Теорема о матрице билинейной формы.

Пусть L – вещественное пространство, числовая функция А(х,у) зависит от наз-ся билин формой, если явл-ся линейной по каждом из этих аргуметов.

1.A(x+z, y) = A(x,y) + A(z,y) 2.A(x;z+y) = A(x,z) + A(x,y) 3. A(λx, y) = λA(x,y); λ?R 3. A(x, λy) = λA(x,y); λ?R

f(x) – линейн форма, g(y) – линейн форма => A(x,y) = f(x) g(x) – билинейн форма.

опр. билин форма А(х,у) наз-ся симметричной, если для любых х,у: A(x,у) = А(у,х), наз-ся кососимметричной, если А(х,у) = - А(у,х)

теор (о представлении билин формы в конечномерном пространстве): L – n-мерное пространство., базис => A(x,y) = (1), где – билин форма (2), , , т.е.

Док-во: из (1) и (2) следует, что В(х,у) = , ч.т. д.

 

 

43. Преобразование матрицы билинейной формы при переходе к новому базису. Ранг билин формы.

L – n-мерное пространство, - 2 базиса. В(е) – матрица в базисе е, B(f) – матрица билинейной формы в базисе f.

теор. Пусть матрица перехода от базиса е к базису f. c’ – транспонированная матрица

Док-во: элементы выражаются через ; -элементы матрицы квадратичн формы В(х,у) в е. ; ; -элементы В(f). B(f)=c’B(e)c, ч.т.д.

следствие. В(f) – матрица билинейной формы в линейном базисе е.

Док-во: B(f)=c’B(e)c => с – невырожденная матрица (|c| не = 0)=> c’ – невырожд. Ранг матр при умножении на невырожд матрицу не меняется. B(e)c = rang B(f), ч.т.д.

опр. Ранг билинейной формы В(х,у) в пространство L наз-ся билинейной формы относительно любого базиса

опр. Билинейная форма В(х,у) в L наз-ся невырожденной, если rang [B] = dimL. Если rang [B] < dim L => вырожденная.

Приведение квадратичной формы к канонич виду методом Лагранжа.

опр. Пусть А(х,у) – билинейная форма, симметричная в L. Квадратичной формой наз-ся функция А(х,х) (то есть х=у), и исходная билинейная форма А(х,у) назся

Лемма о представлении билин формы в Евкл прост-ве: V – Евкл пр-во,

Док-во: - ОНБ V.; h: , k=1,…,n => . ч.т.д.

Докажем единственность: F(x)=<x,h1>, f(x) = (x,h2> => <x, h1 – h2> = 0 => x=h1 –h2 => <h1-h2,h1-h2> = 0 => (h1-h2) =0 = h1=h2 ч..т.д.

теор. В(х,у) - билинейн форма в Евкл прост-ве => B(x,y)= <x,Ay>

док-во: , В(х,у) – билин форма относительно х => по лемме B(x,y) = <x,h>. B(x,y) = <x,Ay>. Линейность оператора вытекает из B(x, y1+y2) = <x, A(y1+y2)> = <x,Ay1> + <x,Ay2>. Докажем единственность: . B(x,y)=<x,y,>=<x,A1*y>, B(x,y)=<x,A2*y> => <x1, (A1-A2)y>=0. Пусть x=(A1 – A2)y => <(A1-A2)y, (A1-A2)y>=0 => (A1-A2)y = 0, => A1=A2, ч.т.д.

следствие: В(х,у) – билин форма V => В(х,у) = <Ax,y>

Сопряж операторы в Евклид пространстве. Самосопряж операторы и их свойства.

опр. V – конечномерное Евкл прост-во. наз-ся сопряженным к линейному оператору А, если для

утв. А* - линейный оператор.

