Глава 5. Анализ рядов динамики

Цель: усвоить и закрепить материал по теме, приобрести навыки по проведению анализа рядов динамики.

Процесс развития социально-экономических явлений во времени в статистике принято называть динамикой. Для отображения динамики явлений строят ряды динамики.

Ряд динамики – это последовательность изменяющихся во времени значений статистического показателя, расположенных в хронологическом порядке.

Ряд динамики состоит из 2 элементов:

§ конкретных значений показателей или уровней ряда (у),

§ периодов или моментов времени (t).

Виды рядов динамики

1. По форме представления уровней ряды динамики делятся на ряды абсолютных, относительных и средних величин.

2. По времени различают моментные и интервальные ряды динамики.

3. По расстоянию между датами или интервалам времени выделяют ряды динамики с равноотстоящими уровнями (даты регистрации следуют друг за другом с равными интервалами) и неравноотстоящими уровнями во времени (если в рядах даются прерывающиеся периоды или неравномерные промежутки между датами).

4. В зависимости от наличия основной тенденции изучаемого процесса ряды динамики подразделяются на стационарные и нестационарные.

5. По числу показателей можно выделить изолированные (во времени ведется анализ одного признака) и комплексные (многомерные) ряды динамики.

Для количественной оценки динамики проводят расчет аналитических показателей динамики (табл. 5.1).

В основе расчета показателей ряда динамики лежит сравнительный анализ уровней ряда либо с постоянной, либо с переменной базой сравнения. При постоянной базе сравнения каждый уровень ряда сравнивается с одним и тем же показателем (уровнем), принятым за базу сравнения (у₀). В этом случае получают базисные показатели. При переменной базе сравнения каждый уровень ряда сравнивают с предыдущим уровнем (y_i-1) получают цепные показатели.

Показатель динамики	Формулы расчета	Взаимосвязь показателей
базисные	цепные
Абсолютный прирост
Темп роста
Темп прироста	или	или
Темп наращивания		¾	¾
Абсолютное значение одного процента прироста	¾		¾

Средний уровень ряда динамики – характеризует обобщенную величину абсолютных уровней.

Методы расчета среднего уровня интервального и моментного рядов динамики различны.

Для интервальных рядов динамики средний уровень за период времени определяется по формуле средней арифметической:

а) при равных интервалах применяется средняя арифметическая простая:

.

б) при неравных интервалах применяется средняя арифметическая взвешенная:

.

Средний уровень моментного ряда динамики с равноотстоящими датами определяется по формуле средней хронологической простой:

.

Для моментных рядов с неравноотстоящими датами расчет среднего уровня ряда производится по формуле средней хронологической взвешенной:

.

Типовая задача 1

Выпуск продукции на предприятии характеризуется следующими данными:

Показатель	январь	февраль	март	апрель	май	июнь
Выпуск продукции, т	206,4	208,3	210,2	211,5	213,4	217,3

1. Определить все аналитические показатели ряда динамики.

2. Проверить взаимосвязь цепных и базисных показателей.

3. Привести графическое изображение динамики производственной мощности.

Решение

1. а) Абсолютный прирост:

 

 

цепныебазисные

 

б) Темп роста:

базисныецепные

 

в) Темп прироста:

базисныецепные

 

г) Темп наращивания:

д) Абсолютное значение 1 % прироста: .

 

2. Взаимосвязь цепных и базисных показателей:

а) абсолютных приростов: .

верно

б) коэффициентов роста: .

верно

 

3. Графическое построение исходных данных:

Одной из важнейших задач статистики является определение в рядах динамики основной тенденции развития.

Основной тенденцией развития (трендом) называется плавное и устойчивое изменение уровня явления во времени, свободное от случайных колебаний.

Для выявления тенденции в рядах динамики используют специальные методы:

1. Метод укрупнения интервалов ¾ предполагает переход от первоначального динамического ряда к рядам с большими временными промежутками, например, данные за каждый месяц года заменяют квартальными, годовые — пятилетними и т.д.

2. Метод скользящей средней – состоит в замене фактических значений показателя их усредненными величинами, расчет которых проводят путем последовательного смещения начала отсчета на единицу времени (скольжения), т.е. постепенно исключают из интервала первые уровни и включают последующие. Полученная средняя относится к середине укрупненного интервала.

Наиболее часто на практике применяются трехчленные средние:

.

Полученный таким образом сглаженный ряд более четко выражает основную тенденцию развития изучаемого явления.

