Расчет тарифных ставок по страхованию жизни. Математические резервы

Лекция Особенности расчета тарифных ставок по страхованию жизни

Страхование жизни как отдельная отрасль страхования имеет ряд особенностей, которые обусловливают выбор форм и методов анализа, подготовки и проведения страховых операций. Основные факторы, оказывающие непосредственное влияние на методику расчета тарифных ставок по страхованию жизни, следующие.

1. Объектом договора по данному виду страхования являются жизнь, здоровье и трудоспособность граждан. Количественные показатели, характеризующие продолжительность жизни и смерт­ность среди населения страны, централизованно собираются и об­рабатываются в федеральных и региональных органах демографи­ческой статистики. На основе полученных данных составляются таблицы смертности, которые используются страховщиками при расчете тарифных ставок по страхованию жизни. Поскольку про­должительность жизни отдельного человека имеет случайный ха­рактер, то при их оценке применяются методы теории вероятно­стей и статистики.

2. Договоры страхования жизни заключаются, как правило, на длительный срок. Период времени между уплатой взносов и мо­ментом осуществления выплат достигает нескольких лет. В тече­ние этого срока за счет инфляции и прибыли, получаемой от инве­стирования временно свободных средств, стоимость страховых взносов изменяется. Чтобы учесть подобные изменения при по­строении тарифных ставок, применяются методы долгосрочных фи­нансовых исчислений и, в частности, дисконтирование.

Перечисленные особенности позволяют выделить систему ма­тематических и статистических методов, применяемых при расче­те тарифных ставок для определения финансовых взаимоотноше­ний страховщика и страхователя, в отдельную отрасль науки — те­орию актуарных расчетов. Далее будут рассмотрены основные принципы и некоторые приемы, используемые в актуарных расче­тах по страхованию жизни.

Таблицы смертности. В страховании жизни неопределенность связана со случайным характером продолжительности человечес­кой жизни. Поэтому страховщики должны располагать показателями, которые позволяют им оценить риск смерти или дожития до определенного срока для лиц различного возраста и пола. В каче­стве основного источника подобного рода данных служат табли­цы смертности, которые составляются в каждой стране государ­ственными органами статистики с определенной периодичностью на основе информации, собираемой в результате переписи населе­ния. Кроме того, в некоторых странах страховщики, долгое время занимающиеся страхованием жизни и располагающие большим объемом данных о своих клиентах, создают собственные таблицы смертности, которые более точно характеризуют смертность сре­ди застрахованных.

Что же представляет собой простейшая таблица смертности? Это таблица, которая для любого возраста x лет показывает чис­ло lx доживающих до этого возраста лиц из первоначальной сово­купности, состоящей, как правило, из l0 = 100 000 новорожденных. В таблице смертности как минимум должно присутствовать два столбца:

в первом указывается возраст x лет (от 0 до ω лет с шагом один год, где 0 — предельный возраст таблицы смертности);

во втором приводится число лиц lx из l0 = 100 000 новорожден­ных, доживающих до указанного возраста х лет.

Кроме того, в таблицах смертности часто приводятся производ­ные показатели, например:

численность лиц dx умирающих при переходе от возраста х лет к возрасту (х + 1) год:

dx = lx + l0

вероятность смерти qx при переходе от возраста x лет к возрасту (х + 1) год:

вероятность рх дожития лица в возрасте х лет до возраста (х + 1) год:

среднее остаточное время жизни для возраста х лет и др.

Простейшими являются таблицы, содержащие информацию о статистических свойствах времени жизни случайно выбранного человека, относительно которого известен только его возраст. Та­кие таблицы называются общими, или упрощенными (aggregate tables) Кроме общих таблиц, в страховых компаниях используют так называемые таблицы с отбором, или таблицы отбора риска (select tables). В них, помимо возраста, учитываются другие факто­ры, влияющие на смертность. В качестве таких факторов отбора могут рассматриваться факт прохождения медицинского осмотра, приобретение договора страхования пожизненной ренты, оформ­ление пенсии по болезни и т. д. Показатели доживаемости в дан­ных таблицах имеют два аргумента: один показывает возраст в момент отбора, а второй — время, прошедшее с момента отбора.

