Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. Интерполяционный многочлен Эрмита с узлами кратности 2.

Общая задача интерполирования обобщенными многочленами формулируется следующим образом. Для функции и набора попарно неравных узлов требуется построить обобщенный многочлен по системе функций так, чтобы значения обобщенного многочлена и его производных до определенного порядка в узлах совпадали с соотв-щими значениями функции и ее производных:

.

Ограничимся рассмотрением здесь случая, когда , то есть, общей задачей интерполирования алгебраическими многочленами. Для функции и набора попарно неравных узлов требуется построить многочлен , удовлетворяющий условиям

. (1)

Рассмотрим разность , где - интерпол-ный многочлен Лагранжа для по узлам . Так как при , то . (2)

Исходная задача сведена к построению многочлена .

Продиф-руем равенство (2): . Для узлов , в которых заданы значения производной отсюда имеем . (3)

Дифференцируя равенство (2) дважды, получим

Отсюда для узлов , в которых заданы значения производной , имеем

Далее, приходим к задаче построения многочлена степени , удовл. усл. . (4)

Для построения многочлена по условиям (4) применяем тот же прием, что и при построении многочлена по условиям (1). Повторяя процесс, приходим к задаче построения интерполяционного многочлена по его значениям в узлах, где в (1) задавались значения старшей производной. Последняя задача решается единственным образом и, следовательно, искомый многочлен имеет степень и является единственным.

Многочлен , удовлетворяющий условиям (1), называют многочленом Эрмита для функции по набору попарно неравных узлов с соответствующими кратностями узлов.

Проведем построение многочлена Эрмита для случая, когда все узлы имеют одинаковую кратность, равную двум. Условия (1) при этом принимают вид

. (5)

Используя формулы (2) и (3), получим ;

.

Т.о., построен искомый интерпол-ный многочлен Эрмита

. (6)

Проведем в выражении (6) алгебраические преобразования. Учтем, что и

Тогда формула (6) примет вид

(7)

Рассмотрим выражение в фигурных скобках . Это многочлен степени . При этом

Следовательно, рассматриваемый многочлен представляется в виде . (8)

Полагая в (8) , имеем и . Из условия

находим

. Подставляя полученные выражения коэффициентов в (8), имеем

.

Заменим в (7) многочлен в фигурных скобках найденным выражением, тогда для многочлена Эрмита с узлами кратности 2 получим окончательное выражение

. (9)

 

12. Некорректность задачи численного диф-я в пр-ве ℂ. Пусть функция задана на отрезке таблицей значений и надо найти приближенное значение ее производной в некоторой точке этого отрезка.

Решение поставленной задачи можно провести с использованием интерполяционного многочлена Лагранжа порядка n, который приближает функцию с погрешностью . Дифференцируя равенство , (1) m раз имеем погрешность . (2)

Таким образом, производная многочлена приближает производную функции с погрешностью , т.е., приближенное равенство (3) имеет погрешность .

Покажем, что в общем случае малая разность между двумя функциями на отрезке еще не означает, что малой будет и разность их производных на этом отрезке. В качестве примера рассмотрим функции ℂ и . Найдем отклонение от . Расстояние между этими функциями в пространстве ℂ равно

а расстояние между их производными в этом пр-ве . Некорректность в пространстве ℂ задачи численного дифференцирования заключается в том, что из сходимости в этом пространстве последовательности функций не следует, что последовательность производных этих функций также будет сходиться.

Примеры формул численного дифференцирования

В качестве примера рассмотрим использование для интерполирования в начале таблицы интерполяционного многочлена Ньютона:

.

Дифференцируя приближенное равенство будем иметь:

.В случае формула приобретает вид . Для второй производной получаем соответственно и .

Третья производная многочлена третьей степени является константой .

При неравноотстоящих узлах для построения формул численного дифференцирования используются интерполяционный многочлен Лагранжа

и интерполяционная формула Ньютона с разделенными разностями

.