3. Метод аналитического выравнивания – заключается в том, что находится уравнение , график которого наилучшим образом отражает основную тенденцию ряда динамики.

Аналитическое выравнивание позволяет не только определить основную тенденцию развития явления во времени, но и выполнять расчеты для таких периодов, по которым нет информации. При этом нахождение недостающих данных внутри динамического ряда называется интерполяцией, а нахождение значений за пределами анализируемого периода (т.е. в будущем) называется экстраполяцией.

Типовая задача 2

Известны следующие данные о реализации кондитерских изделий торговым предприятием города:

Месяцы

Объем продаж (тыс. руб.)

1. Произведите выравнивание ряда для выявления основной тенденции реализации продукции.

2. Постройте графическое изображение исходного и выровненного рядов динамики.

3. Сделайте прогноз реализации продукции в 13 месяце, учитывая, что полученная тенденция отражается уравнением ў_t = 35,38 +4,8 t.

Решение

Применим к исходным данным метод трехчленной скользящей средней. Результаты расчетов внесем в таблицу.

Месяцы
Объем продаж (тыс. руб.)
Скользящие средние	-	44,3	49,0	55,7	63,0	66,3	69,3	77,0	81,3	84,0	82,0	-

и т.д.

В результате сглаживания получается ряд динамики, имеющий значительно меньшую колеблемость, чем исходные данные, что видно из графика.

Построим прогноз реализации продукции для 13 месяца на основе имеющегося уравнения ў_t = 35,38 +4,8 t.

ў₁₃ = 35,38 +4,8 х13 = 97,78 (тыс. руб.).

Большую роль при анализе динамики явлений играет изучение сезонных колебаний. К сезонным относят внутригодовые колебания уровней ряда, имеющие регулярный характер, т.е. более или менее устойчиво повторяющиеся из года в год (в одни и те же месяцы, кварталы и более короткие промежутки времени) изменения уровней ряда в сторону повышения или понижения.

Существует целый ряд методов для изучения и измерения сезонных колебаний. Самый простой заключается в построении специальных показателей, которые называются индексами сезонности. Совокупность этих показателей отражает сезонную волну.

Порядок расчета индекса сезонности зависит от вида динамического ряда.

В стационарных (стабильных) рядах динамики расчет индекса сезонности состоит в определении простой средней арифметической за одни и те же внутригодовые промежутки времени, а затем в сопоставлении полученных средних с общей средней динамического ряда:

,

где — средний уровень по одноименным внутригодовым отрезкам времени (месяцам, кварталам).

При наличии тренда, т.е. в нестационарных рядах динамики, порядок расчета индекса сезонности следующий:

1) определяют по одноименным внутригодовым уровням ряда (месячным, квартальным) за несколько лет расчетные (выровненные) уровни (y_t) при помощи скользящей средней или методом аналитического выравнивания;

2) находят процентное отношение фактических уровней ряда (y_i) и расчетных (выровненных) уровней (y_t);

3) усредняют полученные показатели сезонности за все годы.

Типовая задача 3

Определите индекс сезонности для февраля, используя следующие данные:

Месяц	Выручка, млн. руб.
январь февраль март …	17,3 15,2 17,2 …	16,0 15,8 18,4 …
Итого за год	204,0	216,0

Решение

Сначала вычислим среднее значение выручки за два года для февраля:

Определим среднегодовую выручку за каждый год и за два года вместе:

Вычислим индекс сезонности:

.

Задачи для самостоятельной работы

Задача 5.1

Известны данные о продаже мясных консервов в одном из регионов за 2003 – 2007 гг.:

Год
Консервы мясные, млн. усл. банок

Определить:

а) абсолютный прирост, темп роста, темп прироста, абсолютное значение 1% прироста;

б) средний уровень продаж мясных консервов за 5 лет;

в) среднегодовой темп роста и прироста продажи мясных консервов за 2003 – 2007 гг.

Задача 5.2

Используя взаимосвязь показателей динамики, определите уровни ряда динамики и недостающие цепные показатели:

Год	Производство продукции, млн. руб.	Цепные показатели
Абсолютный прирост, млн. руб.	Темп роста, %	Темп прироста, %	Абсолютное значение 1% прироста, млн. руб.
	92,5
		4,8
			104,0
				5,8
		7,0			1,15

Задача 5.3

Известны данные об объеме продаж продукции:

Годы
Объем продаж, т

1. Определите показатели ряда динамики (абсолютный прирост, темп роста, темп прироста, средний темп роста). Полученные показатели представьте в таблице и сделайте выводы.

