Методом Зейделя решить систему



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Методом Зейделя решить систему



7,6x1+0,5x2+2,4x3=1,9

2,2x1+9,1x2+4,4x3=9,7 Ax=U

-1,3x1+0,2x2+5,8x3=1,4

Решение приведем систему к виду, допускающему применение итерационных методов x =Bx+V

 

 

1) За нулевые приближение возьмем

2) Строим процесс по методу Зейделя.

-1-ая приближенность

Второе приближение

Решение приводим в таблице

N итерации X1 X2 X3
0,19 0,97 -0,14
0,2207 1,0703 -0,1915
0,2354 1,0988 -0,2118
0,2424 1,1088 -0,2196
0,2454 1,1124 -0,2225
0,2467 1,1138 -0,2237
0,2472 1,1143 -0,2241
0,2474 1,1145 -0,2243
0,2475 1,1145 -0,2243

 

Посторенние итерации заканчивается, когда с заданной точностью получаем значения в двух итерациях в конкретном примере.

x1≈0,247 x2≈1,114 x3≈-0,224

Проверим, сходиться ли метод Зейделя для данного примера

Сходится, т.к. =0,75<1

Обусловленность систем линейных уравнений число обусловленности.

Задача над плохо обусловленной, если вычисляемые величины X очень чувствительны к небольшим изменениям исходных данных. Рассмотрим причины, определяющие решения X систем Ax=U (1)

Изменим правую часть U на U+δU, это приведет к изменениям решения x на x+δx и при постоянной матрице A, имеем:

A(x+ δx) = U+δU (2)

Из (1) (3)

Из (2) имеем Aδx=δUàδx=A-1δU=> (4)

Перемножим (3) и (4) получим

(5)

Число k(A)= называют числом обусловленности. Если число k(A) велико, то для большинства правых частей решение ненадежно. Это же число может быть использовано и для других задач. Пусть, например, δх – погрешность вызвана погрешностью δА элементов матрицы А, а правые части заданны точно, тогда имеем

(A+ δA)( x+ δx)=U

Из (1) имеем x=A-1U (6)

x+ δx= (A+ δA) -1U (6a)

A-1U+ δx= (A+ δA) -1U=> δx= [(A+ δA) -1- A-1]U=> (7)

(A+ δA) -1- A-1=[I- A-1 (A+ δA) ] (A+ δA) -1=-A-1δA(A+δA)-1

Подставляя в (7) получим

δx=-A-1δA(A+ δA) -1U

δx=-A-1δA( x+ δx)

(8)

Число обусловленности обладает рядом свойств

1) k(CA)=

2) k(A)=k(A-1)

3) k(A)= k(A)≥1

4) Если m-min значение матрицы; M-max значение матрицы, то

и

Отсюда следует наличие малого собственного значения матрицы А обязательно означает её плохую обусловленность. Однако матрица А может быть плохо обусловленной, когда у неё нет малого собственного значения. Например, наименьшее собственное значение матрицы 100го порядка

Равен m=0,501. Если же рассмотреть систему Ax=U c , где , то имеем

То получим

Первая компонента решения Ax=U система больше, чем 1022, т.е.

Отсюда

В свою очередь для любой матрицы

и следовательно

Матрица плохо обусловлена

Пример

Рассмотрим систему

Точное решение x=1 и y=1

В рассматриваемом примере матрица системы AX=U симметрична и имеет собственное значение

m=0,00005

M=1,98005

Здесь

Система плохо обусловлена, а значит следует ожидать, что малые значения (сдвиг) правых частей приведут к большому изменению решения

, т.е. рассмотрим систему

x+0, 99y=1, 989903

0, 99x + 0,98y=1,970106

То получим решение x=3,000 y=-1,0203, т.е.

Здесь

Значит небольшое изменение δU влечет за собой изменение относительной погрешности вычислительных величин на 200%. Задача плохо обусловлена.

Лекция 14

 

Численные методы решения задачи Коши для ОДУ.

Пусть имеем уравнение n-го порядка

Y(n)=f(x,y,y`…y(n-1)) (1)

Y(xk)=y0(k) k=0,1,2…n-1

Эта задача сводится следующей системе дифференцированных уравнений первого порядка

Тогда

Тогда уравнение (1) запишется

(2)

Пример

Тогда

(2)

Запишется в виде (2)

Метод последовательного дифференцирования.

Пусть есть (1)

Решение можно записать в виде ряда Тейлора

Здесь Y(k)(x0) заданы начальными условиями.

Пример

 

Метод Эйлера

(1)

Этот метод получается, если в формуле Тейлора удержать только 2 числа первых.

По этому методу интегральная кривая заменяется на касательную к интегральной кривой. Этим методом находится решение на отрезке [x0,x0+h] затем счет повторяется.