Существуют различные концепции составления таблиц смерт­ности.

В зависимости от того, какой период относительно даты иссле­дования описывают эти таблицы, различают два вида таблиц:

ретроспективные таблицы, т. е. таблицы смертности, составлен­ные по данным предыдущих лет и описывающие смертность насе­ления в разных возрастах на момент исследования;

перспективные таблицы смертности, которые получаются в ре­зультате экстраполяции на будущие годы существующих в настоя­щее время демографических тенденций.

Таблицы смертности описывают характеристики доживаемос­ти определенной совокупности людей (населения определенной страны или города, лиц одной профессии и т. д.). В зависимости от изучаемых возрастных категорий населения таблицы делятся на два вида:

обычные таблицы смертности, которые описывают все населе­ние в совокупности;

таблицы поколений, которые характеризуют показатели смерт­ности отдельно по каждому поколению (при этом та часть данных, которая относится к будущим периодам каждого поколения по­добно перспективным таблицам, носит характер прогноза и полу­чается в результате экстраполяции).

Располагая даже простейшей таблицей смертности, можно рас­считать ряд показателей, характеризующих смертность и доживаемость среди изучаемого населения, которые позволят рассчитать тарифы по страхованию жизни. Например, при страховании на дожитие страховщик обязуется выплатить страховую сумму застрахованному лицу, если тот доживет до конца срока страхования. Для определения размера тарифной ставки необходимо знать вероятность страхового события. Предположим, что в момент заключения договора страхования застрахованный находится в возрасте х Срок страхования составляет n лет. Тогда вероятность дожития лица в возрасте х лет до конца срока n лет, т. е. до возраста (х + n) лет, может быть найдена по таблице смертности как отношение чис­ла Доживающих до возраста (х + n) лет lx+n к числу лиц в возрасте х лет lx:

Здесь через nрх обозначена вероятность дожития лица в возрасте х лет до возраста (х+n) лет.

По таблице смертности могут быть также найдены и другие показатели вероятностей дожития или смерти. Некоторые из них мы рассмотрим в процессе построения тарифных ставок по стра­хованию жизни.

Дисконтирование. В соответствии с договором страхователь уплачивает взносы в начале договора страхования, а выплаты про­исходят через определенное время. В течение этого периода стра­ховщик инвестирует временно свободные средства и получает на них определенный доход. Величина такого дохода, поступающего за год с единицы денежной суммы, называется нормой процента, или нормой доходности. Она обозначаются через i и выражается в про­центах.

На момент расчета нетто-ставок страховщик не может сказать точно, под какой процент ему удастся вложить собранные взносы. Поэтому в расчетах тарифных ставок применяется планируемая норма доходности. В некоторых странах минимальная гарантиро­ванная норма процента, которую должен обеспечить страховщик, устанавливается государственными органами надзора за страховой деятельностью.

Если норма процента составляет i% в год, то через год каждая денежная единица превратится в (1+i). К концу второго года эта сумма составит (1 + i)×(1 + i) = (1 + i)2 и т. д. Если мы располагаем определенным денежным фондом (его величина на настоящий мо­мент времени составляет современную стоимость этого фонда), то в общем случае начисление сложных процентов за n лет может быть рассчитано по формуле:

будущая стоимость = современная стоимость × (1 + i)n.

Здесь под будущей стоимостью данного фонда мы понимаем раз­мер этого фонда через n лет.

