Линейные операторы и их свойства. Обратный оператор.

опр. W1, W2 – произвольные линейные пространства, соответствующих размерностей n и m. Оператором А из V в W наз-ся отображение вида А: V →W

опр. оператор А, действующий V →W, наз-ся линейным, если для любых х1, х2 и λ (чисел) 1) А (х1 + х2) = Ах1 + Ах2 (свойство адитивности) 2) А(λч) = λАч (однородность)

опр. образом линейн оператора А, действующего V →W, наз-ся множество у=Ах. im A = { }.

Сумма операторов и умножение на число.

А: V →W; В: V →W

(А + В)(х) = Ах+Вх

(λ)(А)(х) = λ (Ах); λ

опр. нулевым оператором θ:

утв. если (A^(-1))*A*x=0, то х=0

опр. Говорят, что линейн оператор действует взаимнооднозначно V → V, если 2-м разл элементам х1 не = х2 (из V) → Ах1 не = Ах2. Отображение на: V на V отображает оператор А в этом случае, т.е.

утв. пусть взаимнооднозначное отображение => ө линейно независимые элементы простр-ва V → - лин незав элементы V.

Док-во: -лин независ => => => отсюда вытекает отображение на => - лин незав, ч.т.д.

теор. Чтобы имел обратный оператор А^(-1) необх и дост, чтобы этотоператор А действовал взаимнооднозначно V → V.

Док-во: (необх) пусть сущест-ет А^(-1). Предположим противное, А не явл-ся взаимнооднозначным , т.е. х1 – х2 не = о, но Ах1=Ах2.

Ах1-Ах2 = А(х1-х2)=0 => x1-x2=0 при х1 не = х2 => несоответствие => А – взаимооднозн, ч.т.д.

(достаточн) Пусть А: V → V: осущ-ет взаимноодназн отображение. Надо доказать,ч то сущест-ет А^(-1). => . А^(-1) – лин оператор => обратн оператор (согласно определению).

p=dimV1 => p ≥ q. p>q – противоречие. (докажем, что противоречие). Пусть p>q, - лин незав V1 дополним так, чтобы составило базис в V1. p>q, q – dim (im A) => - линейн незав в V1. => не все =0: => => но -базис V1 => противоречие.

=> p=q => dimV1 = dim (imA) => dim (im A) +dim (ker A) =n

опр. rang A = dim (im A). рангом оператора наз-ся число, равное размерности образа этого оператора.

следствие. Чтобы имел A^(-1) необход и дост, чтобы rang A = dim V = n

док-во: по теор1 dim (imA) + dim (ker A) = n. dim (im A)=n, rang A=n => dim (ker A) =0 => dim (ker A) = 0 => ker – θ => А взаимооднозначно V =>

теор2. Пусть (подпространства), где dimV =n. dim V1+dimV2=dimV => V1 = im A, V2 = ker A

Док-во: пусть dim V1 = p; dim V2 = q. - базис V такой,чтобы в V1

A: Ae1=g1, Ae2=g2, , => => => V1= im A = { ; Ax=y}

A- линейн, тк А(х+у) = Ах +Ау

Теорема о ранге оператора.

теор. Пусть 1) rang AB ≤ rang A 2) rang AB ≤ rang B

Док-во: 1) imAB ≤im A. По определению {(АВ)(х) =A(BX): im AB = { (AB)(x)=y} =

A(Bx) = Az, где у явл-ся образом А: у ≤ im A (y=Az, ) => 1) dim (im AB) ≤ dim (im A) => rang AB ≤ rang A,.ч.т.д. 2) ker B ≤ ker AB (т.к.: пусть => Bx = 0=> A(Bx) = 0 => ) => dim ker B ≤ dim ker (AB) => dim V – dim (kerAB) ≥ dimV – dim (ker AB) => dim (im AB) ≤ dim (im B) => rang AB ≤ rang B

теор2. Пусть , dim V = n => rang (AB) ≥ rang A + rang B - n

следствие. пусть rangA = n => rang (AB) = rang (BA)=rang B

Док-во: rang (AB) ≤ rang B, rang AB ≥ rang B (по теор2). Если в теор2 rang A =n=> rang AB = rang B, ч.т.д.

rang BA ≤ rang B (теор1); rang BA ≥ rang B => rang BA = rang B

если rang A = dim (im A), dim (ker A) = 0 => AB =BA