Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Абсолютная и относительная погрешность.

Поиск

Пусть α- точное значение некоторой величины, αn- известное приближенное к этому точному значению. Абсолютной погрешностью приближения α называется величина

или αn= α ± ∆α

Абсолютная погрешность далеко не всегда может охарактеризовать эффективность метода получения приближённого результата: например

∆α= 1 мм при измерении расстояния в 1 км или диаметра вала 4 мм, имеют совершенно различную характеристику качества измерения. Поэтому часто пользуются относительной погрешностью

 

или

Часто используют относительную погрешность выраженную в %.

Погрешность арифметической операции

Арифметические действия над приближенными числами приводят к накоплению погрешности результата решения математической задачи. Пусть α, в, αn и вn – некоторые числа и их приближенные значения, α◦в- некоторая арифметическая операция над числами. Тогда абсолютную и относительную погрешности арифметических операций будем записывать в виде

При этом если ∆α >0 и ∆b>0, то

Используя данные результаты можно оценить и относительные погрешности

δ(αn)=nδα

При оценке погрешности вычисления функций y=f(x) для придельных значений абсолютных и относительных погрешностей используем равенства

где xn- приближённое значение величин х, ∆x- придельная погрешность.

Алгоритмы являются строгим описанием последовательности операций. Общие свойства алгоритмов:

1) Массовость- применимость ко всем задачам рассматриваемого класса при любых исходных данных или с оговариваемыми границами их изменения.

2) Определенность- любой шаг алгоритма не должен допускать толкования.

3) Дискретность- представимость всякого процесса в виде последовательности выполняемых друг за другом отдельных законченных шагов.

4) Результативность- получение результата за конечное число действий, причем с требуемой точностью.

Лекция 2

Общие понятия об интерполировании.

Рассмотрим следующую задачу. Пусть функция f(x) задана таблично, т. е.

известны её значения в (n+1) – точках xi Є[a,в], где i=0,1,2…n f(xi) =yi

 

Точки x0x1x2…xn называются узлами интерполяции. Требуется найти простую функцию φ(х), что φ(xi)= f(xi) в узлах интерполяции и φ(x)≈ f(x) в остальных точках х.

Пусть -последовательность вещественных функций. Тогда называется обобщенным полиномом.

Обобщенный полином называют интерполяционным, если f(xi)= φ(xi) i=0,1,2… в узлах интерполяции. Обычно в качестве {φi(x)} берутся функции.

1) 1, х, х2, х3

2) 1, sinx, cosx, sin2x, cos2x…

3) 1, eλ1х, eλ2х, eλ3х

λ1 λ2 …λn- некоторая последовательность.

Линейная интерполяция.

При линейной интерполяции предполагается, что функция f(x) между узлами интерполяции изменяется по линейному закону (см. рис)

 

из геометрии уравнение прямой, проходящей через точки (xi-1 yi-1) и (xi yi) будет иметь вид (

Отсюда для каждого x, лежащего в интервале [xi-1 xi ] может быть найдено соответствующее значение y по формуле

Таким образом, мы можем найти любое f(x) =y на любом отрезке интерполяции.

Интерполяционный многочлен Лагранжа.

Точность аппроксимации можно повысить, если вместо линейной функции использовать алгебраический многочлен

Ln(x)= a0+ a1x+a2x2+…+ anxn

Будем искать его в виде.

(1)

где φj (x) – многочлен n, который удовлетворяет условия

В n точках полином обращается в нуль и только в одной точке i=j обращается в 1. Раз он обращается в нуль в n точках, то в нем должен быть множитель

φj (x)=Сj (x-x0)(x-x1 )…(x-xj-1)(x-xj+1 )… (x-xn) (2)

где Сj – неопределенный коэффициент.

Надо потребовать, чтобы в точке i=j он обратился в 1

 

1=φj (xj)=Сj (x-x0)(x-x1 )…(x-xj-1)(x-xj+1 )…(x-xn)

и тогда

(3)

 

Или подставляя (3)→(2) получим

(4)

Подставляя (4) в (1) получим

(5)

 

 

Lj (n)(x)

Полученный полином называют интерполяционным полиномом Лагранжа.

Если ввести обозначение ωn+1(x)= (x-x0)(x-x1)… (x-xn), то полином Лагранжа заменяется в виде:

(6)

 

Lj (n)(x)

 

Тогда φj (x) и Lj (n)(x) называются Лагранжевыми коэффициентами. Составление полинома Лагранжа и вычисление его в отдельных точках в ручную довольно таки трудоемкая задача. Добавление лишнего узла приводит к пересчету всех коэффициентов. Остаточный член интерполяционной формулы Лагранжа выглядит так

(7)

 

Тогда

f(x)= Ln(x)+ Rn(x)

 



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2016-04-19; просмотров: 521; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.97.14.90 (0.006 с.)