Алгебраические многочлены и их корни.

Алгебраические многочлены и их корни.

опр. алгебраическим многочленом n степени назөся выражение: , С1 – комплексное число, z – переменная, комплексн.

пр. Р(х) = ax^2 + bx + c; a не =0.

Любой многочлен в n степени можно делить на любой многочлен в степени, не превосходящей n.

пр. x^4 + 1 = (x^2 + x +1) (x^2 =) + (x+1)

док-во: (необходимость). Пусть а - корень кратности α для f(z) => a - корень кратности (α-1) для f’(z) => корень кратности (α-2) для f’’(z) =>…=> корень кратности 1 для , т.е. f(a) = 0, f’(a) = 0,

Кроме того, а не является корнем для многочлена , т.е.

(достаточность) => а - корень кратности не <1 => а - корень кратности не <2 для => … => а - корень кратности не ниже α для f(z) => если а корень кратности > α, - противоречие => теорема доказана.

Формулы Виета

f(x)=xⁿ+a₁x^n-1+a₂x^n-2+…+a_n-1x+a_n, и пусть a₁,…,a_n – его корни. Þf(x)=(x-a₁)…(x-a_n). Перемножив скобки справа, приводя подобные члены и сравн.получ-е коэфф-ты с коэфф-ми из (1), получаем рав-ва, наз-е формулами Вьета. Эти ф-лы выражают коэффициенты мног-на ч/з его корни:

a₁= -(a₁+a₂+…+a_n),

a₂=a₁a₂+a₁a₃+…+a₁a_n+a₂a₃+…+a_n-1a_n,

a3= -(a₁a₂a₃+a₁a₂a₄+…+a_n-2a_n-1a_n),………

a_n-1=(-1)^n-1(a₁a₂…a_n-1+a₁a₂…a_n-2a_n+…+a₁a₂…a_n),

a_n=(-1)ⁿa₁a_2…a_n.

Т.О.: в правой части k-го нер-ва стоит сумма всевозм произв-й по k корней, взятая со знаком «+» или «-», в зависимости от четности или нечетности k.

Если старший коэффициент а₀ мног-на f(x) отличен от 1, для применения ф-л Виета нужно сначала разделить все коэфф-ты на а₀, что не влияет на корни мног-на. Т.О., в этом случае

- остаток = 0

Доказать: - НОД (f(z), φ(z))

1) f(z)/r2(z), φ(z)/:

2) /r0(z), r0(z) – делитель f(z), φ(z)

1) Согласно (к+1) шага => согласно шагу (к) , т.к. и , ч.т.д.

2) пусть r0(z) - делитель f(z), φ(z). Доказать

=> r2(z):r0(z) => => , ч.т.д.

Процесс нахождения НОД – алгоритм Евклида.

пр. f(z)=z^4 – 2z^3 + 3z^2 – 2z +1

φ(z) = 4z^3 – 6z^2 + 6z-2

1 шаг: Делим f(z) на φ(z), получаем остаток (3/4)z^2 – (3/4)z + (3/4), частное (1/4)z-1/8

2 шаг: φ(z)=r1(z) * φ(z) + r2(z).

Делим φ(z) на z^2 – z + 1, частное 4z-2, остаток=0

=> НОД (f(z), φ(z))= z^2 – z + 1

НОД определяется с точностью до постоянного сомножителя

Свойства делимости мног-ов:

1. если f(x) дел-ся на g(x), а g(x) дел-ся на h(x) Þ f(x) тоже дел-ся на h(x). Д-во: по усл.: f(x)= g(x)*j(х), g(x)= h(x)*y(х) Þ f(x)= h(x)[y(х)*j(х)].

2. если f(x) и g(x) дел-ся на j(х)Þ их сумма и разность тоже дел-ся на j(х). Д-во: т.к. f(x)=j(х)*y(х) и g(x)=j(х)*c(х) Þ f(x)±g(x)=j(х)[y(х)±c(х)]

 

комплексного числа.

