Методом Зейделя решить систему

7,6x₁+0,5x₂+2,4x₃=1,9

2,2x₁+9,1x₂+4,4x₃=9,7 Ax=U

-1,3x₁+0,2x₂+5,8x₃=1,4

Решение приведем систему к виду, допускающему применение итерационных методов x =Bx+V

 

 

1) За нулевые приближение возьмем

2) Строим процесс по методу Зейделя.

-1-ая приближенность

Второе приближение

Решение приводим в таблице

N итерации	X1	X2	X3
	0,19	0,97	-0,14
	0,2207	1,0703	-0,1915
	0,2354	1,0988	-0,2118
	0,2424	1,1088	-0,2196
	0,2454	1,1124	-0,2225
	0,2467	1,1138	-0,2237
	0,2472	1,1143	-0,2241
	0,2474	1,1145	-0,2243
	0,2475	1,1145	-0,2243

 

Посторенние итерации заканчивается, когда с заданной точностью получаем значения в двух итерациях в конкретном примере.

x₁≈0,247 x₂≈1,114 x₃≈-0,224

Проверим, сходиться ли метод Зейделя для данного примера

Сходится, т.к. =0,75<1

Обусловленность систем линейных уравнений число обусловленности.

Задача над плохо обусловленной, если вычисляемые величины X очень чувствительны к небольшим изменениям исходных данных. Рассмотрим причины, определяющие решения X систем Ax=U (1)

Изменим правую часть U на U+δU, это приведет к изменениям решения x на x+δx и при постоянной матрице A, имеем:

A(x+ δx) = U+δU (2)

Из (1) (3)

Из (2) имеем Aδx=δUàδx=A^-1δU=> (4)

Перемножим (3) и (4) получим

(5)

Число k(A)= называют числом обусловленности. Если число k(A) велико, то для большинства правых частей решение ненадежно. Это же число может быть использовано и для других задач. Пусть, например, δх – погрешность вызвана погрешностью δА элементов матрицы А, а правые части заданны точно, тогда имеем

(A+ δA)(x+ δx)=U

Из (1) имеем x=A^-1U (6)

x+ δx= (A+ δA) ^-1U (6a)

A^-1U+ δx= (A+ δA) ^-1U=> δx= [(A+ δA) ^-1- A^-1]U=> (7)

(A+ δA) ^-1- A^-1=[I- A^-1 (A+ δA) ] (A+ δA) ^-1=-A^-1δA(A+δA)^-1

Подставляя в (7) получим

δx=-A^-1δA(A+ δA) ^-1U

δx=-A^-1δA(x+ δx)

(8)

Число обусловленности обладает рядом свойств

1) k(CA)=

2) k(A)=k(A^-1)

3) k(A)= k(A)≥1

4) Если m-min значение матрицы; M-max значение матрицы, то

и

Отсюда следует наличие малого собственного значения матрицы А обязательно означает её плохую обусловленность. Однако матрица А может быть плохо обусловленной, когда у неё нет малого собственного значения. Например, наименьшее собственное значение матрицы 100 ^го порядка

Равен m=0,501. Если же рассмотреть систему Ax=U c , где , то имеем

То получим

Первая компонента решения Ax=U система больше, чем 10²², т.е.

Отсюда

В свою очередь для любой матрицы

и следовательно

Матрица плохо обусловлена

Пример

Рассмотрим систему

Точное решение x=1 и y=1

В рассматриваемом примере матрица системы AX=U симметрична и имеет собственное значение

m=0,00005

M=1,98005

Здесь

Система плохо обусловлена, а значит следует ожидать, что малые значения (сдвиг) правых частей приведут к большому изменению решения

, т.е. рассмотрим систему

x+0, 99y=1, 989903

0, 99x + 0,98y=1,970106

То получим решение x=3,000 y=-1,0203, т.е.

Здесь

Значит небольшое изменение δU влечет за собой изменение относительной погрешности вычислительных величин на 200%. Задача плохо обусловлена.

Лекция 14

 

Численные методы решения задачи Коши для ОДУ.

Пусть имеем уравнение n-го порядка

Y⁽ⁿ⁾=f(x,y,y`…y^(n-1)) (1)

Y(x_k)=y₀^(k) k=0,1,2…n-1

Эта задача сводится следующей системе дифференцированных уравнений первого порядка

Тогда

Тогда уравнение (1) запишется

(2)

Пример

Тогда

(2)

Запишется в виде (2)

Метод последовательного дифференцирования.

Пусть есть (1)

Решение можно записать в виде ряда Тейлора

Здесь Y^(k)(x₀) заданы начальными условиями.

Пример

 

Метод Эйлера

(1)

Этот метод получается, если в формуле Тейлора удержать только 2 числа первых.

По этому методу интегральная кривая заменяется на касательную к интегральной кривой. Этим методом находится решение на отрезке [x₀,x₀+h] затем счет повторяется.