Найденные точки ломаной M0M1…MN позволяет построить ломаную, называемой ломаной Эйлера. Точность метода 0(h), остаточный член 0(h2). Чем меньше возьмем h, тем точнее будет результат.

 

Лекция 15

Метод Рунге - Кутта

Один из наиболее употребительных методов с повышенной точностью является методов Рунге – Кутта. Мы будем рассматривать этот метод для уравнения 1-го порядка.

(1)

Если правая часть уравнения непрерывна в окружности точки (х0у0) то решение задачи Коши может быть представлено в виде ряда Тейлора.

(2)

Будем искать решение

(3)

ξ00 η00

ξi=x0 +aih ηi=y0+

и будем рассматривать функцию

φr(h)=

Причем Pri, ai и βij- некоторые const подлежащие определению и определяются так, чтобы

φr(e)(0)=0 e=0,1,2…s φr(s+1)(0)≠0

до величины возможно более высокого порядка S. Тем самым будет охвачена часть формулы Тейлора с соответствующей точностью.

 

r=1

 

Таким образом, это совпадает с формулой Эйлера. Точность 0(h’), а отличается 0

r=2

 

 

 

Система имеет 4 неизвестных и 3 уравнения, т.е. имеет бесчисленное множество решений

Если положить то

и тогда какие решения или до

 


Лекция 16

 

Эмпирические формулы

Пусть изучая неизвестную функциональную зависимость между и мы в результате серии экспериментов получим таблицу значений

 

 

Задача состоит в том, чтобы найти приближённую зависимость y=f(x) (1)

Значение которой при (i=0,1,2…n) мало отличается от остальных данных. Приближённая функциональная зависимость (1), полученная на основании экспериментальных данных, называется эмпирической функцией.

Будем считать что тип эмпирической формулы выбран и её можно привести в виде: (2) где -неизвестная функция -неизвестные параметры. Задача состоит в том, чтобы определить далее значения этих параметров, при которых эмпирическая формула даёт хорошее приближение данной функцией, значения которой в точки равны (i=0,1,2…n). Разность между этими значениями обозначим через

i=0,1,2…n (3)

 

Задачи нахождения наилучших значений параметров сводится к некоторой минимизацией отклонений существует несколько способов решений этой задачи.

 

 

Метод наименьших квадратов

Запишем сумму квадратов отклонений (3) для всех точек :

(4)

 

Параметры эмпирической формулы (2) будем находить из условий min функции .В этом состоит метод наименьших квадратов.

 

Поскольку здесь параметры выступают в роли независимых функций S, то её min найдём приравнивая к нулю частные производные по этим переменным:

(5)

Полученные соотношения – системы управления для определения

Рассмотрим применение метода наименьших квадратов для частного случая, широко используемых на примере. В качестве эмпирической формулы рассмотрим многочлен

(6)

 

Формула (4) для определения суммы квадратов отклонений S примет вид

(7)

Для составления системы уравнений (5) найдем частные производные функции S=S( )

или

 

Решая последнюю систему относительно и получим многочлен (6)

Систему (9) можно записать в более компактном виде

 

где (m)


Лекция 17

Пример: метод наименьших квадратов для вывода эмпирической формулы, заданной в табличном виде:

 

Задана эмпирическая зависимость в табличной форме.

x 0,75 1,50 2,25 3,00 3,75
y 2,50 1,20 1,12 2,25 4,28

Найти зависимость y=f(x)

Решение

Если изобразить табличные значения на графике (1) то легко убедиться, что в качестве эмпирической формулы для аппроксимации функции y=f(x) можно принять параболу, т.е.

квадратный трёхчлен

 

 

 

В данном случае m=2 n=4 и система (10) пример вид

Коэффициенты этой системы могут быть вычислены по формулам (11) i=0,1,2,3,4

 

 

Система уравнений (12) запишем в виде

 

Отсюда находим параметры таким образом (13)

Оценим относительные погрешности полученной аппроксимации в заданных точках, т.е. найдем значение результаты вычисления представим в виде таблицы

0,75 1,50 2,25 3,00 3,75 2,66 1,12 0,92 2,06 4,54 2,50 1,20 1,12 2,25 4,28 0,16 -0,08 -0,20 -0,19 0,26 0,064 -0,067 -0,179 -0,084 0,061

 

Пример Пусть на основании эксперимента получим значения функции y=f(x), которые записаны в таблицу

x 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
y 0,31 0,82 1,29 1,85 2,51 3,02

С помощью метода наименьших квадратов функцию y=f(x) аппроксимировать линейной функцией

 

Решение Составим систему для определения и

 

Предварительное вычисления

и следовательно

 

Искомый многочлен y=1,09x-0,28

 

Лекция 18

 



Последнее изменение этой страницы: 2016-04-19; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.235.179.111 (0.01 с.)