опр. Комплексные числа равны, если их действ и мнимые части равны.

tgφ = y/x => φ = actg (y/x)

Пр. z = 1+I => x=1; y=1, |z| = √2; tgφ = 1/1=1 => φ = π/4

z = √2 (cos π/4 + isin π/4)

 

z1 = r1 (cosφ1 + isinφ1); z2 = r2 (cosφ2 + isinφ2)

z1*z2 = r1*r2 [(cosφ1*cosφ2 – sinφ1*sinφ2) + i*(sinφ1*cosφ2 + cosφ1*sinφ2)] = r1*r2 [cos (φ1+φ2) + i*sin (φ1+φ2)]

z1*z2 = |z1|*”|z2| * (cos (φ1 + φ2) + i*sin (φ1 + φ2))

if z1=z2: z^2 = |z|^2 * (cos 2φ + isin 2φ)

формула Муавра:

показательная формула , формула Эйлера -

формула Муавра в показат форме

Извлечение корня.

z = r (cosφ + isinφ); ; W = ρ (cos ψ +isin ψ) => z = W^n => W^n = (ρ^n) (cos ψ +isin ψ) => r (cosφ + isinφ) = (ρ^n) (cos ψ +isin ψ) => r = ρ; φ+2kπ = nψ k=0,1…(n-1) => ψ = (φ + 2kπ)/n

W =

При извлечении n корня извлекается n корень из модуля, затем [cos…]

Пр.

 

утв. f(z), φ(z) –многочлены, причем степень φ(z) ≤ степени f(z), тогда f(z) = φ(z)*g(z) + r(z), где g(z) и r(z) – многочлены. Степень g(z) = разности степени f(z) и φ(z), а степень r(z) < степени φ(z).

Вопрос о делимости f(z) на многочлен 1 степени φ(z):

опр. число b является корнем f(z) если f(b)=0, b – комплексн.

Если r(z) (остаток) = 0 => f(z) делится на φ(z)

теор. f(z) делится на (z-b), если b является корнем f(z).

Док-во: (c-const, многочлен в нулевой степени)

пусть φ(z)=z-b => f(z) = φ(z)*g(z) + r(z) = (z-b)*g(z) + r(z) => (r(z)=с) =(z-b)*g(z) + c => r=b f(b) = c =0 => f(z) = φ(z) * g(z) => f(b) = 0, ч.т.д.

НОД. Алгоритм Евклида.

опр. НОД 2-х многочленов f(z), φ(z) назөся такой делитель, который делится на любой друой делитель этих многочленов.

Пр. 12=2*2*3; 8=2*2*2 => нод=2

НОД (f(z), φ(z)) -? степень φ(z) < степени f(z) => f(z)= φ(z)*f(z) + r1(z)

степень r(x) < степ φ(z), r1 – остаток. Делим φ(z) на r1(z) => φ(z)=r1(z) * φ(z) + r2(z).

степень r2(z) < степ r1(z) => r1(z) = r2(z) φ2(z)+r3(z)

3. если f(x) дел-ся на j(х) Þ произв-е f(x) на " мн-н g(x) тоже дел-ся на j(х). Д-во: т.к. f(x)=j(х)*y(х) Þ f(x)*g(x)= j(х)[y(х)*g(x)]

4. из 2 и 3 Þ если " мн-н f₁(x)…f_к(x) дел-ся на j(х) Þ на j(х) дел-ся и мн-н f₁(x)g₁(x)…f_к(x)g_к(x), где g₁(x)…g_к(x) – произв мног-ны.

5. " мн-н f(x) дел-ся на " мн-н нулевой степени. Д-во: если f(x)=а₀хⁿ+a₁x^n-1+…a_n а с –произв число¹0, т.е. мн-н нулевой степени Þ f(x)=с(а₀хⁿ/с+a₁x^n-1/с+…a_n/с).

