Наилучшие приближения в линейном нормированном пространстве.

Пусть - линейное нормированное пространство и в нем задана последовательность линейно независимых элементов . Рассмотрим множество линейных комбинаций

, где - числовые коэффициенты.

Будем аппроксимировать ф-ию f ф-ей т.о., что (1)

При этом наз-ть эл-ом наилучшего приближения.

Теорема. В ЛНП элемент наилучшего приближения всегда существует.

Д-во. Обозначим . Покажем, что функция непрерывно зависит от своих аргументов.

Для приращения функции

используя для нормы аксиому треугольника, имеем

(2).Отсюда получаем оценку:

, из которой следует непрерывность ф-ии .

На единичной сфере , которая является замкнутым ограниченным множеством, непрерывная функция принимает свое минимальное значение. Обозначим его через . В силу аксиомы тождества для нормы и линейной независимости элементов , должно выполняться . В случае произвольного набора коэффициентов имеем

. (3)Выберем число . Ф-ия непрерывна на шаре , поэтому достигает на нём своей нижней грани

Заметим, что (4). Вне шара, т.е. при с учётом (3) и (4) имеем оценку: Показали, что на шаре ф-ия достигает своего минимума , а вне шара вып-ся .

ЛНП наз-ся строго нормированным, если из условия следует, что , где число.

Интерполяционные сплайны.

Сплайн-функция - кусочно-полиномиальная ф-ия, определ-ая на [a;b], имеющ. на нем некот.число непрерывных произв-ых.В выч. практике исп-тся кубические сплайны(к.с.)- сплайн опр-ся с помощью многочленов 3-ей степени. Рассмотрим интерполяц-ый к.с.(и.к.с.) для ф-ии f(x), непрерывной на [a;b].

На[a;b]сетка: a=x₀<...<x_N=b (1),обознач.

И.к.с для f(x) и данного набора узлов (1)-ф-ия S(x),удовлетв-ая условиям:

1) на каждом сегменте [x_i-1;x_i],i=1,..,N, S(x) -мночлен 3-ей степ-и

2) S(x), ее первая и вторая производные непрерывны на [a;b];

3) 4)

3) - усл-ие интерполирования. В 4) задаются граничные усл-ия.

Теорема. Для любой непрерывной ф-ии f(x) при любом наборе узлов (1) и.к.с S(x) сущ-ет и является единственным.

Д-во. существования - конструктивным методом. На каждом из отр. б. искать ф-ию S(x)= S_i(x) -многочлен 3-ей степени () (2) где - коэфф-ты. a_i найдем из усл-ий интерп-ния

Доопределим, Остальные коэфф-ты найдем из условий непрерывности 2) и граничных условий 4).

Из 2) для ф-ии S(x) во внутр-х узлах сетки S_i-1(x_i-1)=S_i(x_i-1), i=2..N и условия интерполир-ия имеем

Пусть => (3)

Из усл-ия непрерывности 1-ой производной во внутр-их узлах сетки имеем

(4)

Из усл-ия непрерывности во внутр-их узлах сетки и граничных условий -->

(5) где доопределено c₀=0;

Т.о., получена замкнутая сис-ма ур-ий (3), (4), (5) для опр-ия коэфф-ов к.с.. Покажем,ч. сис-ма имеет 1 решение. Перепишем (3) в виде (6). Комбинируя 2 соседних ур-ия (6):

Подставляя найденное выражение для b_i-b_i-1 в пр. часть(4) получаем (7):

Из (5):

Подставляя это в (7), получаем сис-му ур-ний для c_{i :} (8) В силу диагонального преобладания (8) имеет 1 решение. Т.к. матрица сис-мы трехдиагональная, решение - методом прогонки, кот. в данном случае устойчива. Ч.т.д.

Существование и единственность кубического сплайна.

Теорема. Для любой непрерывной функции при любом наборе узлов (1) интерполяционный кубический сплайн существует и является единственным.

Д-во существования проведем конструктивным методом. На каждом из отрезков будем искать функцию в виде многочлена третьей степени

(2)

где - коэффициенты, подлежащие определению.

Коэффициенты найдем из условий интерполирования

Доопределим, кроме того, Остальные коэффициенты найдем из условий непрерывности:

- 2) функция , а также ее первая и вторая производные непрерывны на [a;b]

и граничных условий:

- 4)

Из условия непрерывности функции во внутренних узлах сетки и условия интерполирования имеем

Обозначая , перепишем эти уравнения в виде

(3)

Из условия непрерывности первой производной во внутренних узлах сетки имеем (4)

Условия непрерывности второй производной во внутренних узлах сетки и граничные условия

приводят к уравнениям (5)

где доопределено

Таким образом, получена замкнутая система уравнений (3), (4), (5) для определения коэффициентов кубического сплайна. Покажем, что эта система имеет единственное решение.

Перепишем уравнения (3) в виде (6)

Комбинируя два соседних уравнения вида (6), имеем

Подставляя найденное выражение для в правую часть уравнения (4), получим

(7)

Далее, из уравнения (5) имеем