Определению необходимой величины страхового фонда

Существуют таблицы нормального распределения, по которым можно найти значения для функции распределения Ф(a) для центрированной нормированной случайной величины:

Случайная величина А называется центрированной и нормированной, если ее математическое ожидание равно нулю, а среднеквадратическое отклонение равно единице. Случайная величина X, характеризующая сумму выплат страховщика, не является центрированной и нормированной, так как она, в общем случае, имеет отличные числовые характеристики т_х > 0 и Однако ее можно выразить через центрированную нормированную случайную величину А следующим образом:

X = А х + т_х

Отсюда следует, что

А

Тогда

В результате исходное неравенство примет вид:

Предположим, существует такое значение a,

при котором Ф(a) = . Тогда

По определению, функция распределения является неубывающей, следовательно можно записать следующее неравенство:

Параметры распределения т_х и нам известны. Остается определить значение a, которое с вероятностью гарантировало бы превышение собранных премий над выплатами. Величина a называется квантилем нормального распределения. Ее можно определить по таблице функции Ф(a). Значение a зависит от вероятности .: чем выше требуется гарантия безопасности, тем больше будет a. Ниже приведена таблица значений а для часто используемых значений гарантии безопасности .

Таблица

Заданное значение вероятности	84%	90%	95%	98%	99,86%
Значение а, при котором Ф(a) =	1,0	1,3	1,645	2,0	3,0

Например, если величину гарантии безопасности принять равной 98%, то для определения необходимой величины страхового фонда к ожидаемой величине убытков т_х необходимо прибавить двойное среднеквадратическое отклонение суммы выплат :

и>т_х + 2 .

Графически данное выражение для определения необходимой величины страхового фонда проиллюстрировано на рис. 24.2.

Рисунок – Графическая интерпретация выражения для определения необходимой

Величины страхового фонда

Таким образом, для определения величины страхового фонда, которого с заданной степенью вероятности должно хватить на выплату всех возмещений, необходимо знать математическое ожидание т_х и среднеквадратическое отклонение суммы выплат X по данному виду страхования. Рассмотрим подробнее эту случайную величину.

Лекция: Определение числовых характеристик случайной величины суммы выплат страховщика.

Как уже отмечалось выше, сумма выплат страховщика по данному виду страхования X складывается из выплат Уi по всем договорам N данного вида:

.

Убыток страховщика по i -му договору Уi представляет собой случайную величину, которая распределена следующим образом:

1) если страховой случай не наступил (вероятность такого события равна q), то выплата по i -му договору равна 0;

2) если страховой случай наступил (вероятность такого события равна 1- q), то выплата по i -му договору может принять любое значение на промежутке от 0 до S_i, где S_i — страховая сумма по i -му договору. Закон распределения величины выплаты на указанном промежутке зависит от вида риска и застрахованных объектов. В частности, для большинства массовых рисковых видов страхования характерно такое распределение, при котором вероятность наступления мелких ущербов выше вероятности крупных убытков. График плотности распределения в этом случае схематично представлен на рисунке.

Рисунок – Схематичный график плотности распределения величины ущерба при страховом случае

Кроме того, поскольку мы имеем дело с массовым рисковым видом страхования, для которого характерны однородность застрахованных объектов и малый разброс в значениях страховых сумм, то можно принять допущение, что по всем страховым случаям ожидаемая величина ущерба (математическое ожидание) и среднеквадратическое отклонение одинаковы и равны соответственно S_B и R_B.

Можно показать, что числовые характеристики т_y и случайной величины У, характеризующей выплату по отдельному договору страхования, при указанном законе распределения будут соответственно равны: _________

Теперь мы можем оценить параметры распределения суммы убытков (выплат) страховщика т_х и в соответствии с полученными ранее формулами:

Лекция: Вывод формулы для расчета нетто-ставки.

Подставим полученные в предыдущем параграфе выражения для т_х и в формулу для определения необходимой величины страхового фонда. Получаем соотношение

Рассчитанного по данной формуле страхового фонда с вероятностью % хватит на все выплаты. Теперь, зная величину необходимого фонда, можно найти нетто-ставку, обеспечивающую его создание.

