Глава 3. Абсолютные, относительные и средние величины

Цель: усвоить и закрепить материал по теме, научиться преобразовывать исходные данные в обобщающие показатели.

Абсолютные величины

Сводка статистических данных всегда завершается расчетом и анализом статистических показателей, в которых отражаются результаты исследования количественной стороны массовых общественных явлений.

Статистический показатель - это количественная характеристика социально-экономических явлений и процессов в условиях качественной определенности, т. е. он непосредственно связан с внутренним содержанием изучаемого явления или процесса, его сущностью.

По форме выражениявыделяют:

1) абсолютные показатели - являются исходной, первичной формой выражения статистических показателей, отражающих уровень развития явления;

2) относительные показатели – являются производными от абсолютных показателей и отражают структуру изучаемого явления, соотношение между отдельными его частями, позволяют анализировать развитие явления во времени;

3) средние величины – отражают значение признака, характерное для всей изучаемой совокупности единиц.

Абсолютные показатели – это показатели, характеризующие абсолютные размеры изучаемых статистикой процессов и явлений в конкретных условиях места и времени: массу, площадь, объем, протяженность; отражают временные характеристики, а также могут представлять объем совокупности, т.е. число составляющих ее единиц.

В статистике различают два вида абсолютных величин: индивидуальные и суммарные.

Индивидуальные абсолютные величины характеризуют размеры признака у отдельных единиц совокупности, которые получают непосредственно в процессе статистического наблюдения, например, размер заработной платы отдельного работника, величина уставного капитала банка и т.д.

Суммарные абсолютные величины характеризуют итоговую величину признака по определенной совокупности объектов, охваченным статистическим наблюдением, например, численность студентов г. Москвы.

Абсолютные статистические показатели всегда являются именованными числами и, в отличие от математического понятия абсолютной величины, могут быть как положительными, так и отрицательными (убытки, потери и т. д.).

В зависимости от социально-экономической сущности исследуемых явлений абсолютные показатели могут быть выражены в натуральных, стоимостных и трудовых единицах измерения.

Натуральные единицы измерения в свою очередь могут быть:

- простыми (тонны, килограммы, унции, квадратные, кубические и простые метры, мили, километры, галлоны, литры, миллилитры, декалитры (1дкл = 10л), гектолитры (1гкл = 100л), штуки, караты и т.д.);

- сложными – представляют собой произведение двух простых единиц измерения (например, показатели грузооборота и пассажирооборота оцениваются соответственно в тонно-километрах и пассажиро-километрах, производство электроэнергии измеряется в киловатт-часах, и т.д.).

В группу натуральных также входят условно-натуральные измерители, используемые, когда какой-либо продукт имеет несколько разновидностей и общий объем можно определить только исходя из общего для всех потребительского свойства. Например, различные виды органического топлива переводятся в условное топливо с теплотой сгорания 29,3 МДж/кг (7000 Ккал/кг); мыло разных сортов - в условное мыло с 40%-м содержанием жирных кислот; консервы различного объема - в условные консервные банки объемом 353,4 см³ или массой 400 г; в консервной промышленности также принято вести учет продукции в тубах – 1000 условных банок и мубах – миллион условных банок; для алкогольной продукции используют дал а/а – декалитры абсолютного алкоголя, т.е. спирта, практически не содержащего воды. В полиграфии для учета печатной продукции используют условные печатные листы (1 п.л. = 40000 печатных знаков, включая пробелы).

Для определения объема продукции в условно-натуральных единицах измерения (Q_{УСЛ. НАТ..}) следует объем продукции в натуральных единицах измерения (q_НАТ) умножить на коэффициент пересчета (К_ПЕРЕСЧ):

Q_{УСЛ. НАТ..} = q_НАТ * К_ПЕРЕСЧ

Коэффициент пересчета определяется отношением

Стоимостные единицы измерения дают денежную оценку социально-экономическим явлениям и процессам. Например, стоимостные единицы часто используются для выражения объема разнородной продукции в стоимостной форме (валовой выпуск продукции).

Трудовые единицы измерения позволяют учитывать как общие затраты труда на предприятии, так и трудоемкость отдельных операций (человеко-дни и человеко-часы).

Иногда один и тот же вид продукции в зависимости от условий сбыта, производства и потребления может учитываться одновременно в разных единицах измерения (электромоторы будут числиться на балансе предприятия в штуках, а их мощность будет измеряться в кВт; ткани в производстве будут учитываться в квадратных метрах, а продаваться в погонных метрах; цемент в бочках и в тоннах и т.д.).

Относительные показатели

Сама по себе абсолютная величина не дает полного представления об изучаемом явлении, не показывает его структуру, соотношение между отдельными частями, развитие во времени. В ней не выявлены соотношения с другими относительными показателями. Эти функции выполняют определяемые на основе абсолютных величин относительные показатели.

