Метод Рунге-Кутта решения задачи Коши. Построение методов Р-К второго порядка точности.

Рассмотрим задачу Коши (1) , y(a)=y₀ (2). Будем предполагать, что задача (1)(2) на имеет точное решение y(x). Определим сетку a=x₀<x₁<_……..<x_n=b. Методы Рунге-Кутта опред. 3 наборами параметров

…………….. ()

(3). Алгоритм задается так:

1)полагаем

2) вычисляем функции

…

3) вычисляем

4) вычисляем

Рассмотрим схему построения методов Рунге – Кутта в случае q=1. В этом случае метод явл. 2 порядка точности, при q=1 исп. 4 параметра: .

Расчетная ф-ла примет вид (3).

Обозначим через интегральную кривую уравнения (1), проход через точку , удовлетворяющую условию . Подставляя ее в (3) получим (4)

разложим левую и правую части равенства (4) по степеням h. Для левой части будем иметь

, где , где ,

Правую часть рассмотрим как сложную ф-цию переменной h и произведем разложение в нуле. Будем иметь

Разложение в левых и правых частях слагаемые совпадают

.

Т.о. для определения 4 параметров метода получаем

Задавая произвол образом легко найдем остальные парам-ы т.о. при q=1 получим бесконеч. методов Рунге-Кутта 2-го порядка точн-и. Иногда исп. термин однопараметр-ое семейство Рунге-Кутта. При , , получаем метод Коши Эйлера.

 

Оценка погрешности и сходимость одношаговых методов решения задачи Коши.

Рассмотрим (1) (2). Пусть задача Коши (1), (2) имеет точное решение . На отрезке зададим сетку . Для численного решения задачи Коши (1), (2) будем использ. одношаг. метод с расчетной формулой вида (3). Приближ. значения решения задачи Коши в узлах сетки , получаемые реально при вычисл. по формуле (3), обозн. через . Эти значения удовл. Рав-ам (4). Здесь - вычислит. погр-ть на шаге при вычислениях по формуле (3). Обозначим через точные решения задач Коши (5), (6). Подставляя в (3) имеем

(7). Здесь - погр-ть метода на соотв. шаге. Вычитая из равенств (7) равенства (4), получим общую погр-ть на шаге . (8). Проведем оценку погрешности решения задачи Коши, получаемого по расчетной формуле (3) в узле . Очевидно, искомую погрешность можно записать в виде . (9). Здесь - неустранимая погр-ть решения в узле , которая вызвана погр-ю задания нач. условия; а по-ть вызвана пог-ми метода и вычислит. на соотв. шаге. Для проведения преобразований в формуле (9) нам понадобится след. лемма. Лемма. Пусть - решения д. у. где - непрерывная и непрерывно диф-я по переем. ф-я. Тогда (10), где заключено между и . Док-во. По условию леммы , . . Здесь заключено между и . Так как явл. на расс-ом отрезке непрерывной ф-ей, то , а отсюда следует (10). Лемма доказана. Использ. доказ. лемму, преобр. выражение (9) к виду

. (11)

Здесь заключено между и , а - между и . Пусть имеют место оценки

и в рассматр. области изменения аргументов. Тогда из (11) имеем следующую оценку искомой погр-ти . Обознач. . Т.к. , то оценку можно переписать в виде

. (12). Введем обозначение . На основании оценки (12) сформулируем достаточные условия сходимости. Одношаговый метод с расчетной формулой (3) сходится, если , при . (13). Итак, получена искомая оценка погрешности (12) и достаточные условия сходимости (13).

Экстраполяц. метод Адамса решения задачи Коши.

Рассмотрим задачу Коши (1)

(2). Пусть задача Коши (1), (2) имеет точное решение . На отрезке построим с шагом равномерную сетку (3). Для любой гладкой функции выполняется равенство . (4) Перейдем к новой переменной интегрирования по правилу : . (5) Возьмем в качестве узлов интерполяции узлы сетки и заменим в (5) подынт. Ф-ю интерполяц. многочленом Ньютона для интерполирования в конце таблицы

, (6) где остаточный член интерполяционного многочлена

.

После подстановки и интегрирования получим

, (7).

Здесь , .

На основании теоремы о среднем отсюда получим

, из которого следует оценка , (8), где . Возьмем теперь в (7) в качестве интегральную кривую диф-го уравнения (1), удовлетворяющую условию . С учетом, что равенство (7) примет вид

, (9)

Отбрасывая в (9) остаточный член и переходя к приближенным значениям, получаем расчетную формулу , (10)

где . Метод с расчетной формулой (10) называют экстраполяционным методом Адамса. Погрешность метода на шаге или погрешность расчетной ф-лы метода опр-ся остаточным членом соотв-ей точной формулы (9). Экстраполяционный метод Адамса с расчетной формулой (10) является явным -шаговым и имеет порядок точности. Отметим, что в случае мы получаем одношаговый метод Эйлера.