Интерполяционный полином Ньютона для неравно отстоящих значений аргумента

 

Пусть f(x) ¾ некоторая функция, а x₀,x₁,…x_n ¾ узлы интерполяции, а x ¾ произвольная, но фиксированная точка значения аргумента. Тогда имеем:

 

 

=

 

Откуда:

 

 

Аналогично:

 

 

Откуда

 

 

продолжая этот процесс далее, получим:

 

 

 

 

Эта форма записи носит название интерполяционной многочлена Ньютона для неравных промежутков или

 

¾полином n-степени, ¾остаточный член.

 

Можно показать, что полином Ньютона и полином Лагранжа совпадают N_n(x)= L_n(x), т.е. равный их остаточный член.

Или

Полином Ньютона удобнее полинома Лагранжа тем, что при добавлении новых узлов интерполяции все проведенные вычисления в полиноме Ньютона сохраняются, а в полиноме Лагранжа нет.

Конечные разности.

В случаях когда узлы интерполяции берутся равноотстоящими

x_k=x₀+k*h k=0,1,2…n

n- шаг интерполирования, то часто вводят следующие обозначения

– конечные разности

 

0нисходящие

восходящие - конечная разность 2 ^го порядка

центральные

- конечная разность 3 ^го порядка

 

Связь конечных разностей и разделенных разностей.

Для равностоящих значений аргумента x_k=x₀+k*h имеем:

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Интерполяционный полином Ньютона для равноотстоящих значений аргумента.

Если в общей формуле полинома Ньютона

N_n(x)= f (x₀)+ f (x₀ x₁)(x-x₀)- (x-x₀)(x-x₁)f (x₀x₁x_n)+

…+….+(x-x₀)… (x-x_n-1)f (x₀x_1…x_n)+(x-x₀)…(x-

x_n)f (x₀x_1…x_n) (1)

В качестве узлов интерполирования можно взять x_k=x₀+k*h и положить

x=x₀+t*h k=0,1,2…n, то тогда

x- x_k=(x₀+th)- (x₀+kh)= (t-k)h и

и мы получим полином Ньютона для интерполирования вперед.

Эта формула применяется при вычислении в начале таблицы разности.

Если в уравнении (1) в качестве узлов взять x_k=x₀+k*h и ввести замену

x=x₀+t*h, то получим

x-x_k=(x₀+th)-(x₀-kh)=(t+k)h

то получим полином для интерполирования назад.

 

Эта формула применяется для интерполирования в конце таблицы.

 

 

Лекция 6

 

Классификация уравнений. Этапы численного решения.

Любое уравнение может быть записано в следующем общем виде

f(x)=0.

Если f(x) – алгебраическая функция (например, f(x)=x⁴+2x-1, f(x)= ), то уравнение называют алгебраическим. Всякое алгебраическое уравнение может быть преобразовано к виду

a₀ xⁿ + a₁ x^n-1 +…+ a_n-1x + a_n=0. (*)

Если f(x) не является алгебраической (содержит степенную, логарифмическую, функцию sin, cos и т.д.), то уравнение называют трансцендентным (например, f(x)=2^x + lnx - 6).

Решить уравнение – это значит найти такие значения x, (которые называют корнями уравнения), при которых заданные уравнения обращается в тождество.

При численном приближённом решением уравнения выделяю 2 этапа:

1. отделение корней – отыскание достаточно малых интервалов, в каждом из которых один и только один корень уравнения;

2. вычисление каждого корня с заданной точностью внутри выделенного интервала.

Отделение корней.

Пусть [a, b] – интервал изменения х, в котором отыскиваются вещественные корни уравнения f(x)=0, где f(x) – непрерывная функция вещественного переменного. Разбив [a, b ] на n отрезков длинной , наличие простого корня в интервале [x_k-1, x_k], k=1, 2, …, n, легко установить по знаку произведения концевых значений функции f:

Алгоритм определения корней можно показать следующей блок схемой (см. лист 9). Алгоритм предусматривает ввод (блок 1) исходных данных (a, b – начало и конец исследуемого интервала, n – число одинаковых отрезков разбития [a, b] на подынтервалы) и определение величины (блок 2). Далее для каждого интервала длиной вычисляется (блок 3) и y=f(x_k) (блок 7), а затем, в результате исследования знака произведения (блок 8), решается вопрос о существовании на простого корня. При предусматривается выдача значений границ (блок 9) и выявление начала следующего интервала (блок 10).

 

Если отказаться от блока 10, то при случайном совпадении корня с точкой x_k деление отрезка произойдёт выдача на печать значений двух интервалов и , хотя нам достаточно одного.

При определении корней алгебраического уравнения (*) можно воспользоваться следующими закономерностями:

а) алгебраические уравнения п – го порядка имеет п корней, среди которых могут быть вещественные и комплексные;

b) число положительных вещественных корней равно числу (или меньше на чётное число) перемен законов в последовательности коэффициентов a₀, a₁ , a₂, …, a_n, причём равные нулю коэффициенты не учитываются (теорема Декарта).

 

 

После отделения корней можно приступать к нахождению корня с заданной точностью на каждом выделенном интервале.