![]()
Заглавная страница
Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву ![]() Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Простейшие квадрат ф-лы Н-Кот. и оценка их погрешности.
Пример 1. Положим
и получаем квадратурн. ф-лу Квадратурную формулу (1) наз-ют квадратурной формулой ср. прямоугольников, т.к. здесь интеграл приближается площадью (квадратурой) прямоугольника с шириной, равной длине отрезка интегрирования, и высотой, равной значению подынтегральной функции в середине отрезка интегрирования. Используя разложение подынтегральной функции в ряд Тэйлора в точке
Отсюда для погрешности квадратурной формулы получаем выражение
и получаем квадратурную формулу
Квадратурную формулу (3) называют квадратурной формулой трапеций, потому что здесь интеграл приближается площадью трапеции с высотой, равной длине отрезка интегрирования, и основаниями, равными значениям подынтегральной функции на концах отрезка интегрирования. Подынтегральную функцию выразим через ее интерполяционный многочлен по узлам
Пример 3. Положим
и получаем квадратурную формулу
Квадратурную формулу (5) называют квадратурной формулой парабол или квадратурной формулой Симпсона. Здесь интеграл от функции приближается интегралом от интерполяционного многочлена второй степени (параболы) с узлами
где
Проводя три раза интегрирование и используя при этом теорему о среднем, имеем
Составные квадратурные формулы средних прямоугольников, трапеций, парабол и оценка их погрешности Как видно из выражения (2) предыдущего параграфа, погрешность квадратурной формулы средних прямоугольников есть величина третьего порядка относительно длины
Полученную квадратурную формулу называют составной квадратурной формулой средних прямоугольников. Для погрешности составной квадратурной формулы средних прямоугольников получаем
Учитывая, что Используя квадратурную формулу трапеций при интегрирования по частичным отрезкам
Полученную квадратурную ф-лу: называют составной квадратурной формулой трапеций. Для погрешности составной квадратурной формулы трапеций получаем
Т.к. Применим теперь при четном n к интегрированию на частичных отрезках Найдем выражение для погрешности расчетной формулы (3).
Как видно из выражений, полученных для остаточных членов Квадратурные формулы Гаусса Опр. Говорят, что квадратурная формула
имеет алгебраическую степень точности m, если она является точной для любого многочлена степени Квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности называют квадратурными формулами Гаусса (при этом n считается фиксированным). Квадратурное правило имеет алгебраическую степень точности не ниже n тогда и только тогда, когда оно является интерполяционным. Следовательно, коэффициенты квадратурных правил Гаусса определяются формулой
Таким образом, остается найти оптимальный набор узлов, при котором интерполяционная квадратурная формула будет иметь наивысшую алгебраическую степень точности. Последняя, как будет доказано, равна Лемма 1. Если квадратурное правило (1) имеет алгебраическую степень точности Д-во. Так как квадратурное правило (1) является точным для любого многочлена степени Из леммы 1 следует, что для построения квадратурного правила алгебраической степени точности Лемма 2. Если Д-во. Для искомого приведенного многочлена относительно неизвестных коэффициентов Пусть Лемма 3. Если узлами интерполяционной квадратурной формулы (1) являются нули ортогонального многочлена Д-во. Пусть
Теорема. Если Д-во. Существование квадратурного правила (1) алгебр-кой степени точности
19. Квадр-ные формулы Гаусса с постоянной весовой ф-ей.Рассмотрим интеграл Обозначим
Продолжая процесс интегрирования по частям получим
Таким образом, многочлен получим выражение Ортогональные многочлены, определяемые формулой (3) называют многочленами Лежандра. В случае выбора константы по правилу При этом получается квадрат нормы По формуле(3) находим
При При Формула для вычисления коэффициентов квадратурной формулы (2) может быть преобразована к виду При Метод наименьших квадратов. Пусть ф-ия f(x) задана табл. yi=f(xi); i=0,…n. Надо эту ф-ию приблизить ф-ей вида φ(x, a0,...,am). Знач-я неизвест-х парам-ов aj;j=0,...m надо выбрать т.ч. сумма кв-ов отклонений
Когда ф-ия φ линейно зависит от параметров:
Определитель Теорема. Если последов-ть непрерывных ф-ций Доказательство. Противное: последов-сть ф-ий явл. сис-мой Чебышева на отр-е, но
При m=n единственным решение – интерполяц-ый обобщенный многочлен φ(x); при этом min сумма квадратов отклонений: Ф=0. Сис-ма ф-ий
|
||
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-06; просмотров: 441; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.236.221.156 (0.028 с.) |