В страховании жизни страховщик по каждому договору прогно­зирует вероятную величину выплаты. Тем самым он определяет будущую стоимость страховых фондов, которую необходимо иметь, скажем, через n лет. Следовательно, требуется найти, какой же взнос надо получить в момент заключения договора, чтобы к кон­цу указанного срока обладать средствами, достаточными для осу­ществления выплаты. Иными словами, необходимо найти современ­ную стоимость будущей выплаты. Процесс определения современ­ной стоимости будущих доходов или расходов называется дисконтированием и выражается следующей формулой:

современная стоимость = будущая стоимость ×

Величину, обратную процентному множителю, называют дис­контирующим множителем и обозначают через v.

Дисконтирующий множитель за n лет определяется по формуле

Дисконтирующий множитель за n лет показывает, какую сумму нужно внести сегодня, чтобы через n лет с учетом заданной нормы доходности иметь фонд в размере одной денежной единицы. Ины­ми словами, он отражает современную стоимость этого фонда. Соответственно, чтобы узнать современную стоимость фонда, ве­личина которого через n лет должна составлять S руб., необходи­мо эту сумму умножить на дисконтирующий множитель:

современная стоимость фонда = S × vn.

При построении тарифных ставок по страхованию жизни дис­контирование применяется для определения современной вероят­ной стоимости обязательств страховщика и страхователя.

Принцип равновесия. В страховании жизни общие принципы расчета страхового тарифа или брутто-ставки остаются прежни­ми:

где f — доля нагрузки в брутто-ставке, выраженная в процентах от брутто-ставки.

Особенности страхования жизни проявляются на этапе опре­деления нетто-ставок.

В страховании жизни, как и в рисковых видах страхования, дол­жно соблюдаться условие превышения собранных нетто-премий над выплатами. При этом, как уже отмечалось выше, необходимо учитывать доход, получаемый от инвестиций собранных нетто-пре­мий:

нетто-премии + доход от инвестиций ≥ выплаты.

Величина страховых выплат является случайной величиной, и нельзя заранее точно предсказать, какое именно значение она при­мет. За счет большого числа застрахованных и высокой надежнос­ти показателей таблиц смертности считается, что вероятность боль­ших отклонений реальней величины выплат от ее математическо­го ожидания ничтожна мала. Поэтому в актуарных расчетах по страхованию жизни в качестве оценки суммы выплат принято ис­пользовать вероятную (ожидаемую) стоимость выплат. Ее вели­чина определяется в зависимости от условий страхования и объема гарантий с использованием таблиц смертности. При небольшом страховом портфеле или при серьезных отличиях контингента за­страхованных от совокупности, послужившей базой для составле­ния таблицы смертности, применение данной гипотезы может при­вести к занижению страховых тарифов. В этих случаях страховщик должен принимать дополнительные меры по обеспечению своей финансовой устойчивости, например путем перестрахования. В дальнейшем при рассмотрении принципов определения нетто-ста-вок по страхованию жизни мы будем полагать, что условия позво­ляют использовать в качестве оценки величины выплат их вероят­ную стоимость:

нетто-премии + доход от инвестиций ≥ вероятная стоимость выплат.

К моменту осуществления выплат страховщик должен распо­лагать фондом в размере, равном как минимум их вероятной сто­имости. Иными словами, ему известна будущая стоимость фонда. Размер дохода от инвестиций определяется нормой доходности, прогнозируемой страховщиком на весь период страхования. Буду­щая стоимость, равная вероятной стоимости выплат, уменьшен­ная на доход от инвестиций, представляет собой современную ве­роятную стоимость выплат, т. е. ожидаемую стоимость выплат, приведенную к моменту заключения договора страхования. Таким образом, сумма нетто-премий должна превышать современную вероятную стоимость выплат:

нетто-премии ≥ современная вероятная стоимость выплат.

В рисковых видах страхования премия вносится в момент заключения договора либо в течение первых двух-трех месяцев. В страховании жизни страховая премия нередко уплачивается в рас­срочку. При этом период уплаты взносов составляет несколько лет. В случае смерти застрахованного в течение этого периода договор прекращается, и страховщик недополучит часть взносов. Следовательно, при периодической уплате премий их сумма яв­ляется случайной величиной, а процесс уплаты может быть рас­тянут на несколько лет. Это означает, что оценка суммы нетто-премий также должна осуществляться по их современной веро­ятной стоимости.