Обозначим через

Si — страховую сумму по i -му договору;

Рi — нетто-премию по i-му договору;

Т_н — нетто-ставку по данному виду страхования.

Страховой фонд по данному договору страхования формируется за счет нетта-премий, собранных по всем договорам данного вида:

страховой фонд = сумма нетто-премий по всем договорам.

В используемых обозначениях это можно записать следующим образом:

Нетто-премия по i-му договору P_i равна произведению страховой суммы по данному договору на нетто-ставку:

Поскольку ко всем договорам применяется одинаковая нетто-ставка, то сумма нетто-премий будет определяться как произведение совокупной страховой суммы на нетто-ставку:

В свою, очередь, совокупную страховую сумму можно представить как произведение средней страховой суммы по всем договорам S на число договоров N:

= .

Таким образом, величина страхового фонда равна произведению средней страховой суммы на число договоров и на нетто-ставку:

Здесь необходимо сделать важное замечание. Поскольку расчет базовых тарифных ставок производится до заключения договоров, то размер страховой суммы по каждому договору неизвестен. Страховая сумма может принимать практически любое значение в пределах, ограниченных реальной стоимостью объектов и условиями страхования. Поэтому при расчете тарифных ставок размер страховой суммы по i -му договору является случайной величиной. Эта случайная величина имеет свое математическое ожидание и дисперсию. Предположим, что дисперсия страховых сумм настолько мала, что ее можно не учитывать. Иными словами, будем считать, что страховые суммы по всем договорам одинаковы и равны средней страховой сумме:

S_{1 =}... = S_i =... = S_N = S.

Это допущение сделано с целью упростить дальнейший вывод формулы для расчета нетто-ставки. На самом деле поскольку речь идет о массовых видах страхования, то по определению предполагается малая дисперсия страховых сумм. Поэтому при большом числе договоров N такое допущение вносит незначительную погрешность. Однако в случаях, когда объем портфеля страховщика невелик или когда страховые суммы по договорам существенно отличаются друг от друга, необходимо использовать формулы для расчета нетто-ставок, учитывающие дисперсию страховых сумм.

С учетом сделанного допущения нетто-ставку можно найти следующим образом:

Подставляя в это соотношение выражение для величины страхового фонда, получаем общую формулу для расчета нетто-ставки:

 

=

Как видим, в выражении для нетто-ставки можно выделить две составляющие. Первое слагаемое обозначим через Т_о и назовем основной частью нетто-ставки. Второе слагаемое называется рисковой надбавкой и обозначается Т_р. Таким образом, формула для нетто-ставки принимает окончательный вид:

,

где Т_о —основная часть нетто-ставки, которая определяется по формуле

Аналогичную структуру имеет и нетто-премия: в ней также можно выделить основную часть и рисковую надбавку. Сумма основных частей нетто-премий обеспечивает 50%-ную гарантию неразорения страховщика. Оставшиеся ( - 50) процентов покрывает рисковая надбавка.

Указанные положения иллюстрируются на графике, представленном на рисунке.

Рисунок – Графическая иллюстрация определения величины страхового фонда

И его составляющих

Кроме того, необходимо помнить о существовании небольшой вероятности, что собранных нетто-премий не хватит на все выплаты, так как величина гарантии безопасности всегда меньше 100%.

Всю последовательность проведенных действий по выводу формулы для расчета нетто-ставки по рисковым видам страхования можно коротко представить следующим образом.

1. Страховщик предполагает сформировать страховой портфель, состоящий из большого числа договоров страхования.

2. Величина выплаты по каждому договору страхования является случайной величиной. За редким исключением застрахованные объекты, а следовательно, и случайные величины выплат по ним независимы один от другого.

3. Сумма выплат по всему портфелю договоров равна сумме выплат по всем договорам. Следовательно, она также является случайной величиной.

4. Согласно центральной предельной теореме сумма большого числа независимых случайных величин распределена по нормальному закону (закону распределения Гаусса). Теория вероятности позволяет определить параметры этого распределения на основе данных по случайным величинам, составляющим сумму.

Таким образом, известен закон и параметры распределения суммы выплат страховщика.

