Задачи на собственные значения

Основные понятия

Большое число научно-технических задач, а также некоторые исследования в области вычислительной математики требует нахождения собственных значений и собственных векторов матриц.

Введем некоторые определения для изложения материала данного параграфа.

Рассмотрим квадратную матрицу n-го порядка.

 

 

Рассмотрим систему Ax=hx (1)

Когда система (1) имеет не нулевое решение (1)

тогда (2)

или

=0 (2)

 

Выражение (2) называется характеристическим или весовым полиномом относительно h

Корни этого многочлена являются собственными значениями матрицы А.

Они характеризуются тем свойством, что дают нетривиальные решение системы(1) . Чтобы было нетривиальное решение необходимо и достаточно (2) Действительно, если вместо стоит один из корней собственного полинома , то выражение (2) обращается в 0. И для этого существует ненулевое решение системы (1). Это решение и является собственным вектором. Поиск собственных значений и собственных векторов матрицы A является основной задачей теории устойчивости, надежности и т.п. Существует много методов нахождения собственных векторов и собственных значений матрицы А.

Рассмотрим некоторые из них.

Пример

Вычислить собственные числа и собственные векторы матрицы

 

 

Решение. Составим характеристический многочлен

 

Для нахождения собственных векторов и соответствующих значениям и Составим системы уравнений типа для каждого из них при

Или запишем в виде системы уравнений

Эти уравнения линей зависимы (даже совпадают) поэтому оставим одно из них.

Полагаем и собственный вектор соответствующий числу имеет вид или, , где и единичные орты выбранной системы координат.

Аналогично находим первый собственный вектор, соответствующий собственному числу

 

Отсюда

Вектор нормирован, нормируемый вектор , разделив его компоненты на наибольшую из них получим

Можно даже привести векторы к единичной длине разделив его компоненты на значения модулей векторов.

В этом случае

 

Нахождение наибольшего по модулю собственного значения матрицы А.

Пусть имеется характеристический определитель или

 

Корни этого полинома является собственными значениями матрицы А, причем пусть

(1)

Укажем приближенный метод нахождения . Возьмем произвольный вектор и разложим по собственным векторам матрицы А.

,где - постоянные коэффициенты

Проведя преобразование А над вектором получим

 

Отсюда, т.к. вектор собственный вектор преобразования А, т.е. получим

AУ- называется итерацией вектора Последовательно образуя итерации , получим (2) (м-итераций)

 

Выберем в пространстве базис (не обязательно единичный).

Пусть

Координаты вектора в выбранном базисе.

Разлагая собственные векторы по векторам выбранного базиса получим

Отсюда подставляя (3) в (2) получим (3)

 

Или меняя порядок суммирования получим (4)

 

Но (4а)

Приравнивая (4) и (4а) получим

(5)

(6)

 

Разделив (6) на (5) получим

Пусть и , тогда

 

 

с учётом неравенства (1)

 

Литература.

 

1. Волков Е.А. Численные методы.

2. Турчак Л.И. Основы числительных методов.

3. Демидович Б.И. и Марон И.А. Основы вычислительной математики.

4. Копченова И.В. и Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах.

5. Перумов У.Г. Числительные методы

Высшее образование Москва 2004г.

 

Содержание

Лекция 1. 3

Введение. Численные методы и приближённые вычисления. 3

Методы решения. 4

Абсолютная и относительная погрешность. 4

Погрешность арифметической операции. 4

Лекция 2. 5

Общие понятия об интерполировании. 5

Линейная интерполяция. 6

Интерполяционный многочлен Лагранжа. 7

Оценка погрешности интерполяционной формулы Лагранжа. 8

Исследование остаточного члена при равноотстоящих узлах. 9

Лекция 3. 10

Методы приближенного интегрирования. 10

Формулы Ньютона –Котеса. 10

Частные случаи. 11

Лекция 4. 12

Численное дифференцирование. 12

Метод неопределенных коэффициентов. 14

Лекция 5. 14

Разделённые разности. 14

Интерполяционный полином Ньютона для неравно отстоящих значений аргумента 16

Конечные разности. 17

Связь конечных разностей и разделенных разностей. 18

Интерполяционный полином Ньютона для равноотстоящих значений аргумента. 18

Лекция 6. 19

Классификация уравнений. Этапы численного решения. 19

Отделение корней. 19

Метод половинного деления (бисекций). 22

Метод итераций. 24

Лекция 7. 27

Метод ньютона (касательных). 27

Численные решения СЛАУ. 29

Метод Гаусса. 29

Метод Холецкого. 31

Лекция 8. 32

Метод прогонки. 32

Проверка метода прогонки на устойчивость. 34

Лекция 9. 34

Метод конечных разностей решение краевых задач ОДУ. 34

Лекция 10. 36

Сплайны. 36

Кубический сплайн. 36

Лекция 11. 37

Абсолютная величина и норма матрицы. 37

Метод простой итерации. 39

Оценка погрешности метода простой итерации. 39

Лекция 12. 40

Приведение систем к виду, допускающему применение метода простых итераций. 40

Метод Зейделя. 42

Лекция 13. 43

Методом Зейделя решить систему. 43

Обусловленность систем линейных уравнений число обусловленности. 44

Лекция 14. 46

Численные методы решения задачи Коши для ОДУ. 46

Метод последовательного дифференцирования. 47

Метод Эйлера. 47

Лекция 15. 48

Метод Рунге - Кутта. 48

Лекция 16. 50

Эмпирические формулы.. 50

Метод наименьших квадратов. 50

Лекция 17. 52

Пример: метод наименьших квадратов для вывода эмпирической формулы, заданной в табличном виде: 52

Предварительное вычисления. 54

Лекция 18. 54

Задачи на собственные значения. 54

Основные понятия. 54

Пример. 55

Нахождение наибольшего по модулю собственного значения матрицы А. 56

Содержание. 59