2. Для выявления тенденции в развитии выровняйте ряд по методу скользящей средней. Постройте графики исходного и выровненного ряда.

3. Составьте прогноз на будущий год на основе среднего темпа роста.

Задача 5.4

На основе приведенных ниже данных определить среднюю численность промышленно-производственного персонала предприятия:

Дата	1.01	1.04	1.07	1.10
Численность персонала, чел.

Задача 5.5

Требуется определить средний остаток продукции на складе предприятия, если по результатам инвентаризации они составили, т:

на 1.01 текущего года – 69,2,

на 1.03 – 70,4,

на 1.09 – 64,6,

на 1.01 следующего за отчетным года – 70,8.

Задача 5.6

Известны данные об объеме продаж продукции за 2 года:

 

 

Месяц	Объём продаж, тонн
базисный год	отчетный год
январь	439,1	446,3
февраль	437,0	461,1
март	338,6	366,4
апрель	341,1	363,2
май	337,0	328,7
июнь	337,0	338,5
июль	334,6	322,9
август	338,6	301,3
сентябрь	343,1	346,3
октябрь	343,5	371,2
ноябрь	346,4	384,6
декабрь	448,9	469,6

Рассчитать индексы сезонности методом простой средней, построить график. Сделать выводы о динамике объёмов продажи продукции.

Задача 5.7

Известны данные об объеме продаж продукта «А» в розничной торговле города за 3 года (т):

Квартал
I II III IV
Итого	5293	7338	8486

Для анализа сезонности продажи продукта «А»:

1. Определите индексы сезонности методом простой средней.

2. Постройте график сезонной волны.

3. Исчислите объемы продаж по месяцам в 2008г., используя полученные индексы сезонности, если в 2008г. Предполагается продажа продукта «А» в объеме 9560 т.

Задача 5.8

Реализация кондитерских изделий в магазинах города по месяцам 2003 – 2006 гг. характеризуются следующими данными:

Месяц
Январь	32,1	31,8	37,3	36,9
Февраль	30,8	27,9	32,2	33,4
Март	33,0	38,9	42,0	36,9
Апрель	34,4	39,5	40,9	46,6
Май	29,1	36,2	36,8	34,5
Июнь	30,9	41,4	40,3	39,2
Июль	31,4	39,4	35,3	38,3
Август	29,3	34,3	34,0	37,5
Сентябрь	32,5	34,7	33,7	36,8
Октябрь	32,2	34,6	34,9	3,4
Ноябрь	34,7	36,3	35,3	35,2
Декабрь	38,2	41,6	42,7	48,1

Для анализа общей тенденции реализации кондитерской продукции:

1. Произведите преобразование исходных данных путем укрупнения периодов времени до кварталов.

2. Постройте линейный график исходных и укрупненных данных.

3. Произведите сглаживание квартальных уровней по методу трехчленной скользящей средней.

4. Нанесите полученные при сглаживании данные на график с квартальными уровнями.

5. Сделайте выводы о характере общей тенденции изучаемого явления.

Тестовые задания

1. По формуле определяется:

A. базисный темп роста;

B. цепной темп роста;

C. базисный темп прироста;

D. цепной темп прироста;

E. абсолютное значение 1% прироста.

2. Средний уровень моментного ряда динамики с равными временными промежутками исчисляется по формуле средней:

A. арифметической простой;

B. арифметической взвешенной;

C. гармонической простой;

D. гармонической взвешенной;

E. хронологической простой;

F. хронологической взвешенной.

3. Методы, используемые для выявления основной тенденции развития явления во времени:

A. расчет средней гармонической;

B. аналитическое выравнивание ряда динамики;

C. метод укрупнения интервалов в ряду динамики;

D. метод скользящей средней уровней ряда динамики;

E. расчет показателей вариации.

4. Теоретическое значение показателя объема выручки в 2004 году =... тыс. руб. при условии, что основная тенденция ряда динамики описывается уравнением: у_t =917,2 + 59,2t.

