Сходимость интерполяционного процесса.

Обычно рассматривают следующие виды сходимости функциональной последовательности для фиксированной последовательности сеток :

1) Поточечная сходимость к на :

для любого ;

на .

2) Равномерная сходимость к на :

;

на .

3) Среднеквадратичная сходимость с весом к на :

;

на .

В дальнейшем нам понадобится важный результат линейного функционального анализа, известный как теорема Банаха-Штейнгауса.

Пусть - произвольное банахово пространство. Рассмотрим последовательность линейных непрерывных (ограниченных) операторов .

Теорема 2.1. (Банах-Штейнгаус) Для того чтобы последовательность операторов поточечно сходилась к оператору при , то есть

при для всех ,

необходимо и достаточно выполнение двух условий:

а) существует () такая, что для всех .

б) последовательность при для всех , где - плотное множество в банаховом пространстве .

Важное замечание 2.1. Для матрицы узлов на построим последовательность интерполяционных многочленов Лагранжа

.

Введем оператор ( - пространство функций непрерывных на , ), ставящий в соответствие функции ее интерполяционный многочлен Лагранжа: .

Положим

,

где - многочлены базиса Лагранжа (см. (1.6)).

Нетрудно доказать, что . С другой стороны имеет место неравенство (Бернштейн)

(2.1)

Следовательно, , при . Отсюда и теоремы 2.1 получаем, что последовательность не может сходиться равномерно на для любой функции :

.

В противном случае нормы операторов были бы по условию а) теоремы 2.1 ограничены.

Замечание 2.1. С практической точки зрения интересны два случая сходимости интерполяционного процесса на равномерных сетках (сетках с равноотстоящими узлами):

1) Пусть фиксировано (). В этом случае рассматривается сходимость интерполяционного процесса при на последовательности сеток

2) Пусть фиксировано (). В этом случае рассматривается сходимость интерполяционного процесса при на последовательности сеток

Случай 1) для рассмотрен в пункте 1.5. (см. формулы (1.22) и (1.24)). Мы отметили, что погрешность интерполяции есть величина порядка при .

Что касается случая 2), то увеличение числа узлов, то есть степени интерполяционного многочлена , не всегда целесообразно, так как, не известно как ведет себя максимум модуля производной с ростом ее порядка и функция может вообще иметь только ограниченное число производных.

В общем случае свойство сходимости или расходимости интерполяционного процесса зависит как от выбора на матрицы узлов - последовательности сеток , так и от гладкости интерполируемой функции .

Приведем некоторые результаты, иллюстрирующие этот вывод.

Теорема 2.2. (Фабер-Бернштейн) Для любой последовательности сеток на существует непрерывная на функция , для которой соответствующая последовательность интерполяционных многочленов

не сходится равномерно при ни к какой непрерывной функции.

Теорема 2.3. (Марцинкевич) Для любой непрерывной на функции () найдется такая последовательность сеток на , для которой последовательность интерполяционных многочленов будет сходиться равномерно при к функции :

на .

Теорема 2.4. Если целая функция ( является суммой степенного ряда с бесконечным радиусом сходимости), то для любой последовательности сеток на последовательность интерполяционных многочленов будет сходиться равномерно при к функции

на .

Пример. (Бернштейн)Если , , то интерполяционные многочлены , построенные на равномерных сетках

,

не будут сходиться при к ни в одной точке, кроме :

на .

Замечание 2.2. Если в предыдущем примере равномерную сетку заменить чебышовской сеткой (сеткой, построенной по узлам, являющимся корнями многочлена Чебышова ), то интерполяционные многочлены будут сходиться равномерно к функции на :

на .

Среднеквадратичнуюсходимость с весом последовательности интерполяционных многочленов легко обеспечить, выбрав на специальную последовательность сеток .

Предложение 2.1. Пусть - система многочленов, ортогональных на с весом . Пусть - корни многочлена . Тогда для последовательности сеток соответствующая последовательность интерполяционных многочленов будет среднеквадратично с весом сходиться при к функции :

на .

Важное замечание 2.2. В практических вычислениях интерполяционные многочлены высокой степени () обычно не используются. Для интерполяции заданной функции используют кусочно-полиномиальные функции.