Метод конечных разностей решение краевых задач ОДУ.

Пусть дана краевая задача ОДУ

Требуется решить такое уравнение. Отрезок [a, b] разбивается точками на равные части x_j=x₀+jh. Точки разделяются на внутренние 1 ≤ j ≤ n-1 и граничные j=0 и j=n. Затем производные входящие в уравнение (1) заменяются в точках х_i приближенными конечно-разностными соотношениями.

y`(x_i)= ~0(h) (*)

= ~0(h²)

= ~0(h²)

И подставим равенства (*0 в уравнение (1), получим

(2)

Преобразуем (2) к виду (3), получишь

(3)

 

c₀ y₀- b₀ y₁…………………..=f₀ j=0

(4) ……-a_j y_j-1+c_j y_j-b_j y_j+1….......=f_j 1≤ j≤ n-1

………………...-a_n y_n-1+c_ny_n=f_n j=n

 

Или

=

Полученную систему решаем методом прогонки, которую мы рассматривали в системах линейных уравнений.

 

 

Лекция 10

 

 

Сплайны.

Пусть есть функция f(x) заданная в узлах отрезка [a,b]. Пусть заданны узлы интерполяции x₀x₁…x_n x_i [a,b] в которых заданны значения функции f(x₀) f(x₁)… f(x_n) [x₀x₁], [x₁x₂]… [x_n-1x_n]~∆- разбиения.

Будем приближать функцию f(x) на каждом отрезке ∆~[x_j-1x_j] полиномом

P_j,m(x)=a_0j+a_1jx+…+ a_njx^m

Сплайном назовем S_∆(x) функцию совпадающую на каждом участке [x_j-1x_j] с полиномом P_j,m(x) и такую, что во всех внутренних узлах непрерывную вместе со своими производными до (m-1) порядка включительно во всех точках x_i i=1, n-1.

Кубический сплайн.

Будем считать, что на каждом участке [x_j-1x_j] мы приближаем полином 3=ей степени.

P_j,3(x)=ax³+bx²+cx+d, тогда

(1)

Найдем S_∆(x) для чего проинтегрируем дважды (1), получим

Найдем с₁ и с₂ из условия S_∆(x_j-1)= y _j-1 S_∆(x_j)= y _j

C₁h_j=y_j- M_j => C₁h_j=y_j-y_j-1+

C₁=

C₂=

Поскольку S_∆^`(x_j-0)= S_∆(x_j+0)

Приравнивая получаем

 

(2)

λ_j= μ_i= λ_j+ μ_i=1

μ_iM_j-1+2M_j+ λ_j M_j=d_j j=1,n-1

Полученная система служит для определения M₀ M₁… M_n, подставляя в формулы (х) и (х^*) получим, что полином удовлетворяет 3-м свойствам

1) S_∆(x_j-0)= S(x_j+0)

2) S<sup>`</sup>(x<sub>j</sub>-0)= S` (x_j+0)

3) S^{``</sup>(x<sub>j</sub>-0)= S<sup>``}(x_j+0)

 

Лекция 11

Абсолютная величина и норма матрицы.

Под нормой матрицы A~(a_ij) понимают действительное число , удовлетворяющее следующим условиям:

1) ( =0 тогда и только тогда, когда A=0)

2) где α- число.

3)

4)

Матрица определяется тремя нормами.

1)

2)

3)

 

Для матрицы

Найти

Решение

1)

2)

3)

Для вектора эти нормы вычисляются по следующим формулам

1) -максимальная из координат вектора взятая по модулю

2) - сумма модулей координат вектора

3) -корень квадратный из суммы квадратов модулей координат вектора

Пример.

Вычислить

Решение

Метод простой итерации.

Пусть задана система линейных уравнений

Ax=b=>Ax-b=0 (1) Ax`-b=ξ- невязка

x- x+ Ax-b=0=>x= (I-A) x+ b=>x=Bx+ b (2)

Пусть матрица B невырожденная, т.е. det B≠0/

Выбрав произвольно x₀ вычисляем последовательно x_k

x_k= Bx_k-1+b (3)

Пусть x^*- точное решение уравнения (1) и (2), тогда

 

(x_k-x^*) =B (x_k-1-x^*) (4)

(x_k-x^*) =B (x_k-1-x^*) = B B (x_k-2-x^*) = B^k (x₀-x^*) (4a)

Пронормируем последнее выражение (4а) получим:

(5)

Из полученного неравенства следует, что при произвольном выборе x₀ соотношение (6) при < 1 (7)

Эквивалентно или . Соотношение (6) возможно, если выполнено неравенство (7). < 1

Оценка погрешности метода простой итерации.

х^*= Bx^*+b

x_k= Bx_k-1+b

Рассмотрим выражение

(1) (I-B)(x^*-x_k)=x^*-x_k-Bx^*+ Bx_k= -x_k+b⁺ Bx_k=x_k+1-x_k

(I-B)(x^*-x_k)= x_k+1-x_k

(x^*-x_k)= (I-B)^-1(x_k+1-x_k) (2)

Пронормируем выражение (2) получим

(2а)

Найдем

Рассмотрим для этого тождество

(I-B)(I-B)^-1=I

(I-B) ^-1- B (I-B)^-1=I

(I-B) ^-1=I+ B (I-B)^-1

(3)

 

x_k+1- x_k= B (x_k-x_k-1) = B B (x_k-1-x_k-2) = B^k (x₁-x⁰) (4)

Подставляя (3) и (4) в формулу (2а) имеем

(5)

Эта формула позволяет подсчитать число итераций необходимое для получения приближения с заданной точностью.

 

Лекция 12

Приведение систем к виду, допускающему применение метода простых итераций.

Обычно система линейных уравнений задана в виде

и для приведения её к виду x=Bx+b, допускающего применение метода простых итераций. Подбирают невырожденную матрицу H (det H≠0), так чтобы

Ax=b => HAx= Hb=> x- x+ HAx= Hb=>

X= x- HAx +V=> x= (I-HA)x+ V

Берем B=I-HB

Тогда получаем x= Bx+ V, причем

Матрицу H целесообразно близко к A^-1 так, чтобы HA~I. Так, например, если в матрице A вдоль главной диагонали элементы преобладают над остальными, то берут

 

Если матрица A=A^* самосопряженная и положительно определенная A^*=A и λ у матрицы A положительна, у которой известны её max и min собственные значения.

 

0≤ m≤M, то полная H= tI получим

Т.к. надо найти , то

1) -(1-tm)=-(1-tM)

2) 1-tm=1-tM

3) -(1-tm)=(1-tM)

4) 1-tm=-(1-tM)

(3) и (4) 1-tm=-(1-tM)=>2=t(M+n)=>t=

(1) и (2) 1-tm=1-tM=> t(M-m)=0 t=0 это не берем

Тогда

х^*= Bx^*+b

x^k= Bx^k-1+b

x^*-x^k=B(x^*-x^k-1)=BB(x^*-x^k-2)=…=B^k(x^*-x⁰)

Получим max скорость сходимости

Пример простой итерации решить систему

Пример

Приведем систему к нормальному виду x=Bx+V

x=Bx+ V

 

=

 

Метод простой итерации сходится за

 

Тогда x₁=2,9935 x₂=1,0068 x₃=1,0068

Или x₁≈3 x₂≈1 x₃≈1

Метод Зейделя.

Решение системы Ax=U по методу Зейделя производится по формулам

 

Если при вычислении i-той координаты вектора

учитывается найденные заранее уже координаты …

То вычисления будут проходить по формулам Зейделя.

 

Лекция 13