Второй критерий эквивалентности.

матрица называется унимодулярной, если она имеет матрицу своим каноническим видом, т. е. если все ее инвариантные множители равны единице.

ТЕОРЕМА 1. матрица тогда и только тогда унимодулярная, если ее определитель отличен от нуля, но не зависит от , т. е. является отличным от нуля числом из основного поля .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если , то этим двум матрицам соответствует один и тот же многочлен . Однако для единичной матрицы . Отсюда следует, что определитель матрицы , отличающийся от лишь отличным от нуля числовым множителем, будет отличным от нуля числом из поля .

Обратно, если определитель матрицы отличен от нуля и не зависит от , то для этой матрицы многочлен будет равен , а т. к. то все инвариантные множители матрицы , равны единице. □

СЛЕДСТВИЕ 1. Всякая невырожденная числовая матрица является унимодулярной матрицей. □

Пример 2. матрица

является унимодулярной, действительно, ее определитель равен 20, т. е. отличен от нуля и от не зависит.

СЛЕДСТВИЕ 2. Произведение унимодулярных матриц само унимодулярно.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО следует из теоремы о произведении определителей. □

ТЕОРЕМА 2. матрица тогда и только тогда унимодулярна, когда для нее существует обратная матрица, также являющаяся матрицей.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Действительно, если дана невырожденная матрица, то, разыскивая обычным способом обратную матрицу, мы должны будем делить алгебраические дополнения к элементам данной матрицы на определитель этой матрицы, т. е. на некоторый многочлен от . Поэтому в общем случае элементы обратной матрицы будут рациональными дробями от , а не многочленами от , т. е. эта матрица не будет матрицей. Если же дана унимодулярная матрица, то делить алгебраические дополнения придется лишь на отличное от нуля число из поля Р, т.е. элементы обратной матрицы будут многочленами от и поэтому обратная матрица сама будет матрицей. Обратно, если матрица обладает обратной матрицей , то определители этих обеих матриц являются многочленами от , их произведение равно , а поэтому оба определителя должны быть многочленами нулевой степени. □

 

СЛЕДСТВИЕ 3. матрица, обратная к унимодулярной матрице, сама унимодулярна. □

Назовем элементарной матрицей числовую (и, следовательно, ) матрицу вида (1) или (2):

(1)

отличающуюся от единичной матрицы лишь тем, что на некотором ом месте главной диагонали, , стоит произвольное число из поля , отличное от нуля;

(2)

отличающуюся от единичной матрицы лишь тем, что на пересечении ой строки и ого столбца, , причем , стоит произвольный многочлен из кольца .

УТВЕРЖДЕНИЕ 1. Всякая элементарная матрица унимодулярна.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В самом деле, определитель матрицы (1) равен , но, по условию, ; определитель же матрицы (2) в точности
равен . □

 

УТВЕРЖДЕНИЕ 2. Выполнение в матрице любого элементарного преобразования равносильно умножению этой матрицы слева или справа на некоторую элементарную матрицу.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Действительно, очевидна справедливость следующих четырех утверждений:

1) умножение матрицы слева на матрицу (1) равносильно умножению ой строки матрицы на число ;

2) умножение матрицы справа на матрицу (1) равносильно умножению ого столбца матрицы на число ;

3) умножение матрицы слева на матрицу (2) равносильно прибавлению к ой строке матрицы ее ой строки, умноженной на ;

4) умножение матрицы справа на матрицу (2) равносильно прибавлению к ому столбцу матрицы ее ого столбца, умноженного на . □

УТВЕРЖДЕНИЕ 3. матрица тогда и только тогда унимодулярна, когда она представила в виде произведения элементарных матриц.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Произведение элементарных матриц, как частного случая унимодулярных, само унимодулярно.

