Простейшие квадрат ф-лы Н-Кот. и оценка их погрешности.

Пример 1. Положим . В этом случае

; ;

и получаем квадратурн. ф-лу (1)

Квадратурную формулу (1) наз-ют квадратурной формулой ср. прямоугольников, т.к. здесь интеграл приближается площадью (квадратурой) прямоугольника с шириной, равной длине отрезка интегрирования, и высотой, равной значению подынтегральной функции в середине отрезка интегрирования.

Используя разложение подынтегральной функции в ряд Тэйлора в точке , имеем

.

Отсюда для погрешности квадратурной формулы получаем выражение

Применение теоремы о среднем дает (2):

Пример 2. Положим . В этом случае

; ; ;

;

.

и получаем квадратурную формулу

. (3)

Квадратурную формулу (3) называют квадратурной формулой трапеций, потому что здесь интеграл приближается площадью трапеции с высотой, равной длине отрезка интегрирования, и основаниями, равными значениям подынтегральной функции на концах отрезка интегрирования.

Подынтегральную функцию выразим через ее интерполяционный многочлен по узлам и остаточный член интерполяционного многочлена. Тогда получим Отсюда для погрешности квадрат. ф-лы трапеций получ. выр.

Применяя теорему о среднем, имеем

. (4)

Пример 3. Положим . В этом случае

; ; ; ;

; ;

.

и получаем квадратурную формулу

. (5)

Квадратурную формулу (5) называют квадратурной формулой парабол или квадратурной формулой Симпсона. Здесь интеграл от функции приближается интегралом от интерполяционного многочлена второй степени (параболы) с узлами . Погрешность квадратурной формулы (5) запишем в виде

, (6)

где будем считать константой, а h – переменной. Очевидно, .Выполним дифференцирование равенства (6) по h:

Проводя дифференцирование еще два раза и используя формулу конечных приращений, получим

,

. (7)

Проводя три раза интегрирование и используя при этом теорему о среднем, имеем

, , Полученное выражение для остаточного члена перепишем в виде

Составные квадратурные формулы средних прямоугольников, трапеций, парабол и оценка их погрешности

Как видно из выражения (2) предыдущего параграфа, погрешность квадратурной формулы средних прямоугольников есть величина третьего порядка относительно длины отрезка интегрирования. Таким образом, при большой длине отрезка интегрирования погрешность указанной квадратурной формулы также может быть большой.На отрезке введем равномерную сетку с шагом . Интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по частичным отрезкам. Применяя квадратурную формулу средних прямоугольников в случае четного к частичным отрезкам , имеем

.

Полученную квадратурную формулу (1)

называют составной квадратурной формулой средних прямоугольников.

Для погрешности составной квадратурной формулы средних прямоугольников получаем

.

Учитывая, что и , отсюда следует искомое равенство . (2)

Используя квадратурную формулу трапеций при интегрирования по частичным отрезкам , имеем

.

Полученную квадратурную ф-лу: (3)

называют составной квадратурной формулой трапеций.

Для погрешности составной квадратурной формулы трапеций получаем

.

Т.к. и , то искомая пог-ть представляется в виде . (4)

Применим теперь при четном n к интегрированию на частичных отрезках квадратурную формулу парабол. Тогда . Полученную квадратурную формулу (5) наз-ют составной квадратурной формулой парабол (Симпсона).

Найдем выражение для погрешности расчетной формулы (3).

Учитывая, что и , отсюда следует искомое равенство .(6)

Как видно из выражений, полученных для остаточных членов , погрешность составных квадратурных формул можно сделать достаточно малой за счет выбора меньшего шага сетки h. При этом подынтегральная функция должна быть достаточно гладкой на отрезке .

Квадратурные формулы Гаусса

Опр. Говорят, что квадратурная формула

(1)

имеет алгебраическую степень точности m, если она является точной для любого многочлена степени m и существует многочлен степени , для которого квадратурная формула не является точной.

Квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности называют квадратурными формулами Гаусса (при этом n считается фиксированным). Квадратурное правило имеет алгебраическую степень точности не ниже n тогда и только тогда, когда оно является интерполяционным. Следовательно, коэффициенты квадратурных правил Гаусса определяются формулой

. (2)

Таким образом, остается найти оптимальный набор узлов, при котором интерполяционная квадратурная формула будет иметь наивысшую алгебраическую степень точности. Последняя, как будет доказано, равна .

Лемма 1. Если квадратурное правило (1) имеет алгебраическую степень точности , то многочлен степени ортогонален с весом на отрезке любому многочлену меньшей степени.

Д-во. Так как квадратурное правило (1) является точным для любого многочлена степени и ,то при имеем , что док-ет лемму.

Из леммы 1 следует, что для построения квадратурного правила алгебраической степени точности необходимо найти многочлен степени , который был бы ортогонален любому многочлену меньшей степени.

Лемма 2. Если почти всюду на , то приведенный многочлен степени , ортогональный на с весом любому многочлену меньшей степени, существует и является единственным. При этом все его корни простые и находятся на отрезке .

