Приведение квадратичной формы к главным осям.

 

Теория приведения квадратичной формы к каноническому виду, изложенная в предыдущем параграфе, построена по аналогии с геометрической теорией центральных кривых второго порядка, но не может считаться обобщением этой последней теории. В самом деле, в нашей теории допускается использование любых невырожденных линейных преобразований, в то время как приведение кривой второго порядка к каноническому виду достигается применением линейных преобразований весьма специального вида (2), являющихся вращениями плоскости. Эта геометрическая теория может быть, однако, обобщена на случай квадратичных форм от неизвестных с действительными коэффициентами, если потребовать, чтобы матрица преобразования была ортогональной. Такое преобразование называется ортогональным, а сама процедура приведением квадратичных форм к главным осям.

ТЕОРЕМА. Каждая квадратичная форма некоторым ортогональным преобразованием может быть приведена к каноническому виду.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Будем смотреть на матрицу квадратичной формы как на матрицу некоторого линейного оператора в евклидовом пространстве. Если матрица квадратичной формы, то она симметрическая порядка . Если некоторый ортонормированный базис мерного евклидова пространства, то матрица задаёт в этом базисе симметрический оператор . По основной теореме о симметрических операторах в евклидовом пространстве в подходящем ортонормированном базисе его матрица будет диагональной. Пусть матрица перехода от к , тогда .

Но матрица , как матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому, по теореме 2 §1.6 будет ортогональной, а значит, . Поэтому . А именно так преобразуется матрица квадратичной формы, подвергнутой линейному преобразованию неизвестных с матрицей .

Итак, преобразование неизвестных, имеющее матрицу ортогонально, а матрица , будучи диагональной, соответствует квадратичной форме канонического вида. □

Тот факт, что матрица линейного оператора в базисе, составленном из собственных векторов, имеет диагональный вид (с собственными значениями по главной диагонали) [2], даёт нам метод практического отыскания канонического вида квадратичной формы, а также самого этого ортогонального преобразования.

Пример 2. Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму

к каноническому виду и написать этот канонический вид.

Решение. Матрица этой формы имеет вид

,

Найдём её характеристический многочлен:

.

Таким образом, матрица имеет двукратный корень и простой корень . Следовательно, канонический вид данной квадратичной формы будет

.

Найдём ортогональное преобразование, осуществляющее это приведение. Для этого найдём собственные векторы, соответствующие найденным собственным значениям , т. е. решим системы линейных однородных уравнений для каждого .

При имеем

.

Откуда , т. е. имеются 2 независимые переменные, и фундаментальный набор решений будет:

Применив к ним процесс ортогонализации, получим:

При имеем

.

Данная система эквивалентна следующей:

,

решением которой будет

.

Остаётся нормировать систему :

Таким образом искомое преобразование имеет вид:

 

Для того чтобы найти матрицу преобразования , нужно выразить переменные через , т. е. найти матрицу, обратную матрице преобразования . А так как , то достаточно транспонировать матрицу преобразования . Окончательно имеем:

.

 

 

Закон инерции.

 

Канонический вид, к которому приводится данная квадратичная форма, определяется неоднозначно. Всякая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду многими различными способами. Возникает вопрос, что общего у тех различных канонических квадратичных форм, к которым приводится данная форма ? Этот вопрос тесно связан с другим вопросом: при каком условии одна из двух данных квадратичных форм может быть переведена в другую невырожденным линейным преобразованием? Ответ на эти вопросы, оказывается, зависит от того, рассматриваются ли комплексные или действительные квадратичные формы.

Рассмотрим вначале произвольные комплексные квадратичные формы, допуская употребление невырожденных линейных преобразований также с произвольными комплексными коэффициентами. Известно, что всякая квадратичная форма oт неизвестных, имеющая ранг , приводится к каноническому виду

,

где все коэффициенты отличны от нуля. Пользуясь тем, что из всякого комплексного числа извлекается квадратный корень, выполним следующее невырожденное линейное преобразование:

при ; при .

Оно приводит форму к виду

, (1)

называемому нормальным; это просто сумма квадратов неизвестных с коэффициентами, равными единице.

