Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Метод конечных разностей решение краевых задач ОДУ.

Поиск

Пусть дана краевая задача ОДУ

Требуется решить такое уравнение. Отрезок [a, b] разбивается точками на равные части xj=x0+jh. Точки разделяются на внутренние 1 ≤ j ≤ n-1 и граничные j=0 и j=n. Затем производные входящие в уравнение (1) заменяются в точках хi приближенными конечно-разностными соотношениями.

y`(xi)= ~0(h) (*)

= ~0(h2)

= ~0(h2)

И подставим равенства (*0 в уравнение (1), получим

(2)

Преобразуем (2) к виду (3), получишь

(3)

 

c0 y0- b0 y1…………………..=f0 j=0

(4) ……-aj yj-1+cj yj-bj yj+1….......=fj 1≤ j≤ n-1

………………...-an yn-1+cnyn=fn j=n

 

Или

=

Полученную систему решаем методом прогонки, которую мы рассматривали в системах линейных уравнений.

 

 

Лекция 10

 

 

Сплайны.

Пусть есть функция f(x) заданная в узлах отрезка [a,b]. Пусть заданны узлы интерполяции x0x1…xn xi [a,b] в которых заданны значения функции f(x0) f(x1)… f(xn) [x0x1], [x1x2]… [xn-1xn]~∆- разбиения.

Будем приближать функцию f(x) на каждом отрезке ∆~[xj-1xj] полиномом

Pj,m(x)=a0j+a1jx+…+ anjxm

Сплайном назовем S(x) функцию совпадающую на каждом участке [xj-1xj] с полиномом Pj,m(x) и такую, что во всех внутренних узлах непрерывную вместе со своими производными до (m-1) порядка включительно во всех точках xi i=1, n-1.

Кубический сплайн.

Будем считать, что на каждом участке [xj-1xj] мы приближаем полином 3=ей степени.

Pj,3(x)=ax3+bx2+cx+d, тогда

(1)

Найдем S(x) для чего проинтегрируем дважды (1), получим

Найдем с1 и с2 из условия S(xj-1)= y j-1 S(xj)= y j

C1hj=yj- Mj => C1hj=yj-yj-1+

C1=

C2=

Поскольку S`(xj-0)= S(xj+0)

Приравнивая получаем

 

(2)

λj= μi= λj+ μi=1

μiMj-1+2Mj+ λj Mj=dj j=1,n-1

Полученная система служит для определения M0 M1… Mn, подставляя в формулы (х) и (х*) получим, что полином удовлетворяет 3-м свойствам

1) S(xj-0)= S(xj+0)

2) S`(xj-0)= S` (xj+0)

3) S``(xj-0)= S``(xj+0)

 

Лекция 11

Абсолютная величина и норма матрицы.

Под нормой матрицы A~(aij) понимают действительное число , удовлетворяющее следующим условиям:

1) ( =0 тогда и только тогда, когда A=0)

2) где α- число.

3)

4)

Матрица определяется тремя нормами.

1)

2)

3)

 

Для матрицы

Найти

Решение

1)

2)

3)

Для вектора эти нормы вычисляются по следующим формулам

1) -максимальная из координат вектора взятая по модулю

2) - сумма модулей координат вектора

3) -корень квадратный из суммы квадратов модулей координат вектора

Пример.

Вычислить

Решение

Метод простой итерации.

Пусть задана система линейных уравнений

Ax=b=>Ax-b=0 (1) Ax`-b=ξ- невязка

x- x+ Ax-b=0=>x= (I-A) x+ b=>x=Bx+ b (2)

Пусть матрица B невырожденная, т.е. det B≠0/

Выбрав произвольно x0 вычисляем последовательно xk

xk= Bxk-1+b (3)

Пусть x*- точное решение уравнения (1) и (2), тогда

 

(xk-x*) =B (xk-1-x*) (4)

(xk-x*) =B (xk-1-x*) = B B (xk-2-x*) = Bk (x0-x*) (4a)

Пронормируем последнее выражение (4а) получим:

(5)

Из полученного неравенства следует, что при произвольном выборе x0 соотношение (6) при < 1 (7)

Эквивалентно или . Соотношение (6) возможно, если выполнено неравенство (7). < 1

Оценка погрешности метода простой итерации.

х*= Bx*+b

xk= Bxk-1+b

Рассмотрим выражение

(1) (I-B)(x*-xk)=x*-xk-Bx*+ Bxk= -xk+b+ Bxk=xk+1-xk

(I-B)(x*-xk)= xk+1-xk

(x*-xk)= (I-B)-1(xk+1-xk) (2)

Пронормируем выражение (2) получим

(2а)

Найдем

Рассмотрим для этого тождество

(I-B)(I-B)-1=I

(I-B) -1- B (I-B)-1=I

(I-B) -1=I+ B (I-B)-1

(3)

 

xk+1- xk= B (xk-xk-1) = B B (xk-1-xk-2) = Bk (x1-x0) (4)

Подставляя (3) и (4) в формулу (2а) имеем

(5)

Эта формула позволяет подсчитать число итераций необходимое для получения приближения с заданной точностью.

 

Лекция 12

Приведение систем к виду, допускающему применение метода простых итераций.

Обычно система линейных уравнений задана в виде

и для приведения её к виду x=Bx+b, допускающего применение метода простых итераций. Подбирают невырожденную матрицу H (det H≠0), так чтобы

Ax=b => HAx= Hb=> x- x+ HAx= Hb=>

X= x- HAx +V=> x= (I-HA)x+ V

Берем B=I-HB

Тогда получаем x= Bx+ V, причем

Матрицу H целесообразно близко к A-1 так, чтобы HA~I. Так, например, если в матрице A вдоль главной диагонали элементы преобладают над остальными, то берут

 

Если матрица A=A* самосопряженная и положительно определенная A*=A и λ у матрицы A положительна, у которой известны её max и min собственные значения.

 

0≤ m≤M, то полная H= tI получим

Т.к. надо найти , то

1) -(1-tm)=-(1-tM)

2) 1-tm=1-tM

3) -(1-tm)=(1-tM)

4) 1-tm=-(1-tM)

(3) и (4) 1-tm=-(1-tM)=>2=t(M+n)=>t=

(1) и (2) 1-tm=1-tM=> t(M-m)=0 t=0 это не берем

Тогда

х*= Bx*+b

xk= Bxk-1+b

x*-xk=B(x*-xk-1)=BB(x*-xk-2)=…=Bk(x*-x0)

Получим max скорость сходимости

Пример простой итерации решить систему

Пример

Приведем систему к нормальному виду x=Bx+V

x=Bx+ V

 

 
 


=

 

Метод простой итерации сходится за

 

Тогда x1=2,9935 x2=1,0068 x3=1,0068

Или x1≈3 x2≈1 x3≈1

Метод Зейделя.

Решение системы Ax=U по методу Зейделя производится по формулам

 

Если при вычислении i-той координаты вектора

учитывается найденные заранее уже координаты

То вычисления будут проходить по формулам Зейделя.

 

Лекция 13



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2016-04-19; просмотров: 502; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.97.14.90 (0.009 с.)