Найденные точки ломаной M₀M₁…M_N позволяет построить ломаную, называемой ломаной Эйлера. Точность метода 0(h), остаточный член 0(h²). Чем меньше возьмем h, тем точнее будет результат.

 

Лекция 15

Метод Рунге - Кутта

Один из наиболее употребительных методов с повышенной точностью является методов Рунге – Кутта. Мы будем рассматривать этот метод для уравнения 1-го порядка.

(1)

Если правая часть уравнения непрерывна в окружности точки (х₀у₀) то решение задачи Коши может быть представлено в виде ряда Тейлора.

(2)

Будем искать решение

(3)

ξ₀=х₀ η₀=у₀

ξ_i=x₀ +a_ih η_i=y₀+

и будем рассматривать функцию

φ_r(h)=

Причем P_ri, a_i и β_ij- некоторые const подлежащие определению и определяются так, чтобы

φ_r^(e)(0)=0 e=0,1,2…s φ_r^(s+1)(0)≠0

до величины возможно более высокого порядка S. Тем самым будет охвачена часть формулы Тейлора с соответствующей точностью.

 

r=1

 

Таким образом, это совпадает с формулой Эйлера. Точность 0(h’), а отличается 0

r=2

 

 

 

Система имеет 4 неизвестных и 3 уравнения, т.е. имеет бесчисленное множество решений

Если положить то

и тогда какие решения или до

 

Лекция 16

 

Эмпирические формулы

Пусть изучая неизвестную функциональную зависимость между и мы в результате серии экспериментов получим таблицу значений

		…
		…

 

 

Задача состоит в том, чтобы найти приближённую зависимость y=f(x) (1)

Значение которой при (i=0,1,2…n) мало отличается от остальных данных. Приближённая функциональная зависимость (1), полученная на основании экспериментальных данных, называется эмпирической функцией.

Будем считать что тип эмпирической формулы выбран и её можно привести в виде: (2) где -неизвестная функция -неизвестные параметры. Задача состоит в том, чтобы определить далее значения этих параметров, при которых эмпирическая формула даёт хорошее приближение данной функцией, значения которой в точки равны (i=0,1,2…n). Разность между этими значениями обозначим через

i=0,1,2…n (3)

 

Задачи нахождения наилучших значений параметров сводится к некоторой минимизацией отклонений существует несколько способов решений этой задачи.

 

 

Метод наименьших квадратов

Запишем сумму квадратов отклонений (3) для всех точек :

(4)

 

Параметры эмпирической формулы (2) будем находить из условий min функции .В этом состоит метод наименьших квадратов.

 

Поскольку здесь параметры выступают в роли независимых функций S, то её min найдём приравнивая к нулю частные производные по этим переменным:

(5)

Полученные соотношения – системы управления для определения

Рассмотрим применение метода наименьших квадратов для частного случая, широко используемых на примере. В качестве эмпирической формулы рассмотрим многочлен

(6)

 

Формула (4) для определения суммы квадратов отклонений S примет вид

(7)

Для составления системы уравнений (5) найдем частные производные функции S=S()

или

 

Решая последнюю систему относительно и получим многочлен (6)

Систему (9) можно записать в более компактном виде

 

где (m)

Лекция 17

Пример: метод наименьших квадратов для вывода эмпирической формулы, заданной в табличном виде:

 

Задана эмпирическая зависимость в табличной форме.

x	0,75	1,50	2,25	3,00	3,75
y	2,50	1,20	1,12	2,25	4,28

Найти зависимость y=f(x)

Решение

Если изобразить табличные значения на графике (1) то легко убедиться, что в качестве эмпирической формулы для аппроксимации функции y=f(x) можно принять параболу, т.е.

квадратный трёхчлен

 

 

 

В данном случае m=2 n=4 и система (10) пример вид

Коэффициенты этой системы могут быть вычислены по формулам (11) i=0,1,2,3,4

 

 

Система уравнений (12) запишем в виде

 

Отсюда находим параметры таким образом (13)

Оценим относительные погрешности полученной аппроксимации в заданных точках, т.е. найдем значение результаты вычисления представим в виде таблицы

0,75 1,50 2,25 3,00 3,75	2,66 1,12 0,92 2,06 4,54	2,50 1,20 1,12 2,25 4,28	0,16 -0,08 -0,20 -0,19 0,26	0,064 -0,067 -0,179 -0,084 0,061

 

Пример Пусть на основании эксперимента получим значения функции y=f(x), которые записаны в таблицу

x	0,5	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0
y	0,31	0,82	1,29	1,85	2,51	3,02

С помощью метода наименьших квадратов функцию y=f(x) аппроксимировать линейной функцией

 

Решение Составим систему для определения и

 

Предварительное вычисления

и следовательно

 

Искомый многочлен y=1,09x-0,28

 

Лекция 18