6. если f(x) дел-ся на j(х) Þ f(x) дел-ся и на с*j(х). Д-во: т.к. f(x)=j(х)*y(х) Þ f(x)=[cj(х)]*[c^-1y(х)].

7. Мн-ны сf(x), с¹0 – только они – делители мн-на f(x), имеющие такую же степень что и f(x). Д-во: f(x)=с^-1[сf(x)] т.е. f(x) дел-ся на сf(x).

Если же f(x) дел-ся на j(х), причем их степени совп-ют Þ степень частного от деления f(x) на j(х) должна =0, т.е. f(x)=dj(х), d¹0 Þ j(х)=d^{-1 f}(x) Þ

8. f(x) и g(x) одноврем-но дел-ся друг на друга Û g(x)=сf(x), с¹0

9. из 1 и 8 Þ " дел-ль 1-го из 2-х мн-ов f(x), сf(x), с¹0 – дел-ль и для другого мн-на.

Теорема о ранге оператора.

теор. Пусть 1) rang AB ≤ rang A 2) rang AB ≤ rang B

Док-во: 1) imAB ≤im A. По определению {(АВ)(х) =A(BX): im AB = { (AB)(x)=y} =

A(Bx) = Az, где у явл-ся образом А: у ≤ im A (y=Az, ) => 1) dim (im AB) ≤ dim (im A) => rang AB ≤ rang A,.ч.т.д. 2) ker B ≤ ker AB (т.к.: пусть => Bx = 0=> A(Bx) = 0 => ) => dim ker B ≤ dim ker (AB) => dim V – dim (kerAB) ≥ dimV – dim (ker AB) => dim (im AB) ≤ dim (im B) => rang AB ≤ rang B

теор2. Пусть , dim V = n => rang (AB) ≥ rang A + rang B - n

следствие. пусть rangA = n => rang (AB) = rang (BA)=rang B

Док-во: rang (AB) ≤ rang B, rang AB ≥ rang B (по теор2). Если в теор2 rang A =n=> rang AB = rang B, ч.т.д.

rang BA ≤ rang B (теор1); rang BA ≥ rang B => rang BA = rang B

если rang A = dim (im A), dim (ker A) = 0 => AB =BA

Нормы линейн пространства.

опр. V – евклидово простр-во, .

утв. Имеет место неравенство ||Ax||<=||A||*||x|| (1);

Док-во: Ax = A * ((1/ ||x||)*x*||x||)

||(x/ ||x||)|| = 1, т.к. (1/||x||)*||x|| = 1 =>||Ax|| = ||(A* (1/ ||x||)* x* ||x||)|| <= sup ||Az||*||x|| = ||A||*||x||

||Ax|| <= ||A||*||x||, ч.т.д.

утв.2. А – самосопряж оператор => ; ||Ax|| <= ||A|| * ||x||; |<Ax,x>| <= ||A|| * ||x||; ;=> μ <= ||A|| => (1/ ||x||)* |<Ax,x>| <= ||A|| * ||x||

||(x / ||x||) = 1 => |<Ax, (x/ ||x||)>|| <= ||A|| * ||x|| => sup|<Ax,x>| <= ||A||; |A * (x/ ||x||), (x/ ||x||)| <= A => μ = ||A|| => μ = sup |<Ax,x>| = ||A||

утв3. V – евклидово простр-во, А – самосопряж оператор. λ – собствен значение А =>

Док-во: (5). Обозначим x = z/ ||z|| => ||x|| = || (z/ ||z||)|| = (1/ ||z||) * ||z|| = 1. (5) => Az = A* (x ||z||) = λ*x*||z|| => ||z||*A*x = λ*x*||z|| => Ax = λ*x = <Ax,x> = < λx, x> = λ <x, x> = λ*||x||^2 = λ => λ = <Ax,x>, ||x|| = 1, ч.т.д.

утв4. А – самосопряж оператор, λ – любое собствен значение А.