5. Страховщик задает для себя уровень безопасности страховых операций , представляющий собой вероятность, с которой он хочет быть уверен в том, что собранных нетто-премий хватит на все выплаты.

6. В соответствии с принятой степенью безопасности у по закону распределения суммы убытков страховщик может найти величину выплат, которая с заданной вероятностью не будет превышена. В таком размере и необходимо сформировать страховой фонд.

7. Исходя из требуемого размера страхового фонда определяется величина нетто-ставки, обеспечивающей его создание. Нетто-ставка по рисковым видам страхования состоит из основной части и рисковой надбавки. Основная часть нетто-ставки обеспечивает 50%-ную вероятность неразорения страховщика, а оставшиеся ( -50) процентов вероятности дает рисковая надбавка.

При выводе формулы для расчета нетто-ставок по массовым рисковым видам страхования мы использовали следующие допущения:

имеется большое число однородных независимых застрахованных рисков;

разброс страховых сумм по всем застрахованным рискам невелик;

все договоры заключаются на одинаковый срок;

по одному договору может произойти не более одного страхового случая.

Лекция: Практический расчет тарифных ставок по рисковым видам страхования.

Расчет тарифных ставок производится по группам страхуемых объектов в соответствии с разработанной тарификационной системой. В результате этого расчета страховщик должен получить для каждой группы базовую тарифную (брутто)-ставку.

Расчет брутто-ставки по рисковым видам страхования, как, впрочем, и по остальным видам, осуществляется по общей формуле

где f — доля нагрузки в брутто-cтавке, задаваемая страховщиком и выраженная в процентах от брутто-ставки.

Как правило, доля нагрузки принимается одинаковой для всех тарификационных групп в рамках одного страхового продукта. Для каждой категории страхуемых объектов должна быть рассчитана своя нетто-ставка. В предыдущем параграфе была получена формула для расчета тарифных ставок по рисковым видам страхования. Согласно этой формуле нетто-ставка состоит из основной части и рисковой надбавки. Перед началом расчета страховщик должен выбрать приемлемую для себя величину гарантии безопасности. Кроме того, для расчета составляющих нетто-ставки необходимо знать:

вероятность наступления страхового случая q;

математическое ожидание величины страховой суммы S;

математическое ожидание величины выплаты по одному страховому случаю S_B;

дисперсию величины выплаты по одному страховому случаю R²_B.

Указанные величины являются параметрами теоретического распределения убытков. Они объективно характеризуют риск страховщика и, следовательно, определяют величину страхового тарифа. Однако в реальной жизни страховщик не знает параметров теоретического распределения. Все, что он может наблюдать, это конкретные реализации случайных величин (конкретные страховые суммы и ущербы). Возникает необходимость оценки объективных показателей, которыми являются вероятность наступления, математическое ожидание и дисперсия ущерба, с помощью имеющихся статистических данных о страховых случаях. Точность такой оценки зависит от объема и достоверности располагаемых данных. Указанные данные страховщик может получить из внутренних источников, прежде всего из данных бухгалтерского учета и автоматизированной системы учета договоров, а также из внешних источников, к которым относятся федеральный и региональные органы статистики, ассоциации страховщиков и созданные ими специальные статистические и технические организации, а также статистические управления городских и районных администраций или различных ведомств (Управления государственной пожарной службы, МВД, Бюро медицинской статистики и т. д.).

Информация, полученная из разных источников, имеет свои достоинства и недостатки. В частности, внутренняя статистика по договорам страхования позволяет оценить не только частоту страховых случаев, средний размер страховой суммы и выплат, но и дисперсию этих показателей. Однако объем выборки, на основе которой получаются эти данные, ограничен числом договоров, заключенных данной страховой компанией по интересующему виду страхования. Поэтому весьма вероятны отклонения характеристик, обусловленные недостаточным объемом и нерепрезентативностью выборок. Напротив, оценки показателей, полученные из внешних источников, как правило, более надежны, поскольку основаны на данных по всему городу или району. Но среди них практически никогда не удается найти информацию о типично страховых показателях, например таких, как отношение ущерба к стоимости пострадавшего имущества. Исключение из этого правила составляют данные национальных ассоциаций страховых компаний и специальных технических организаций, созданных при участии страховщиков (в частности, европейской Пленарной Ассамблеи Страховых Обществ по страхованию Ущерба — Assamlee Pleniere des Societes d'Assurances Dommages). К сожалению, в России до настоящего времени нет подобных технических организаций, а существующие союзы страховщиков еще не подошли к решению проблем сбора и анализа данных, необходимых для надежной тарификации страховых продуктов. Таким образом, страховой компании, по возможности, приходится комбинировать внешние и внутренние источники. Далее мы рассмотрим подход к определению тарифных ставок на основе собственных данных страховой компании по закончившимся договорам страхования и особенности расчета нетто-ставок при разработке нового страхового продукта.