Год	Объем выручки предприятия (у), тыс. руб.	t
		-2 -1 +1 +2

5. Ряд динамики характеризует:

A. структуру совокупности по какому-либо признаку;

B. изменение значений признака во времени;

C. определенное значение варьирующего признака в совокупности;

D. факторы изменения показателя на определенную дату или за определенный период.

6. Моментным рядом динамики является:

A. остаток оборотных средств предприятия по состоянию на 1 число каждого месяца;

B. производительность труда на предприятии за каждый месяц года;

C. сумма банковских вкладов населения на конец каждого года;

D. средняя заработная плата рабочих и служащих по месяцам года.

7. Разность уровней ряда динамики называется:

A. абсолютным приростом;

B. темпом роста;

C. темпом прироста;

D. коэффициентом роста.

8. Базисный абсолютный прирост равен:

A. произведению цепных абсолютных приростов;

B. сумме цепных абсолютных приростов;

C. корню n-1 степени из произведения цепных абсолютных приростов;

D. корню n-1 степени из суммы абсолютных приростов.

9. Урожайность пшеницы в 2006 году =... ц/га (с точностью до 0,1 ц/га) при условии:

Показатель	Годы
Урожайность пшеницы, ц/га			?
Темп прироста урожайности по сравнению с предыдущим годом, %		11,2
Темп роста урожайности по сравнению с предыдущим годом, %			98,9

10. При сравнении смежных уровней ряда динамики показатели называются:

A. цепными;

B. базисными;

C. относительными;

D. территориальными.

Глава 6. Индексы

Цель: усвоить и закрепить материал по теме, приобрести навыки по проведению анализа данных с помощью индексов.

В экономических исследованиях часто приходится сопоставлять не только отдельные признаки, но и сложные явления, состоящие из разнородных элементов, которые непосредственно суммироваться не могут. Изменение таких явлений изучают с помощью индексов.

Индекс – это обобщающий показатель, который выражает соотношение величин какого-либо сложного явления во времени, в пространстве или дает сравнение фактических данных с любым эталоном (план, прогноз, норматив и т.д.).

В статистике индексы классифицируются по ряду признаков:

а) по содержанию изучаемых величин:

1. Индексы количественных показателей – все индексируемые показатели этих индексов являются объемными, т.е. характеризуют общий, суммарный размер (объем) изучаемого явления и выражаются абсолютными величинами. К таким индексам относятся, например, индекс физического объема промышленной продукции, розничного товарооборота, национального дохода и т.д.

2. Индексы качественных показателей – характеризуют уровень явления в расчете на ту или иную единицу совокупности. Например, индекс себестоимости единицы продукции, индекс заработной платы, индекс производительности труда, индексы цен и т.д. Они измеряют не общий объем, а интенсивность, эффективность явления или процесса.

б) по степени охвата единиц совокупности:

1. Индивидуальные индексы характеризуют изменение отдельных элементов сложного явления, например, показывает изменение количества или цен по какому-либо одному виду продукции. Он определяется путем деления величины показателя за отчетный период на величину этого же показателя за базисный период.

2. Сводные (общие) индексы отражают изменение всех элементов сложного явления, например, изменение физического объема продукции, включающей разноименные товары.

3. Субиндексы (групповые) используются, если охватываются не все элементы сложного явления, а только их часть, например индексы физического объема продукции по отдельным отраслям промышленности, индексы цен по группам продовольственных и непродовольственных товаров.

в) по методам расчета общие индексы делят на:

1. Агрегатные индексы - сложные относительные показатели, которые характеризуют среднее изменение социально-экономического явления, состоящего из несоизмеримых элементов. Числитель и знаменатель агрегатного индекса представляют собой сумму произведений двух величин, одна из которых меняется (индексируемая величина), а другая остается неизменной в числителе и знаменателе (вес индекса).

2. Средние из индивидуальных - делятся на арифметические и гармонические и являются производными, т.е. они получаются в результате преобразования агрегатных и индивидуальных индексов.

Для того чтобы рассчитать общий индекс, необходимо преодолеть несуммарность отдельных элементов изучаемого явления, это достигается путем введения в индекс дополнительного неизменного показателя, тесно связанного с индексируемой величиной. Этот показатель называется весом агрегатного индекса.

При выборе веса индекса руководствуются следующим правилом: если индекс количественный, то обычно используют вес базисного периода, а если качественный – то отчетного.

В международной статистике для построения индексов применяются следующие обозначения:

q – физический объем произведенной продукции (количество);

p – цена;

z – себестоимость;

1 – отчетный период;

0 – базисный период.

Рассмотрим построение самых распространенных индексов (табл. 6.1).

Таблица 6.1