 

опр. матрица В(е) = , где - из (2), наз-ся матрицей линейно формы В(х,у) в базисе

утв. Любая квадратная матрица явл-ся данным в базисе матрицы некоторой билинейной формы.

Док-во: - данный базис L; , , - данная матрица. . В(х,у) – билин форма, т.е. удовлетворяет аксиомам 1-4. В(x+z, y) = В(x,y) + В(z,y); => В(x+z, y) = В(х,у) + В(z,y), ч.т.д.

утв. В(х,у) – симметричная билинейная форма, если В(е) симметричная матрица (необх и дост условие)

 

полярной к А(х,х).

координаты вектора коэф-ты у относительно (т.к.. билинейная форма симметрична), а .

матрица квадратичн формы А(е).

теорема. Любая квадратичная форма А(х,х) в n-мерном лин пространстве L с помощью невырожденного линейного преобразования координат может быть приведена к канонич виду , где - координаты вектора канонический коэф-т.

Основная идея метода Лагранжа – последовательно выделяется полный квадрат по каждому аргументу.

Док-во: А(х,х) не = 0, в данном базисе

1 шаг: А(х,х) можно преобразовать так, что коэф-т при 1-ой координаты вектора х не =0. Если а11 =0, но другие коэф-ты не =0 => при перенумерации базисного вектора а11 не =0.

пусть а11 не, в (1) выделим ту группу слагаемых, кот-е содержит х, т.е.

Преобразуем выделенную сумму

(3) и (4)=> , где aij – коэф-т после преобразовния

; преобразуем . Повторяем этот процесс, получим в итоге квадратич форму виду

Алгебраические многочлены и их корни.

опр. алгебраическим многочленом n степени назөся выражение: , С1 – комплексное число, z – переменная, комплексн.

пр. Р(х) = ax^2 + bx + c; a не =0.

Любой многочлен в n степени можно делить на любой многочлен в степени, не превосходящей n.

пр. x^4 + 1 = (x^2 + x +1) (x^2 =) + (x+1)

док-во: (необходимость). Пусть а - корень кратности α для f(z) => a - корень кратности (α-1) для f’(z) => корень кратности (α-2) для f’’(z) =>…=> корень кратности 1 для , т.е. f(a) = 0, f’(a) = 0,

Кроме того, а не является корнем для многочлена , т.е.

(достаточность) => а - корень кратности не <1 => а - корень кратности не <2 для => … => а - корень кратности не ниже α для f(z) => если а корень кратности > α, - противоречие => теорема доказана.

Формулы Виета

f(x)=xⁿ+a₁x^n-1+a₂x^n-2+…+a_n-1x+a_n, и пусть a₁,…,a_n – его корни. Þf(x)=(x-a₁)…(x-a_n). Перемножив скобки справа, приводя подобные члены и сравн.получ-е коэфф-ты с коэфф-ми из (1), получаем рав-ва, наз-е формулами Вьета. Эти ф-лы выражают коэффициенты мног-на ч/з его корни:

a₁= -(a₁+a₂+…+a_n),

a₂=a₁a₂+a₁a₃+…+a₁a_n+a₂a₃+…+a_n-1a_n,

a3= -(a₁a₂a₃+a₁a₂a₄+…+a_n-2a_n-1a_n),………

a_n-1=(-1)^n-1(a₁a₂…a_n-1+a₁a₂…a_n-2a_n+…+a₁a₂…a_n),

a_n=(-1)ⁿa₁a_2…a_n.

Т.О.: в правой части k-го нер-ва стоит сумма всевозм произв-й по k корней, взятая со знаком «+» или «-», в зависимости от четности или нечетности k.

Если старший коэффициент а₀ мног-на f(x) отличен от 1, для применения ф-л Виета нужно сначала разделить все коэфф-ты на а₀, что не влияет на корни мног-на. Т.О., в этом случае

- остаток = 0

Доказать: - НОД (f(z), φ(z))

1) f(z)/r2(z), φ(z)/:

2) /r0(z), r0(z) – делитель f(z), φ(z)

1) Согласно (к+1) шага => согласно шагу (к) , т.к. и , ч.т.д.