Лекция: Расчет тарифных ставок на основе данных по закончившимся договорам

страхования.

Рассмотрим порядок расчета тарифной ставки по массовому рисковому виду страхования на основе данных, собранных страховой компанией в процессе проведения данного вида страхования.

Для расчета тарифных ставок выбирается некоторая совокупность договоров страхования. При выборе этих договоров необходимо, чтобы:

все застрахованные объекты были достаточно однородны (гомогенны),

число договоров в совокупности должно быть как можно больше,

все они были заключены на один и тот же срок (например, на один год),

к моменту расчета полностью истек срок их действия.

Кроме того, желательно, чтобы все отобранные договоры действовали в пределах одного истого же периода. Это требование связано с тем, что вследствие изменяющейся экономической и политический ситуации, а также из-за инфляции показатели страховых сумм и выплат, а иногда и частоты страховых событий существенно изменяются во времени. Поэтому рекомендуется рассчитывать тарифы на основе данных по недавно закончившимся договорам, например за прошлый год, несмотря на то, что это входит в противоречие с требованием отбора максимально возможного числа договоров.

Еще одно требование состоит в том, что условия договоров из рассматриваемой совокупности в части, касающейся страховых событий и расчета выплат, должны быть идентичны условиям того страхового продукта, для которого производится расчет тарифов. Разные способы расчета выплат (например, с применением франшизы и без нее) будут искажать реальную картину выплат и могут привести к недостаточности рассчитанных на их основе тарифных ставок.

Итак, предположим, что все эти требования соблюдены и страховщик отобрал в качестве исходной совокупности N договоров. Страховые суммы по этим договорам составляли

S₁,….,S_i,…,S_N (всего N договоров).

Поскольку эти договоры уже закончились, следовательно, можно определить окончательное число страховых случаев и сумм убытков. Следует еще раз подчеркнуть, что при расчете тарифов необходимо рассматривать только закончившиеся договоры, заключенные на один и тот же срок, так как в противном случае рассчитанные на их основе оценки показателей могут оказаться неверными.

Допустим, по рассматриваемым N договорам произошло М страховых случаев и выплаты составили

S_B1,…,S_Bj,…,S_BM (всего М страховых случаев).

В качестве оценки вероятности наступления страхового случая будет использоваться показатель частоты страховых случаев q (здесь и далее мы будем обозначать оценки параметров с помощью значка ^ над обозначением параметра). Частота страховых случаев может быть рассчитана как отношение числа страховых случаев, наступивших по договорам из выделенной совокупности, к объему этой совокупности, т. е.

Здесь необходимо сделать следующее замечание. Использовать показатель частоты в качестве вероятности ущерба можно только лишь в том случае, когда частота меньше единицы, т. е. когда М меньше N. Это требование будет выполняться всегда, только если по договору может произойти не более одного страхового случая. В других случаях этим соотношением можно пользоваться, если вероятность наступления ущерба существенно меньше единицы. Данная методика неприменима, когда изначально предполагается несколько страховых случаев за время действия договора. Рассмотрим, например, договор добровольного медицинского страхования сроком на один год. Допустим, страховым случаем считается визит к врачу. Поскольку можно с уверенностью утверждать, что в течение года средний гражданин обращается за медицинской помощью несколько раз, то и частота страховых случаев по данному договору будет больше единицы. В результате для тарификации такого страхового продукта рассматриваемую методику определения нетто-ставок применять нельзя. В этом случае расчет тарифов может быть проведен другими методами, например через убыточность страховых сумм.