Обратно, если матрица является унимодулярной, то ,
т. е. от можно перейти к с помощью конечного числа элементарных преобразований. Заменяя каждое из этих преобразований умножением слева или справа на элементарную матрицу, мы придем к равенству

,

где все матрицы элементарны. □

ТЕОРЕМА 3. (второй критерий эквивалентности матриц). Две матрицы и порядка тогда и только тогда эквивалентны, когда существуют такие унимодулярные матрицы и того же порядка , что

(3)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Оно аналогично доказательству предыдущего утверждения. Так как , то от можно перейти к при помощи конечного числа элементарных преобразований, т. е.

(4)

где матрицы элементарны и, следовательно, унимодулярны. Унимодулярными будут, поэтому и матрицы

(5)

являющиеся произведениями унимодулярных матриц, а равенство (4) перепишется в виде (3). Заметим, что если, например, , т. е. элементарные преобразования совершались лишь над столбцами, то полагаем просто .

Обратно, пусть для матриц и существуют такие унимодулярные матрицы и , что имеет место равенство (3). По доказанному, матрицы и можно представить в виде произведений элементарных матриц; пусть это будут представления (5). Равенство (3) перепишется теперь в виде (4) и, заменяя каждое умножение на элементарную матрицу соответствующим элементарным преобразованием, мы получим, наконец, что . □

 

 

§3.3. Матричные многочлены.

 

Будем называть матричным многочленом порядка над полем многочлен от , коэффициентами которого служат квадратные матрицы одного и того же порядка с элементами из поля ; его общим видом будет:

(1)

Всякий матричный многочлен порядка можно записать в виде матрицы порядка . Так, например

.

И обратно, всякая матрица порядка может быть записана в виде матричного многочлена порядка . Так,

Соответствие между матрицами и матричными многочленами является взаимно однозначным и изоморфным. Действительно, равенство многочленов вида (1) как матриц равносильно равенству матричных коэффициентов при одинаковых степенях , а умножение матрицы на равносильно умножению ее на числовую матрицу с на главной диагонали.

Пусть дана матрица , причем

,

где матрица не является нулевой. Число назовем степенью матрицы ; это будет наивысшая степень (по ) элементов матрицы .

Изоморфизм между матрицами и матричными многочленами позволяет развивать для матриц теорию делимости, аналогичную теории делимости для числовых многочленов, но усложняемую некоммутативностью умножения матриц и наличием делителей нуля. Рассмотрим алгоритм деления с остатком.

ТЕОРЕМА. Пусть над полем даны матрицы порядка

,

,

причем предположим, что матрица невырожденная, т. е. существует матрица . Тогда над полем можно найти такие матрицы и того же порядка , что

, (2)

причем степень меньше степени или же . С другой стороны, над полем можно найти такие матрицы и порядка , что

, (3)

причем степень меньше степени или же . Матрицы и , а также и , удовлетворяющие этим условиям, определяются однозначно.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО этой теоремы проходит так же, как доказательство соответствующей теоремы для числовых многочленов. Пусть условию (2) удовлетворяют также матрицы и , причем степень меньше степени . Тогда

.

Степень правой части меньше , степень же левой части, если квадратная скобка отлична от нуля, больше или равна , так как матрица невырожденная. Отсюда следует единственность матриц и .

Докажем существование этих матриц. При степень

будет строго меньше ; обозначим её , а старший коэффициент многочлена через . Если всё ещё , то

.

Обозначим через степень, а через старший коэффициент матричного многочлена . Положим затем

,

и т. д.

Так как степени многочленов , , убывают, , то за конечное число шагов дойдём до многочлена ,

,

степень которого меньше . Складывая предыдущие равенства, получим:

,

где выражение в скобках и будет матричным многочленом , а .

С другой стороны, рассматривая разность

,

видим, что её степень также строго меньше , а будет старшим членом матричного многочлена . Откуда убеждаемся, что матрицы и (а также и ), удовлетворяющие условиям теоремы, действительно в общем случае будут различными. □