Абсолютная и относительная погрешность.

Пусть α- точное значение некоторой величины, α_n- известное приближенное к этому точному значению. Абсолютной погрешностью приближения α называется величина

или α_n= α ± ∆α

Абсолютная погрешность далеко не всегда может охарактеризовать эффективность метода получения приближённого результата: например

∆α= 1 мм при измерении расстояния в 1 км или диаметра вала 4 мм, имеют совершенно различную характеристику качества измерения. Поэтому часто пользуются относительной погрешностью

 

или

Часто используют относительную погрешность выраженную в %.

Погрешность арифметической операции

Арифметические действия над приближенными числами приводят к накоплению погрешности результата решения математической задачи. Пусть α, в, α_n и в_n – некоторые числа и их приближенные значения, α◦в- некоторая арифметическая операция над числами. Тогда абсолютную и относительную погрешности арифметических операций будем записывать в виде

При этом если ∆α >0 и ∆b>0, то

Используя данные результаты можно оценить и относительные погрешности

δ(αⁿ)=nδα

При оценке погрешности вычисления функций y=f(x) для придельных значений абсолютных и относительных погрешностей используем равенства

где x_n- приближённое значение величин х, ∆x- придельная погрешность.

Алгоритмы являются строгим описанием последовательности операций. Общие свойства алгоритмов:

1) Массовость- применимость ко всем задачам рассматриваемого класса при любых исходных данных или с оговариваемыми границами их изменения.

2) Определенность- любой шаг алгоритма не должен допускать толкования.

3) Дискретность- представимость всякого процесса в виде последовательности выполняемых друг за другом отдельных законченных шагов.

4) Результативность- получение результата за конечное число действий, причем с требуемой точностью.

Лекция 2

Общие понятия об интерполировании.

Рассмотрим следующую задачу. Пусть функция f(x) задана таблично, т. е.

известны её значения в (n+1) – точках x_i Є[a,в], где i=0,1,2…n f(x_i) =y_i

 

Точки x₀x₁x₂…x_n называются узлами интерполяции. Требуется найти простую функцию φ(х), что φ(x_i)= f(x_i) в узлах интерполяции и φ(x)≈ f(x) в остальных точках х.

Пусть -последовательность вещественных функций. Тогда называется обобщенным полиномом.

Обобщенный полином называют интерполяционным, если f(x_i)= φ(x_i) i=0,1,2… в узлах интерполяции. Обычно в качестве {φ_i(x)} берутся функции.

1) 1, х, х², х³…

2) 1, sinx, cosx, sin2x, cos2x…

3) 1, e^λ1х, e^λ2х, e^λ3х…

λ₁ λ₂ …λ_n- некоторая последовательность.

Линейная интерполяция.

При линейной интерполяции предполагается, что функция f(x) между узлами интерполяции изменяется по линейному закону (см. рис)

 

из геометрии уравнение прямой, проходящей через точки (x_i-1 y_i-1) и (x_i y_i) будет иметь вид (

Отсюда для каждого x, лежащего в интервале [x_i-1 x_i ] может быть найдено соответствующее значение y по формуле

Таким образом, мы можем найти любое f(x) =y на любом отрезке интерполяции.

Интерполяционный многочлен Лагранжа.

Точность аппроксимации можно повысить, если вместо линейной функции использовать алгебраический многочлен

L_n(x)= a₀+ a₁x+a₂x²+…+ a_nxⁿ

Будем искать его в виде.

(1)

где φ_j (x) – многочлен n, который удовлетворяет условия

В n точках полином обращается в нуль и только в одной точке i=j обращается в 1. Раз он обращается в нуль в n точках, то в нем должен быть множитель

φ_j (x)=С_j (x-x₀)(x-x₁ )…(x-x_j-1)(x-x_j+1 )… (x-x_n) (2)

где С_j – неопределенный коэффициент.

Надо потребовать, чтобы в точке i=j он обратился в 1

 

1=φ_j (x_j)=С_j (x-x₀)(x-x₁ )…(x-x_j-1)(x-x_j+1 )…(x-x_n)

и тогда

(3)

 

Или подставляя (3)→(2) получим

(4)

Подставляя (4) в (1) получим

(5)

 

 

L_j ⁽ⁿ⁾(x)

Полученный полином называют интерполяционным полиномом Лагранжа.

Если ввести обозначение ω_n+1(x)= (x-x₀)(x-x₁₎… (x-x_n), то полином Лагранжа заменяется в виде:

(6)

 

L_j ⁽ⁿ⁾(x)

 

Тогда φ_j (x) и L_j ⁽ⁿ⁾(x) называются Лагранжевыми коэффициентами. Составление полинома Лагранжа и вычисление его в отдельных точках в ручную довольно таки трудоемкая задача. Добавление лишнего узла приводит к пересчету всех коэффициентов. Остаточный член интерполяционной формулы Лагранжа выглядит так

(7)

 

Тогда

f(x)= L_n(x)+ R_n(x)