Перейдем к определению оценок остальных параметров. Как известно из теории вероятностей и статистики, среднее значение является состоятельной несмещенной оценкой математического ожидания теоретического распределения. Поэтому в качестве оценок математического ожидания величины убытка страховщика по одному страховому случаю S_B можно использовать среднее значение выплаты по одному случаю , которое рассчитывается по формуле

Аналогично рассчитывается среднее значение страховой суммы :

Для определения состоятельной несмещенной оценки дисперсии величины выплат по одному страховому случаю используется соотношение

Таким образом, мы нашли все необходимые оценки параметров, используемых при определении величины нетто-ставки. Заменив в формулах для расчета основной части нетто-ставки и рисковой надбавки параметры теоретического распределения на их оценки, можно рассчитать нетто- и брутто-ставки.

Если подставить полные выражения оценок параметров в формулу для расчета основной части нетто-ставки, то можно получить следующее соотношение:

Согласно этому выражению основную часть нетто-ставки можно рассчитывать как отношение суммы выплат по закончившимся договорам данного вида к совокупной страховой сумме по этим договорам. В страховании такое отношение называется показателем убыточности страховой суммы.

Таким образом, основная часть нетто-ставки равна убыточности страховой суммы по данному виду договоров. Это отражает «физический» смысл основной части нетто-ставки и страховых тарифов вообще. Поскольку значение убыточности с течением времени может колебаться, то необходимо создать запас средств для покрытия возможных отклонений показателя убыточности от расчетного значения. Этот запас устойчивости создается за счет введения в нетто-ставку рисковой надбавки, величина которой определяется по полученной ранее формуле в соответствии с выбранным уровнем гарантии безопасности.

Лекция: Особенности расчета тарифных ставок при подготовке нового страхового продукта.

Мы рассмотрели случай, когда расчет тарифных ставок производится на основе статистических данных по договорам страхования. Такая постановка задачи предполагала, что страховая компания в течение некоторого времени уже осуществляла данный вид страхования и у нее уже набралось достаточное число закончившихся договоров, которые смогли дать необходимую информацию. Но расчет тарифных ставок должен производиться и при подготовке нового вида страхования. Для получения лицензии на возможность осуществления нового вида страхования страховая компания среди прочих документов должна предоставить экономическое обоснование размера тарифных ставок. В подобных случаях также может применяться рассматриваемая методика, однако при этом расчет тарифов будет иметь ряд особенностей.

Как уже отмечалось выше, страховая компания при подготовке нового вида страхования не имеет своих данных относительно вероятности и ожидаемой величины ущерба. Это заставляет страховщиков использовать внешние источники информации. Например, при подготовке страхования автомобилей необходимые сведения о частоте и тяжести дорожных происшествий можно получить в управлениях Государственной инспекции безопасности дорожного движения, для огневого страхования требуемые показатели могут быть рассчитаны на основе информации управлений государственной пожарной службы и т. д. Однако, как правило, полученных из таких источников данных бывает недостаточно для оценки параметров величины выплат и страховых сумм. Поэтому возникает необходимость упростить методику расчета.

В «Методике расчета тарифных ставок по рисковым видам страхования» приводятся рекомендации относительно выбора величины отношения средней выплаты к средней страховой сумме. В частности, при страховании средств наземного транспорта значение данного отношения следует принимать не ниже 0,4, при страховании от несчастных случаев и болезней его величина не должна быть ниже 0,3. Однако необходимо отметить, что такой способ оценки приблизительный, поскольку соотношение выплат и страховых сумм в значительной степени зависит от вида риска и условий договора страхования, касающихся выплаты возмещения.

Еще одна особенность связана с определением рисковой надбавки. Поскольку страховщик не располагает данными относительно величины дисперсии выплат , то используется упрощенная приблизительная формула для расчета рисковой надбавки:

Так как страховщик не заключил ни одного договора страхования, то в этой формуле в качестве N будет присутствовать прогнозируемое число договоров данного вида. При увеличении N рисковая надбавка уменьшается, что ведет к снижению тарифов. Поэтому не следует завышать планируемое число договоров, поскольку это может привести к занижению тарифных ставок и, как следствие, к нехватке средств страхового фонда.