Относительный показатель – это обобщающий показатель, который представляет собой результат деления одного абсолютного показателя на другой и выражает соотношение между количественными характеристиками социально-экономических процессов и явлений:

текущий / сравниваемый

показатель

основание / база сравнения

Относительные показатели могут выражаться в коэффициентах, процентах, промилле, продецимилле или быть именованными числами. Если база сравнения принимается за 1, то относительный показатель выражается в коэффициентах, если база принимается за 100, 1000 или 10 000, то относительный показатель соответственно выражается в процентах (%), промилле (%о) и продецимилле (%оо).

Все используемые на практике относительные статистические показатели можно разделить на следующие виды:

Относительный показатель динамики (ОПД) представляет собой отношение уровня исследуемого процесса или явления в данный период времени к уровню этого же процесса или явления в прошлом и показывает, во сколько раз текущий уровень превышает предшествующий, или какую долю от него составляет:

При этом если в качестве базы сравнения выбирается уровень явления в начальный момент времени (базисный), то получают базисный показатель, если в качестве базы выбирается уровень явления за предыдущий момент времени, то получают цепной показатель.

Если данный показатель выражен кратным отношением, он называется коэффициентом роста, при домножении этого коэффициента на 100% получают темп роста.

Относительный показатель планового задания (ОППЗ) рассчитывается как отношение уровня, запланированного на будущий период (y_пл.), к уровню, фактически сложившемуся в прошлом (y₀):

Относительный показатель реализации плана (ОПРП) – определяется как отношение фактически достигнутого уровня в текущем периоде (y₁) к запланированному на этот же период (y_пл.):

Между относительными показателями планового задания, реализации плана и динамики существует следующая взаимосвязь:

ОППЗ ´ ОПРП = ОПД.

Относительный показатель структуры (ОПС) характеризует долю или удельный вес части совокупности в общем ее объеме:

ОПС выражается простым кратным отношением (в долях единицы) или в процентах.

Относительные показатели координации (ОПК) отражают соотношение отдельных частей целого между собой:

В результате определяют, сколько единиц каждой структурной части приходится на 1 единицу базисной структурной части.

Относительный показатель интенсивности (ОПИ) всегда является именованной величиной и характеризует степень распространения изучаемого процесса или явления в присущей ему среде:

ОПИ вычисляются путем сравнения разноименных величин, находящихся в определенной связи между собой и обычно определяются в расчете на 100, 1000 и т.д. единиц изучаемой совокупности (например, число родившихся на 1000 чел. населения, производство сельскохозяйственной продукции с 1 га сельскохозяйственных угодий и т.д.).

Разновидностью ОПИ являются относительные показатели уровня экономического развития, характеризующие производство продукции в расчете на душу населения.

Относительный показатель сравнения (ОПСр) представляет собой соотношение одноименных абсолютных показателей, характеризующих разные объекты (предприятия, фирмы, районы, области, страны и т.п.), но относящиеся к одному и тому же моменту времени (например, соотношение между уровнями себестоимости одного вида продукции, выпущенной разными предприятиями):

Несмотря на большую значимость относительных величин в статистике, их нельзя рассматривать в отрыве от абсолютных показателей. Лишь комплексное применение эти величин дает достоверную информацию об изучаемых явлениях или процессах.

Средние величины

При анализе и планировании необходимо опираться не на случайные факты, а на показатели, выражающие основное, типичное. Такую характеристику дают средние величины.

Средняя величина – это обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень варьирующего признака в расчете на единицу однородной совокупности в конкретных условиях места и времени.

При расчете средней величины индивидуальные значения признака заменяются одним средним значением. При этом случайные отклонения значения признака по отдельным единицам в сторону увеличения или уменьшения взаимно уравновешиваются и погашают друг друга, а в величине средней проявляется типичный размер признака, свойственный данной группе или совокупности в целом, что позволяет выявить закономерности, присущие массовым общественным явлениям, незаметные в единичных явлениях.

Средняя величина всегда именованная, она имеет ту же единицу измерения, что и признак у отдельных единиц совокупности.

В статистике применяют две категории средних:

1. Степенные средние – средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая и средняя квадратическая.

2. Структурные средние – мода и медиана.

Степенные средние

Степенные средние в зависимости от представления исходных данных могут быть простыми и взвешенными.

Простая средняя вычисляется по несгруппированным данным и имеет следующий вид:

,

где х_i – значение признака для единицы совокупности i,

m – показатель степени средней,

n – число единиц совокупности.

Взвешенная средняя вычисляется по сгруппированным данным и имеет вид:

,

где х_i – значение признака для единицы совокупности i,

m – показатель степени средней,

f_i – частота, показывающая, сколько раз встречается i-е значение признака.

Формулы расчета степенных средних имеют общий показатель степени m. В зависимости от того, какое значение он принимает, различают следующие виды степенных средних:

1. Средняя арифметическая (m=1) – наиболее распространенный вид средней.

простая	взвешенная

Примечание. Если значения осредняемого признака заданы в виде интервалов, то при расчете средней арифметической величины в качестве значений признаков в группах принимают середины этих интервалов, в результате чего образуется дискретный ряд. При этом величины открытых интервалов условно приравниваются к интервалам, примыкающим к ним.