В итоге условие неразорения страховщика может быть записано следующим образом:

современная вероятная ≥ современная вероятная
стоимость нетто-премий стоимость выплат

Нижняя граница страховых тарифов должна обеспечивать ра­венство современных вероятных стоимостей нетто-премий и вы­плат.

Выплаты при наступлении страхового случая представляют со­бой обязательства страховщика. Кроме них договором страхова­ния жизни могут быть предусмотрены и другие финансовые обя­зательства, например возврат взносов в случае смерти застрахо­ванного. Все они должны быть учтены в страховых тарифах. Поэтому в качестве основного принципа для расчета тарифных ставок по страхованию жизни правильнее использовать более об­щую формулировку, учитывающую возможные дополнительные гарантии: на момент заключения договора страхования современ­ная вероятная стоимость обязательств страхователя должна быть равна современной вероятной стоимости обязательств стра­ховщика.

Данный принцип называется принципом эквивалентности, или принципом равновесия. Его соблюдение обеспечивает вероятност­ное и финансовое равновесие операций по страхованию жизни.

Процесс построения нетто-ставки по любому договору страхо­вания жизни с использованием принципа эквивалентности вклю­чает три этапа:

1) определение взаимных финансовых обязательств страховщи­ка и страхователя по данному договору;

2) актуарную оценку этих обязательств (определение их совре­менных вероятных стоимостей);

3) применение к данному договору принципа равновесия.

В качестве примеров мы рассмотрим построение нетто-ставок для основных видов гарантий по страхованию жизни (страхование на дожитие, на случай смерти, страхование рент).

Лекция. Расчет единовременных нетто-ставок по страхованию на дожитие.и на случай смерти

Расчет единовременной нетто-ставки по страхованию на дожи­тие. Рассмотрим страхование на дожитие лица в возрасте х лет на срок п лет со страховой суммой S руб.

1. Определение взаимных обязательств сторон.

1.1. Финансовые обязательства страхователя состоят в уплате единовременной страховой премии в момент заключения догово­ра страхования. (В дальнейшем для простоты будем полагать, что страхователь, застрахован­ный и выгодоприобретатель — это одно и то же лицо; момент уплаты первого или единовременного взноса совпадает с моментом заключения договора страхова­ния.)

1. Поскольку мы рассматриваем построение нетто-ставок, то нас интересует нетто-премия по данному договору, ко­торая равна произведению страховой суммы S на нетто-ставку по страхованию на дожитие лица в возрасте х лет на срок п лет, кото­рую в актуарной математике принято обозначать пЕх. Таким обра­зом, фактическая величина финансовых обязательств страховате­ля равна

S × пЕх (руб.)

1.2. Страховщик обязуется выплатить застрахованному через п лет страховую сумму S при условии, что тот дожил до конца срока страхования. Следовательно, величина финансовых обязательств страховщика составляет S руб.

2. Определение современной вероятной стоимости обяза­тельств сторон.

2.1. Страхователь безусловно должен уплатить страховую пре­мию, иначе договор страхования не состоится. Иными словами, величина уплаченных страхователем взносов не носит случайного характера. Следовательно, вероятная стоимость обязательств стра­хователя равна их фактической стоимости. Кроме того, поскольку единовременный взнос уплачивается в момент заключения договора, то его современная стоимость равна фактической стоимости. При единовременном порядке уплаты страховой премии современ­ная вероятная стоимость обязательств страхователя равна фак­тической величине единовременного взноса. В нашем примере эта сум­ма составляет (S × пЕх) руб.

