(a)=0,E(b)=0 (13) При a<x<b решение E(x) этой задачи положительно: E(x)>0. Докажем это от противного. Пусть существует такое , что и . Тогда внутри отрезка найдется точка , в которой достигается неположит-ый min: . В результате противоречие . Для последов-ти выполняются условия 4) леммы сравнения при любой положительной константе C. Найдем значение константы C, при котором будут выполнены условия 3). Из (10) и (7) имеем , или (14), где , , , . Из получим при достаточно малом h , ,(15), где , . Из (14) и (15) следует, что для вып. усл. 3) леммы сравн. полож. константы C должно удовлетворять неравенству . => получ. .Использ. лемму сравнения, приходим к искомой оценке (16) Из оценки (16) вытекает, что решение системы (8), (9) при h→0 равномерно сходится к решению y(x) исходной задачи (1), (2), если δ/h²→0 при h→0.

 

Методы прогонки и пристрелки решения разностных схем при решении краевых задач для обыкновенных д.у.

Для гран. задачи на равномерной сетке была построена разностная схема . Коэффициенты в уpавнениях (3): (5). Метод разностной пристрелки. (3) можно решить относительно Так как , то )>0 и операция деления в (6) реализуется. Последовательность, образуемая по правилу (6) однозначно определяется значениями первых двух своих членов: Постpоим последоват-ти взяв в (6) Очевидно, последоват-ть ,i=0,1…N (7) при любом значении паpаметpа σ удовлетворяет сис-ме (3) и левому граничному условию . Чтобы выполнялось пpавое гpаничное условие , нужно взять (8)

Метод разностной прогонки. Уравнение можем записать: Пусть мы выpазили через фоpмулой Подставим это для в (3): - . Отсюда находим Т.о. коэффициенты в (9) После этого из (9) пpи i=N имеем . По фоpмуле (9) пpи i=N,N-1…2 последовательно вычисляем . Гpаничные значения даны. Данный метод решения граничной задачи - метод пpогонки. Вычисления по (10) - прямой ход прогонки, а по (9) – обратный. Теорема. В расчетных формулах (10) знаменатели не обращаются в нуль. Доказательство. Задано =0. Пусть <1, тогда | |= . Далее =| |<1. Утверждение теоремы доказано. Т.к. <1, вычисления по формуле (9) будут устойчивы к вычислению погрешности. Исследуем устойчивость к вычислению погрешности формулы (10) к φ_i. Цепочка преобразований:

;

тут

. Учитывая при 0≤i≤N оценка Т.о. на прямом ходе прогонки по (10) при ограниченые, =>устойчивы к вычислительной погрешности.

Эквивалентность граничных и вариационных задач

Рассмотрим граничную задачу

, (1)

(2)

Считаем, что при данных предположениях существует единственное решение задач (1),(2) класса .

Задача (1),(2) поставим в соответствующую вариационную задачу (3)

На множестве (4)

Теорема. Пусть решение вариационной задачи (3),(4), тогда удовлетворяет задаче (1),(2).

Док- во Если функция доставляет функционалу , то она необходимо удовлет-воряет условию Эйлера . В данном случае это уравнение будет иметь вид:

Теорема Пусть решение задачи (1),(2), тогда на функции функционал принимает минимальное решение и кроме того явл. Решением задачи (3),(4).

Док-во. Положим , где такова что , тогда (5)

Рассмотрим первое слагаемое второго интеграла в первой части равенства (5), интегрируем по частям имеем:

С учетом этого равенства и того, что - решение задачи (1),(2) перепишем (5) в виде:

(6)

В силу условий наложенных на функции и интеграл , поэтому из (6) следует, что на функцию фукционал принимает минимальное значение. Далее, если , то , а значит , поскольку , то .