Интерполяционный многочлен Ньютона

Удобным представлением интерполяционного многочлена для практических вычислений является его запись в виде интерполяционного многочлена Ньютона.

Введем в рассмотрение разделенные разности функции для заданной таблицы (1.1).

Значения функции в узлах будем называть разделенными разностями нулевого порядка.

Для любой пары узлов величины

будем называть разделенными разностями первого порядка.

Разделенной разностью второго порядка на узлах назовем величину

Если известны разделенные разности - ого порядка, то разделенная разность - ого порядка на узлах определяется как

Заметим, что для построения разделенной разности не обязательно соседство узлов, важно их количество: для разделенной разности - ого порядка требуется узел.

Далее мы будем рассматривать разделенные разности, построенные по соседним узлам , :

Для таблицы (1.1) можно построить таблицу разделенных разностей:

 

Узлы	Разделенные разности
0-ого порядка	1-ого порядка	2-ого порядка		-ого порядка	-ого порядка
Число разностей

 

Предложение 1.2. Для разделенной разности - ого порядка справедлива формула

(1.18)

Доказательство предложения 1.2 проведем по индукции. Действительно, разделенная разность первого порядка очевидно может быть представлена в виде (1.18):

Пусть формула (1.18) справедлива для разделенных разностей - ого порядка. Тогда по определению

Подставляя сюда вместо разделенных разностей -ого порядка их представления по формуле (1.18), имеем

 

Предложение 1.2 доказано.

Из предложения 1.2 (формулы (1.18)) получаем следующие важные свойства разделенных разностей:

1) Разделенная разность является линейным оператором относительно функции .

2) Разделенная разность является симметрической функцией своих аргументов (значение не зависит от порядка узлов).

3) Погрешность интерполяции представима формулой

(1.19)

 

Действительно, имеем

 

Выражение в фигурных скобках совпадает с представлением разделенной разности - ого порядка по формуле (1.18).

Формула (1.19) доказана.

4) Если , то

(1.20)

где

, .

Действительно из следствия 3) из предложения 1.2 для любого имеем

.

С другой стороны, по теореме 1.2 для любого

где . Следовательно, . Полагая здесь , получаем следствие 4).

Замечание 1.9. Если - многочлен степени { , }, то для любого разделенная разность -ого порядка есть многочлен степени .

Отсюда следует, что если - многочлен - ой степени, то разделенная разность - ого порядка от тождественно равна нулю.

Полученные результаты позволяют записать интерполяционный многочлен для таблицы (1.1) в виде

:

(1.21)

Действительно, имеет место очевидное равенство:

где , - интерполяционный многочлен Лагранжа степени , построенный по узлам таблицы (1.1).

Из очевидного равенства

,

Следует, что многочлен является интерполяционным для многочлена .

По следствию 2) из предложения 1.2 имеем

где - разделенная разность - ого порядка от функции .

Пусть . Из следствия 3) предложения 1.2 получаем, что для любого разделенная разность

.

Так как при , то при , имеем

и, следовательно,

Формула (1.21) доказана.

Явная запись интерполяционного многочлена для таблицы (1.1) в виде (1.21) называется интерполяционной формулой Ньютона, а полином - интерполяционным многочленом Ньютона (полиномом Ньютона).

Важное замечание 1.3. Интерполяционную формулу Ньютона можно считать дискретным аналогом формулы Тейлора. При этом она не содержит производных и ее погрешность (1.19) напоминает остаточный член формулы Тейлора.

Достоинством записи интерполянта в форме Ньютона является то, что для повышения степени интерполяционного многочлена нет необходимости в его полной перестройке; достаточно лишь добавить к уже полученному выражению еще одно или несколько слагаемых. Кроме того, с помощью разделенных разностей можно приближенно оценивать погрешность интерполяции.