Оценка погрешности интерполяционной формулы Лагранжа

 

R(x) = f(x)-Ln(x)

Будем считать, что f(x_i) – вычислены точно. Тогда . Если f(x) полином степени меньше или равной n, то при любых x . Пусть f(x) (n+1) раз дифференцируемая на отрезке [a,b] функция.

Рассмотрим вспомогательную функцию . Очевидно, что i = 0,1,2,…,n в (n+1) точках. Подберём k таким образом, чтобы в точке в которой мы хотим оценить полином , т.е. и тогда (1). При данном выборе k функция g(z) обращается на [a,b] в нуль в (n+2) точках . По теореме Роля производная g’(z) обращается в нуль на [a,b] в (n+1) точке и т.д. Производная (n+1) порядка от g(z) обращается в нуль по крайней мере 1 точке [a,b]. Обозначим через эту точку, тогда

(2)

или

и тогда

(3)

где , тогда

(4)

Последняя формула позволяет заранее оценить отклонения функции Ln(x) и выбрать нужное количество узлов n.

 

Исследование остаточного члена при равноотстоящих узлах.

 

При интерполировании функций желательно, чтобы модуль Rn(x) принимал наименьшее значение. Поэтому нужно исследовать следующие вопросы.

1) При заданных узлах интерполяции, изучить для каких участков [a,b] остаточный член Rn(x) будет принимать max и min значения.

Поведение первого сомножителя в остаточном члене в зависимости от изменения x нам не известно. Тогда для решения задачи мы можем лишь следить за поведением функции при заданных узлах . Полином обращается в нуль в точках и меняет знак при переходе через каждый узел. Между узлами имеет место min и max.

Естественно ожидать, что вблизи больших по модулю экстремумов будет большая погрешность Rn(x).

Поведение можно исследовать в случае равноотстоящих узлов , положив и тогда

1)

2)

Т.к. при , то

при , то

Тогда экстремальные значения на отрезке [k,k+1] будут max по абсолютной величине на крайних точках [0,1], [n-1,n] и min в середине, следовательно имеет следующий примерный график

Следовательно, ошибка интерполяции меньше на середине отрезка и больше к концам отрезка. Вне отрезка [a,b] будет возрастать.

 

Лекция 3

Методы приближенного интегрирования.

Формулы Ньютона –Котеса.

Один из методов приближенного интегрирования f(x)d(x) заключается в замене функции f(x) на какой- либо интерполяционный полином. Например

В этом случае, если взять узлы интерполяции равноотстоящими, то

x_k=x₀+k*h k=0,1,2…n

x=x₀+t*h dx=hdt

x-x₀=(x₀+th)-(x₀+0h)=th

x-x₁=(x₀+th)-(x₀+1h)=(t-1)h

_ _ _ _ _ _ a=x₀=x₀+th t=0

x-x_n=(x₀+th)-(x₀+nh)=(t-n)h

 

x_k-x₀=(x₀+kh)-(x₀+0h)=kh

_ _ _ _ _ b=x_n=x₀+nh=x₀+nh t=n

x_k-x_k-1=(x₀+kh)-(x₀+(k-1)h)=1h

x_k-x_k+1=(x₀+kh)-(x₀+(k+1)h)=-1h

_ _ _ _ _ _

x_k-x_n=(x₀+kh)-(x₀+nh)=-(n-k)h

 

dt* f(x_k)= A_n^(k)f(x_k)h

… dx= (b-a)ⁿ

[a, b]

Частные случаи.

n=1 L₁(x)=ax+ b

 

A₁⁽⁰⁾=- dt=

A₁⁽¹⁾= dt=

f(x)dx=h()=

f(x)dx= = h[ ]

n=2 L₂(x)=a² x+ b+c

A₂⁽⁰⁾=- dt=

A₂⁽¹⁾= dt=

A₂⁽²⁾= dt=

 

f(x)dx=h()=

f(x)dx= = = [ ]

 

Лекция 4

 

Численное дифференцирование.

Напомним, что производной функции y=f(x) называется предел отношения приращения функции ∆y к приращению аргумента Δx при стремление Δx к нулю

y`= f `(x)= ∆y= f(x +Δx)- f(x) (1)

В численных расчетах на ЭВМ, когда функция задана таблицей значений, значение шага Δx полагают равному конечному числу и для вычисления значений производных получают приближенное равенство

y`≈ (2)

Это соотношение называется аппроксимацией производных с помощью отношения конечных разностей (т.к. ∆y и Δx конечные в отличие от значений в формуле (1)).

Рассмотрим аппроксимацию производной для функции y=f(x), заданной в табличной форме x_i= x_0, x_1… x_n y_i= y_0, y_1… y_n

Пусть шаг разности между соседними значениями аргумента постоянен и равен h. Запишем выражение в точке x=x₁

∆x=h

(3)

 

~0(h)

~0(h)

~0(h²)

~0(h²)

Можно найти производные с помощью формул Тейлора

f(x +Δx)= f(x)+

(1) y(x_i-1 )=y(x_i –h) = y(x)- hf `(x_i)+0(h²)

y_i-1= y_i- hf `(x_i)+0(h²)

y`(x<sub>i</sub>)=f `(x_i)= ~0(h)

(2) y(x_i+1 )=y(x_i +h) = y(x)+ hf `(x_i)+0(h²)

y_i+1=y_i+ hf `(x_i)+

y`(x<sub>i</sub>)=f `(x_i)= ~0(h)

(1) y(x_i-1 )=y_i –h y_i `+ + 0(h³)

(2) y(x_i+1 )=y_i +h y_i `+ + 0(h³)

(1)+ (2)

y_i-1+ y_i+1=2 +

= ~0(h²)

(2)- (1)

y_i+1 -y_i-1 =2hy_i `

y_i `= ~0(h²)

Можно использовать полиномы Лагранжа и Ньютона.

Метод неопределенных коэффициентов.

a=-b=-

=

И так далее.

 

Лекция 5

 

 

Разделённые разности

 

Пусть функция f(x) вычислена в точках i=0,1,2,…,n, . Тогда выражение

называется разделённой разностью 1-го порядка.

Разность вида: называется разделённой разностью 2-го порядка

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Разность вида: -называется разделённой разностью к-го порядка. Вычисляются разделённые разности согласно Таблицы №1.

 

 

Таблица №1

 

1) Разделённые разности симметричны относительно своих аргументов

т. е. узлы можно менять любым образом.

2) Разделённые разности порядка k от являются однородным многочленом относительно своих аргументов степени n-k, при n=k она равна 1, а при k>n она равна 0.

 

1

0

1 0

0

1

 

 

3) Линейность разделённой разности относительно функции, к которой применяется разделённая разность.