2) пусть r0(z) - делитель f(z), φ(z). Доказать

=> r2(z):r0(z) => => , ч.т.д.

Процесс нахождения НОД – алгоритм Евклида.

пр. f(z)=z^4 – 2z^3 + 3z^2 – 2z +1

φ(z) = 4z^3 – 6z^2 + 6z-2

1 шаг: Делим f(z) на φ(z), получаем остаток (3/4)z^2 – (3/4)z + (3/4), частное (1/4)z-1/8

2 шаг: φ(z)=r1(z) * φ(z) + r2(z).

Делим φ(z) на z^2 – z + 1, частное 4z-2, остаток=0

=> НОД (f(z), φ(z))= z^2 – z + 1

НОД определяется с точностью до постоянного сомножителя

Свойства делимости мног-ов:

1. если f(x) дел-ся на g(x), а g(x) дел-ся на h(x) Þ f(x) тоже дел-ся на h(x). Д-во: по усл.: f(x)= g(x)*j(х), g(x)= h(x)*y(х) Þ f(x)= h(x)[y(х)*j(х)].

2. если f(x) и g(x) дел-ся на j(х)Þ их сумма и разность тоже дел-ся на j(х). Д-во: т.к. f(x)=j(х)*y(х) и g(x)=j(х)*c(х) Þ f(x)±g(x)=j(х)[y(х)±c(х)]

 

комплексного числа.

опр. Комплексные числа равны, если их действ и мнимые части равны.

tgφ = y/x => φ = actg (y/x)

Пр. z = 1+I => x=1; y=1, |z| = √2; tgφ = 1/1=1 => φ = π/4

z = √2 (cos π/4 + isin π/4)

 

z1 = r1 (cosφ1 + isinφ1); z2 = r2 (cosφ2 + isinφ2)

z1*z2 = r1*r2 [(cosφ1*cosφ2 – sinφ1*sinφ2) + i*(sinφ1*cosφ2 + cosφ1*sinφ2)] = r1*r2 [cos (φ1+φ2) + i*sin (φ1+φ2)]

z1*z2 = |z1|*”|z2| * (cos (φ1 + φ2) + i*sin (φ1 + φ2))

if z1=z2: z^2 = |z|^2 * (cos 2φ + isin 2φ)

формула Муавра:

показательная формула , формула Эйлера -

формула Муавра в показат форме

Извлечение корня.

z = r (cosφ + isinφ); ; W = ρ (cos ψ +isin ψ) => z = W^n => W^n = (ρ^n) (cos ψ +isin ψ) => r (cosφ + isinφ) = (ρ^n) (cos ψ +isin ψ) => r = ρ; φ+2kπ = nψ k=0,1…(n-1) => ψ = (φ + 2kπ)/n

W =

При извлечении n корня извлекается n корень из модуля, затем [cos…]

Пр.

 

утв. f(z), φ(z) –многочлены, причем степень φ(z) ≤ степени f(z), тогда f(z) = φ(z)*g(z) + r(z), где g(z) и r(z) – многочлены. Степень g(z) = разности степени f(z) и φ(z), а степень r(z) < степени φ(z).

Вопрос о делимости f(z) на многочлен 1 степени φ(z):

опр. число b является корнем f(z) если f(b)=0, b – комплексн.

Если r(z) (остаток) = 0 => f(z) делится на φ(z)

теор. f(z) делится на (z-b), если b является корнем f(z).

Док-во: (c-const, многочлен в нулевой степени)

пусть φ(z)=z-b => f(z) = φ(z)*g(z) + r(z) = (z-b)*g(z) + r(z) => (r(z)=с) =(z-b)*g(z) + c => r=b f(b) = c =0 => f(z) = φ(z) * g(z) => f(b) = 0, ч.т.д.