Приведение квадратич формы к канонич виду методом ортогон

виду 1) метолом Лагранжа 2) методом ортогонал преобразований

Решение: 1) дополним до полного квадрата ;

Применим к W(x1,x3), соберем все члены в группу:

т.о. получим ; ;

; <x2,x3>=-1+1+1=0 => x2┴x1; <x3,x1>=0; HO <x2,x3>=0,25 => x2 HE ┴ x1

собств вектора ;х=Ру: ; ; ; ;

Док-во: а11*(х^2)+а12*х*у+а22*(у^2)

A = (a11 a12 = (а11 а12

a21 a22) а12 а22)

привести к канонич виду методом ортогон преобразований.

(х = Р * (х’ Р – ортогон матр= (Р11 Р12

у) y’) (1) Р21 Р22)

λ1*((x’)^2)+ λ2*((y’)^2); λ – собств значение матр А.

столбцами Р явл-ся соответст собств векторы А.

Р – ортогон матрица => (система): (P11)^2 + (P21)^2 = 1; (P12)^2 + (P22)^2 = 1; P11*P12 + P21*P22=0

P11=cos φ; P21= sin φ; P12 = cos ψ; P21 = sinψ

cos φ * cos ψ + sin φ * sinψ =0

cos (φ – ψ)=0 => (φ – ψ)=± (π/4) + πk; φ= ψ – (π/2); cos ψ= cos (φ + (π/2)) = sin φ

P = (cos φ sin φ

sin φ cos φ) -> преобразование поворота на φ

в ОХУ: ĩ, ĵ (базисн векторы) переходит в прямоуг систему ОХ’У c ĩ’, ĵ’ (базисн векторы), причем (ĩ’, ĵ’) = (ĩ, ĵ)Р

i = cos φ * ĩ’ + sin φ * ĵ’

j = - sin φ * ĩ’ + cos φ * ĵ’

через (1) выразим 2*b1*x + 2*b1*y через координаты x’, y’ => λ1 * ((x’)^2) + λ2 * ((y’)^2) + 2*b1*(x’) + 2*b1* (y’) + c =0; выделим полный квадрат относительно x’ и y’: λ1* (x’ + ĩ1)^2 + λ2 * (y’ + ĩ2) + c =0

λ1*(x’’)^2 + λ2* (y’’)^2 + c =0

пр. 11*x^2 – 20*x*y – 4*y^2 20*x – 8*y +1=0 привести к канон виду с помощью

преобразований. Закон инерции квадрат формы.

матрица квадратичн формы.

пр. A(x,x)=

; ; x=Py

если матрица Р невырожденная, то если det P =0 (вырожденное линейное преобразование), х=РУ – ортогон преобразование, если Р – ортогон матрица, т.е.элементы строк(столбцов) попарно ортогональны

теор. ортогон преобразование х=РУ, приводящее ее к канонич виду,т.е. квадр форме , (i= 1…n – собств знач матрицы А, а столбцы Р – ортогональные нормированные собств векторы м-цы А)

Пр. привести к канонич)

2)

; rang=2 если λ=-2: ; ;

нормизуем х1: собств вектор

если λ=4: пусть х2=1, x3=0 =>x1=0,5: пусть х2=0, х3=0 =>х1= 0,5

 

 

Закон инерции квадратичн формы: независимо от способа приведения квадр формы к канонич виду, число е положительно и число ее положительных, а также отриц-х коэффициентов постоянны.

(без док-ва)

Приведение к канонич виду уравнения кривой 2 порядка. Приведение к канонич виду уравнений поверхности 2 порядка.

опр. Уравнение кривой 2-го порядка в прямоугольной системе координат ОХУ имеет след вид: а11*(х^2)+а12*х*у+а22*(у^2)+2*b1*x+2*b2y+c=0; , и с – коэф-ты квадратичной формы.

т-ма. С помощью поворота и параллельного переноса осей координат можно придти к такой системе координат, в которой уравнение кривой имеет канонический вид, т.е. ∑(i от 1 до n)= λ

повороту ОХУ и параллельного переноса.

1 шаг: 11*x^2 – 20*x*y – 4*y^2;

A= (11 -10 (11-λ -10

-10 -4) x=Py; P -? -10 4- λ) = 0 => λ1=-9; λ2=16

det [(A- λ*I)x]=0 |20x -10|

|-10 -5x| =0

P= | -2 |

|2 -11 | λ1=-9

(20 -10

-10 5) => (система) 20x -10y=0; -10x+5y=0 => y=2x; x=1, y=2; z(x,y) => |z|=

вектор (1/ ; 2/ ). При λ=16 находим 2 столбец

(-5 -10 (х

-10 -10) * у) = (система) -5x-10y=0; -10x-10y=0 => x=-2y=> y=1; x=-2

вектор (-2/ ; 1/ )

Р = (1/ 2/ det P = 1; cos φ=-1/ ;

2/ 1/ ) sin φ= 2/ ; φ=arcos 1/

(x| |x’| |1/ -2/ | |x’| |1/ x’ -2/ y’|

 

|y) = P* |y’| = |2/ 1/ | * |y’| = |2/ x’ 1/ y’|

(система) x= 11/ x’ – 2/ y’; y=2/ x’ + 1/ y’

λ1 ((x’)^2) + ((y’)^2) = -9 (x’)^2 + 16*(y’)^2

-9 (x’)^2 + 16*(y’)^2 – 36/ x’ + 32/ y’ +1=0

-9 (x’+ 2/ )^2 + 16(y’ +1/ )^2 +5 = 0

-9 (x’)^2 – 36/ x’ = -9((x’)^2 + 4/ x’) = -9 (x’ +2/ )^2 + 9(2/ )^2

║перенос; x’+ 2/ = x’’ -9(x’’) + 16 (y’’)^2-=-5

y’ + 1/ = y’’ (x’’)^2/ (5/6) – (y’’)/ (5/6) =1 (гипербола начинается в ( /3;0))

Уравнение поверхности 2-го порядка: а11*(x^2)+ a22*(y^2)+a33*(z^2)+2*a12*x*y+ 2*a23*y*z+ 2*b1*x + 2*b2*y + 2*b1*z + c=0

|x| |x’|

|y| = P* |y’| λ1- собств значение А

|z’|

A(x,y,z)= λ1*(x’)^2 + λ2 (y’)^2 + λ3* (z’)^2

A= |a11 a12 a13|

|a21 a22 a23|

|a31 a31 a33| симметр матрица. С помощью паралл переноса,

 

 

замены x,y,z на x’, y’, z’ => λ1*(x’’)^2 + λ2*(y’’)^2 + λ3* (z’’)^2=c