Док-во: <Ax, λ1*y1 + λ2*y2> = <Ax, λ1*y1> + <Ax, λ2*y2> = λ1* <Ax,y1> + λ2* <Ax,y2> = λ’1*

Док-во 3: А – самосопр оператор, т.е. A=A’ и λ1, λ2, …- различн собств значения. λ1 не = λ2, х1 и х2 – соответ собств векторы => Ax1 = λ1*x1; Ax2 = λ2*x2 => <Ax1,x2> = λ1<x1,x2>; <x1, Ax2> = λ2<x1,x2>. <Ax1,x2> = <x1,Ax2> => λ1<x1,x2> = λ2 <x1,x2>; (λ1- λ2)<x1,x2>=0

по условию λ1 не = λ2 => <x1,x2?=0 => x1 ортогонально х2. ч.т.д.

Нормы линейн пространства.

опр. V – евклидово простр-во, .

утв. Имеет место неравенство ||Ax||<=||A||*||x|| (1);

Док-во: Ax = A * ((1/ ||x||)*x*||x||)

||(x/ ||x||)|| = 1, т.к. (1/||x||)*||x|| = 1 =>||Ax|| = ||(A* (1/ ||x||)* x* ||x||)|| <= sup ||Az||*||x|| = ||A||*||x||

||Ax|| <= ||A||*||x||, ч.т.д.

утв.2. А – самосопряж оператор => ; ||Ax|| <= ||A|| * ||x||; |<Ax,x>| <= ||A|| * ||x||; ;=> μ <= ||A|| => (1/ ||x||)* |<Ax,x>| <= ||A|| * ||x||

||(x / ||x||) = 1 => |<Ax, (x/ ||x||)>|| <= ||A|| * ||x|| => sup|<Ax,x>| <= ||A||; |A * (x/ ||x||), (x/ ||x||)| <= A => μ = ||A|| => μ = sup |<Ax,x>| = ||A||

утв3. V – евклидово простр-во, А – самосопряж оператор. λ – собствен значение А =>

Док-во: (5). Обозначим x = z/ ||z|| => ||x|| = || (z/ ||z||)|| = (1/ ||z||) * ||z|| = 1. (5) => Az = A* (x ||z||) = λ*x*||z|| => ||z||*A*x = λ*x*||z|| => Ax = λ*x = <Ax,x> = < λx, x> = λ <x, x> = λ*||x||^2 = λ => λ = <Ax,x>, ||x|| = 1, ч.т.д.

утв4. А – самосопряж оператор, λ – любое собствен значение А.

 

опр. матрица В(е) = , где - из (2), наз-ся матрицей линейно формы В(х,у) в базисе

утв. Любая квадратная матрица явл-ся данным в базисе матрицы некоторой билинейной формы.

Док-во: - данный базис L; , , - данная матрица. . В(х,у) – билин форма, т.е. удовлетворяет аксиомам 1-4. В(x+z, y) = В(x,y) + В(z,y); => В(x+z, y) = В(х,у) + В(z,y), ч.т.д.

утв. В(х,у) – симметричная билинейная форма, если В(е) симметричная матрица (необх и дост условие)

 

полярной к А(х,х).

координаты вектора коэф-ты у относительно (т.к.. билинейная форма симметрична), а .

матрица квадратичн формы А(е).

теорема. Любая квадратичная форма А(х,х) в n-мерном лин пространстве L с помощью невырожденного линейного преобразования координат может быть приведена к канонич виду , где - координаты вектора канонический коэф-т.

Основная идея метода Лагранжа – последовательно выделяется полный квадрат по каждому аргументу.

Док-во: А(х,х) не = 0, в данном базисе

1 шаг: А(х,х) можно преобразовать так, что коэф-т при 1-ой координаты вектора х не =0. Если а11 =0, но другие коэф-ты не =0 => при перенумерации базисного вектора а11 не =0.

пусть а11 не, в (1) выделим ту группу слагаемых, кот-е содержит х, т.е.

Преобразуем выделенную сумму

(3) и (4)=> , где aij – коэф-т после преобразовния

; преобразуем . Повторяем этот процесс, получим в итоге квадратич форму виду