Из равенства видно, что нормальный вид зависит лишь от ранга формы . Тогда, если формы и от неизвестных имеют одинаковый ранг , то можно перевести в (1), а затем (1) в , т. к. преобразование, обратное невырожденному, также невырожденное. Таким образом, существует невырожденное линейное преобразование, переводящее в . Так как, с другой стороны, никакое невырожденное линейное преобразование не изменяет ранга формы, то мы приходим к следующему результату:

ТЕОРЕМА 1. Две комплексные квадратичные формы от неизвестных тогда и только тогда переводятся друг в друга невырожденными линейными преобразованиями с комплексными коэффициентами, если эти формы имеют один и тот же ранг. □

 

Из этой теоремы без труда вытекает

СЛЕДСТВИЕ. Каноническим видом комплексной квадратичной формы ранга может служить всякая сумма квадратов неизвестных с любыми отличными от нуля комплексными коэффициентами. □

Иная ситуация в том случае, когда рассматриваются действительные квадратичные формы и допускаются лишь линейные преобразования с действительными коэффициентами. В этом случае уже не всякую форму можно привести к виду (1), так как это могло бы потребовать извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Если, однако, мы назовем теперь нормальным видом квадратичной формы сумму квадратов нескольких неизвестных с коэффициентами или , то легко показать, что всякую действительную квадратичную форму можно привести невырожденным линейным преобразованием с действительными, коэффициентами к нормальному виду.

В самом деле, форма ранга от неизвестных приводится к каноническому виду, который можно записать следующим образом (меняя, если нужно, нумерацию неизвестных):

, ,

где все числа отличны от нуля и положительны. Тогда невырожденное линейное преобразование с действительными коэффициентами:

при ; при ,

 

приводит к нормальному виду

.

Общее число входящих сюда квадратов будет равно рангу формы.

Действительная квадратичная форма может быть приведена к нормальному виду многими различными преобразованиями, однако с точностью до нумерации неизвестных она приводится лишь к одному нормальному виду. Это показывает следующая:

ТЕОРЕМА 2. (закон инерции действительных квадратичных форм). Число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде, к которому приводится данная квадратичная форма с действительными коэффициентами действительным невырожденным линейным преобразованием, не зависят от выбора этого преобразования.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть квадратичная форма ранга от неизвестных двумя способами приведена к нормальному виду:

(2)

Так как переход от неизвестных к неизвестным был невырожденным линейным преобразованием, то обратное преобразование, выражающее через также будет невырожденным:

. (3)

Аналогично

, (4)

причем определители из коэффициентов отличны от нуля. Коэффициенты же как в (3), так и в (4) действительные числа.

Предположим теперь, что , и напишем систему равенств

(5)

Если левые части этих равенств будут заменены их выражениями из (3) и (4), мы получим систему линейных однородных уравнений с неизвестными . Число уравнений в этой системе меньше числа неизвестных, поэтому, как мы знаем из [1], наша система обладает ненулевым действительным решением .

Заменим теперь в равенстве (2) все и все их выражениями (3) и (4), а затем подставим вместо неизвестных числа .Если для краткости через и будут обозначены значения неизвестных и , получающиеся после такой подстановки, то (2) превращается, ввиду (5), в равенство

. (6)

Так как все коэффициенты в (3) и (4) действительные, то все квадраты, входящие в равенство (6), положительны, а поэтому (6) влечет за собой равенство нулю всех этих квадратов; отсюда следуют равенства

.

С другой стороны, по самому выбору чисел

.

Таким образом, система линейных однородных уравнений

,

с неизвестными обладает, ввиду (7) и (8), ненулевым решением , т. е. определитель этой системы должен быть равен нулю. Это противоречит, однако, тому, что преобразование (4) предполагалось невырожденным. К такому же противоречию мы придем при . Отсюда следует равенство . □

Число положительных квадратов в той нормальной форме, к которой приводится данная действительная квадратичная форма , называется положительным индексом инерции этой формы, число отрицательных квадратов отрицательным индексом инерции. Разность между положительным и отрицательным индексами инерции сигнатурой формы .

Понятно, что при заданном ранге формы задание любого из определенных сейчас трех чисел вполне определяет два других, и поэтому в дальнейших формулировках можно будет говорить о любом из этих трех чисел.

ТЕОРЕМА 3. Две квадратичные формы от неизвестных с действительными коэффициентами тогда и только тогда переводятся друг в друга невырожденными действительными линейными преобразованиями, если эти формы имеют одинаковые ранги и одинаковые сигнатуры.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Действительно, пусть форма переводится в форму невырожденным действительным преобразованием. Мы знаем, что это преобразование не меняет ранга формы. Оно не может менять и сигнатуры, так как в противном случае и приводились бы к различным нормальным видам, а тогда форма приводилась бы, в противоречие с законом инерции, к этим обоим нормальным видам. Обратно, если формы и имеют одинаковые ранги и одинаковые сигнатуры, то они приводятся к одному и тому же нормальному виду и поэтому могут быть переведены друг в друга. □