Д-во. Для искомого приведенного многочлена степени условия ортогональности любому многочлену меньшей степени дают систему линейных алгебраических уравнений (3)

относительно неизвестных коэффициентов . Системе (3) соответствует однородная система (4).Уравнения системы (4) умножим на соответствующие коэффициенты и сложим. Из полученного при этом выражения и условия леммы вытекает, что , т.е. . Поскольку однородная система (4) имеет только тривиальное решение, то соответствующая неоднородная система (3) имеет единственное решение.

Пусть - корни нечетной кратности многочлена , лежащие на отрезке . Требуется доказать, что . Допустим противное: . Тогда, в силу ортогональности, выполняется . С другой стороны, так как и почти всюду на имеем . Полученное противоречие доказывает, что . Лемма доказана.

Лемма 3. Если узлами интерполяционной квадратурной формулы (1) являются нули ортогонального многочлена , то квадратурная формула точна для любого мн-на степени .

Д-во. Пусть - произвольный многочлен степени . Представим его в виде ,где и -многочлены степени n. Имеем

Здесь в силу ортогональности и, так как квадратурное правило интерполяционное, то

. Лемма доказана.

Теорема. Если почти всюду на , то существует квадратурное правило (1) наивысшей алгебраической степени точности .

Д-во. Существование квадратурного правила (1) алгебр-кой степени точности непосредственно следует из доказанных лемм. Остается доказать, что нельзя построить квадратурное правило (1), точное для любого многочлена степени . Для многочлена степени имеем значение интеграла и значение квадратурной суммы

.Т-ма док-на.

19. Квадр-ные формулы Гаусса с постоянной весовой ф-ей. Рассмотрим интеграл , (1) где - достаточно гладкая функция. Любой конечный отрезок интегрирования линейным преобразованием приводится к отрезку . Поскольку в данном случае весовая функция , то квадратурное правило наивысшей алгебраической степени точности (2)существует. Его узлами явл-ся корни мн-на , ортогонального мн-нам меньшей степени с весом 1 на отрезке [-1;1].

Обозначим . Очевидно, и . Возьмем произвольный многочлен степени . Используя условия ортогональности и проводя интегрирование по частям, получим

.

Продолжая процесс интегрирования по частям получим

Отсюда для , следует, что . Используя произвольность многочлена , последовательно получаем далее .

Таким образом, многочлен степени , производные которого определяются формулой имеет корни , каждый кратности n. Следовательно, этот многочлен представляется в виде . Для искомого ортогонального многочлена в результате

получим выражение .(3)

Ортогональные многочлены, определяемые формулой (3) называют многочленами Лежандра. В случае выбора константы по правилу будут получаться приведенные многочлены. В практике вычислений для многочленов Лежандра используется формула Родрига .(4)

При этом получается квадрат нормы и рекуррентная формула .(5)

По формуле(3) находим . По формуле (4) находим . Отсюда определяем последовательно

и . Построим несколько квадратурных формул Гаусса вида (2).

При из уравнения получаем один корень , и один коэффициент . Приходим к квадратурной формуле , имеющей наивысшую алгебраическую степень точности 1.

При из уравнения получаем два корня , и два коэффициента и . Приходим к квадратурной формуле , имеющей наивысшую алгебр-скую степень точности 3.

Формула для вычисления коэффициентов квадратурной формулы (2) может быть преобразована к виду (6)

При из уравнения получаем три корня и три коэффициента и . Приходим к квадратурной формуле , имеющей наивысшую алгебраическую степень точности 5.

Метод наименьших квадратов.

Пусть ф-ия f(x) задана табл. y_i=f(x_i); i=0,…n. Надо эту ф-ию приблизить ф-ей вида φ(x, a₀,...,a_m). Знач-я неизвест-х парам-ов a_j;j=0,...m надо выбрать т.ч. сумма кв-ов отклонений

(1) ф-ии f от ф-ии φ по всем табл-ым узлам x_i была мин-ой. Е. ф-ия φ явл. достаточно гладкой, то искомые зн. параметров м.б. найдены из условий Ферма . (2)

Когда ф-ия φ линейно зависит от параметров: , с-ма (2) будет линейной . После простых преобразований с-ма:

.(3)

Определитель с-мы - определитель Грама с элементами A_kj, равными скалярным произвед-ям .

Теорема. Если последов-ть непрерывных ф-ций явл. сис-мой Чебышева на [a;b], то определитель с-мы (3) ≠ 0 при любых наборах попарно неравных узлов .

Доказательство. Противное: последов-сть ф-ий явл. сис-мой Чебышева на отр-е, но при некот-ом наборе попарно неравных узлов. Тогда столбцы определителя будут линейно зависимыми . => . Умножая последние равенства на соответствующие c_k и проводя суммирование по k, получим

, откуда . Т. о., нетривиальный обобщенный многочлен обращается в 0 на отрезке не менее чем в n+1 -й точке, что > m. Полученное противоречие доказывает теорему.

При m=n единственным решение – интерполяц-ый обобщенный многочлен φ(x); при этом min сумма квадратов отклонений: Ф=0.

Сис-ма ф-ий явл. сис-мой Чебышева на любом отр., поэтому наилучшее приближение табличной ф-ии y_i=f(x_i) алгебраическим многочленом степени m<=n по методу наименьших квадратов сущ-ет, явл. единственным и коэффиценты многочлена м.б. найдены из линейной алгебраической системы . При m=2 система: