Интерполяционный многочлен Лагранжа

Для каждого узла интерполяции найдем многочлен степени , равный нулю во всех узлах, кроме - ого, в котором он равен 1:

.

Систему многочленов принято называть базисом Лагранжа.

Нетрудно построить полиномы . Действительно, зная корни полинома, имеем:

1) многочлен равен нулю во всех узлах интерполяции, кроме ;

2) многочлен

равен 1 при и равен нулю во всех остальных узлах.

Итак, для любого

.

Введем многочлен ()-ой степени, построенный по узлам интерполяции:

.

Заметим, что производная многочлена в точке равна

.

Теперь многочлен можно записать в виде

. (1.6)

По построению многочлен имеет степень , принимает в узле значение и равен нулю во всех остальных узлах интерполяции.

Следовательно, многочлен

(1.7)

является интерполяционным многочленом для таблицы (1.1) (имеет степень не выше и , ).

Формулу (1.7) называют интерполяционной формулой Лагранжа, а полином - интерполяционным многочленом Лагранжа.

Замечание 1.4. Число арифметических операций необходимых для вычисления по формуле (1.7) имеет порядок .

Пример. Найдем интерполяционный многочлен Лагранжа для .

В этом случае формула (1.7) примет вид:

.

Графиком функции является прямая, проходящая через точки и . Такая полиномиальная интерполяция называется линейной полиномиальной (не путать с линейным интерполированием (см. важное замечание 1.1)).

Задание. Найдите интерполяционные многочлены Лагранжа для .

Замечание 1.5. Поскольку интерполяционный многочлен (1.7) линейно зависит от значений функции , то интерполяционный многочлен для суммы функций равен сумме интерполяционных многочленов слагаемых.

 

Погрешность интерполяции

Погрешностью интерполяции называется разность

. (1.8)

Очевидно, что в узлах интерполяции

.

В остальных точках погрешность интерполяции, вообще говоря, отлична от нуля.

Замечание 1.6. Из предложения 1.1 следует, что погрешность интерполяции для любой функции , где - пространство многочленов степени не выше .

Найдем погрешность интерполяции для многочлена степени (, ).

В этом случае есть многочлен степени и узлы интерполяции являются его корнями.

Следовательно,

, (1.9)

где .

Продифференцировав по это равенство раз, получим

,

так как - многочлен степени , то .

Отсюда найдем . Таким образом, для погрешность интерполяции имеет вид

. (1.10)

Однако, для произвольной функции, заданной только таблицей (1.1), ничего конкретного сказать о погрешности интерполяции нельзя.

Если функция ( - пространство функций раз непрерывно дифференцируемых на отрезке ), то для погрешности интерполяции можно получить формулу, аналогичную (1.9).

Теорема 1.2. Если , то для любого погрешность интерполяции определяется формулой

, (1.11)

где - некоторая точка отрезка ().

Доказательство. Будем разыскивать погрешность интерполяции в виде (1.9), положив ,

.

Зафиксируем произвольное , и рассмотрим вспомогательную функцию от переменной :

Очевидно, что и обращается в нуль в точках отрезка : . По теореме Ролля функция (производная от функции по ) обращается в нуль, по крайней мере, в точках отрезка , при этом , функция равна нулю по крайней мере в точках этого отрезка, и так далее.

Таким образом, обращается в нуль, по крайней мере, в одной точке и .

Учитывая, что для любого

и ,

получаем

.

Следовательно,

и

, где .

Теорема доказана.

Важное замечание 1.2. Из формулы (1.11) следует, что погрешность интерполяции зависит от выбора узлов интерполяции и гладкости функции .

Замечание 1.7. Из доказательства теоремы 1.1 получаем, что удовлетворяет условию

.

Следствие 1.2. Пусть и . Тогда

, для любого , (1.12)

, (1.13)

(1.14)

Важный пример (погрешность линейной полиномиальной интерполяции). Пусть и . Обозначим , , . В этом случае и интерполяционный многочлен может быть записан в виде

(1.15)

Наибольшее значение на отрезке достигается в точке и

Отсюда по формуле (1.13) получаем максимальную оценку погрешности линейной интерполяции

. (1.16)

Если то, оценка (1.16) не имеет места.

Найдем оценку погрешности интерполяции при минимальных требованиях к гладкости функции .

Пусть удовлетворяет условию Липшица на отрезке , то есть для любых выполнено неравенство где . Тогда максимальная оценка погрешности линейной интерполяции имеет вид

. (1.17)

Действительно, используя формулу (1.15), имеем

Поскольку и имеем

,

.

Так как при , то

.

Оценка (1.17) доказана.

Если имеется таблица большого числа значений некоторой функции с постоянным шагом изменения аргумента, то для вычисления значения в заданной точке обычно поступают следующим образом. Выбирают два соседних узла, между которыми находится . Левый узел принимается за , а правый – за

и вычисляют по формуле линейной интерполяции (1.15). Погрешность интерполяции для оценивается по формуле (1.16).

Замечание 1.8. Для класса раз непрерывно дифференцируемых функций константу в (1.12)-(1.14) улучшить (уменьшить) нельзя, так как для случая неравенство (1.12) превращается в равенство. Что касается величины , то она существенно зависит от выбора узлов интерполяции и, следовательно, может быть уменьшена при специальном выборе узлов.