Свойства средней арифметической:

а) если все индивидуальные значения признака (все варианты) уменьшить или увеличить в m раз, то среднее значение соответственно уменьшится или увеличится в m раз.

б) если все варианты осредняемого признака уменьшить или увеличить на число А, то средняя арифметическая соответственно уменьшится или увеличится на это же число А.

в) если частоты (веса) всех осредняемых вариантов уменьшить или увеличить в k раз, то средняя арифметическая не изменится.

2. Средняя гармоническая (m=-1) – является величиной обратной для средней арифметической и применяется, когда статистическая информация не содержит частот по отдельным вариантам совокупности, а представлена как их произведение xf.

простая	взвешенная
	, где w = xf

3. Средняя геометрическая (m=0) – применяется для определения средней по значениям, имеющим большой разброс, либо в случаях определения средней величины по относительным показателям, например, среднегодовых темпов роста в рядах динамики, где индивидуальные значения признака представляют собой коэффициенты роста:

простая	взвешенная

5. Средняя квадратическая (m=2) – применяется, когда требуется определить средний размер признака, выраженный в квадратных единицах измерения (для вычисления средней стороны квадратных участков) или при расчете среднего квадратического отклонения, являющегося одним из показателей вариации признаков:

простая	взвешенная

Если рассчитать все виды средних для одних и тех же исходных данных, то их значения окажутся неодинаковыми, т. к. здесь действует правиломажорантности средних: чем больше показатель m, тем больше средняя величина:

.

Структурные средние

Структурные средние применяются для изучения внутреннего строения и структуры рядов распределения значений признака.

В качестве структурных средних чаще всего используют показатели моды и медианы.

1. Мода – наиболее часто повторяющееся значение признака в изучаемой совокупности.

Для дискретных рядов распределения модой будет то значение признака, у которого наибольший удельный вес. В интервальных рядах распределения с равными интервалами мода определяется по формуле:

Мо = ,

где - начальное значение интервала, содержащего моду;

i – величина модального интервала;

- частота модального интервала (в абсолютном или относительном выражении);

- частота интервала, предшествующего модальному;

- частота интервала, следующего за модальным.

Мода широко применяется в коммерческой деятельности.

2. Медиана – величина признака, которая делит упорядоченную последовательность его значений на 2 равные по численности части.

Если ряд распределения дискретный и имеет нечетное число значений, то медианой будет значение признака, находящееся в середине упорядоченного ряда. Например, стаж пяти рабочих составил 2, 4, 7, 8 и 10 лет. В таком упорядоченном ряду медиана – 7 лет.

Если упорядоченный ряд состоит из четного числа значений, то медианой будет средняя арифметическая из 2 значений признака, расположенных в середине ряда. Пусть в бригаде не 5 человек, а 6, имеющих стаж работы 2, 4, 6, 7, 8 и 10 лет. В центре ряда стоят 6 и 7, т. е. средняя арифметическая этих значений и будет медианой ряда: Ме = (6+7)/2=6,5 лет.

В интервальном вариационном ряду медиана определяется по формуле:

,

где - начальное значение интервала, содержащего медиану;

- величина медианного интервала;

- сумма частот ряда;

- сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;

- частота медианного интервала.

Нахождение медианы в интервальных вариационных рядах требует предварительного определения интервала, в котором находится медиана, т.е. медианного интервала – этот интервал характеризуется тем, что его кумулятивная частота равна полусумме или превышает полусумму всех частот ряда.

Медиана используется при контроле качества продукции и технологического процесса на промышленных предприятиях, а также при изучении распределения домохозяйств по величине дохода.

Мода и медиана являются дополнительными к средней величине характеристиками совокупности и используются в статистике для анализа формы рядов распределения.

Если значение средней величины совпадает с модой и медианой, то ряд является симметричным. На практике строго симметричные ряды встречаются довольно редко, чаще исследователю приходится иметь дело с асимметричными рядами. Простейшим показателем асимметрии может служить разность между средней арифметической величиной и модой.

Если A_S = <0, то в ряду имеет место левосторонняя асимметрия, если A_S = >0, то – правосторонняя.

К структурным характеристикам исследуемой совокупности относятся также:

- квартили, делящие совокупность на 4 равные части,

- квинтили, делящие совокупность на 5 равных частей;

- децили, делящие совокупность на 10 частей,

- перцентили, делящие совокупность на 100 частей.

Вопросы для самоконтроля

1. Что такое статистический показатель? Какие виды статистических показателей Вы знаете?

2. Каково значение абсолютных величин в статистике? В каких единицах они измеряются? Приведите примеры.

3. Что характеризуют относительные статистические показатели? На какие виды они делятся?

4. Дайте определение средней величины.

5. Какие виды средних величин применяются в статистике?

6. В каких случаях применяются степенные средние?

7. Какие свойства средней арифметической Вы знаете?

8. Для чего используются структурные средние? На какие виды они подразделяются?

Глава 4. Вариация признака

Цель: усвоить и закрепить материал по теме, научиться проводить анализ вариационных рядов.