2.2. Страховщик выплатит страховую сумму только при условии, что застрахованный дожил до конца срока страхования. Поэтому вероятная стоимость обязательств страховщика (математическое ожидание этой случайной величины) равна произведению факти­ческой стоимости выплаты (S руб.) на вероятность ее осуществления, т.е.

(S × пpх) руб.

где прх — вероятность дожития лица в возрасте х лет до конца срока п лет (т. е. до возраста (х + п) лет).

Поскольку выплата (если она вообще произойдет) будет осу­ществляться через п лет, то ее современная вероятная стоимость будет равна произведению вероятной стоимости на дисконтирую­щий множитель за п лет:

(S × пpх)×vn руб.,

где vn — дисконтирующий коэффициент за п лет.

3. Применение принципа равновесия.

Равенство современных вероятных стоимостей обязательств страхователя и страховщика в нашем примере запишется следую­щим образом:

S × пЕх = S × пpх × vn

пЕх = пpх × vn

Если вместо прх подставить выражение для расчета вероятности дожития по таблице смертности, то получим общую фор­мулу для определения единовременной нетто-ставки по страхованию на дожитие лица в возрасте х лет на срок п лет:

где lx и lx+n — показатели таблицы смертности, характеризующие численность лиц, доживающих до возраста х и (х+п) лет соответственно.

Расчет единовременной нетто-ставки по страхованию на случай смерти. Рассмотрим страхование на случай смерти лица в возрасте х лет на срок п лет со страховой суммой на случай смерти S руб.

В том, что касается обязательства страхователя, рассуждения аналогичны тем, которые мы приводили в предыдущем примере. Фактическая стоимость обязательств страхователя равна по ве­личине единовременной премии по страхованию на случай смер­ти, т. е.

S × пAх

где пAх — единовременная нетто-ставка по страхованию на случай смерти лица в возрасте х лет на срок п лет,

S — страховая сумма на случай смерти, руб.

Эта фактическая стоимость равна современной вероятной сто­имости обязательств страхователя, поскольку он уплачивает еди­новременную премию безусловно и в момент заключения догово­ра страхования.

Теперь рассмотрим обязательства страховщика.

Страховщик обязуется выплатить страховую сумму S в случае смерти застрахованного в течение срока страхования. Поскольку для каждого года страхования имеется определенная вероятность смерти, а следовательно, и вероятность выплаты, то общая совре­менная вероятная стоимость выплаты будет равна сумме ее совре­менных вероятных стоимостей за каждой год.

Рассмотрим первый год после заключения договора страхова­ния. Вероятность выплаты в течение первого года страхования равна вероятности смерти лица при переходе от возраста х лет к возрасту (х+1) год, т. е. qx. По таблице смертности вероятность смерти при переходе от возраста х лет к возрасту (х+1) год рассчи­тывается по формуле

где dx — показатель числа умирающих при переходе от возраста х к возрасту (х+1) год,

lx — показатель таблицы смертности, характеризующий число доживающих до возраста х лет.

Вероятная стоимость выплаты (ее математическое ожидание) для первого года равна произведению страховой суммы S на веро­ятность выплаты qx, т. е.

Чтобы получить современную вероятную стоимость выплаты на первом году страхования, необходимо вероятную стоимость умно­жить на дисконтирующий коэффициент. При этом для простоты будем полагать, что все выплаты происходят в конце года, поэтому используют дисконтирующий коэффициент за один год v1. Таким образом, современная вероятная стоимость выплаты в течение первого года страхования равна

Вероятность выплаты в течение второго года равна вероятнос­ти того, что застрахованный доживет до второго года страхования, т. е. до возраста (х+1) год и умрет в течение этого года, т. е. при переходе от возраста (х+1) к возрасту (х+2) года. Таким образом, вероятность выплаты в течение второго года равна произведению вероятности 1px дожития лица в возрасте х лет до возраста (х+1) год на вероятность qх+1 смерти при переходе к возрасту (х+2) года. По таблице смертности эта вероятность может быть рассчитана как

Таким образом, вероятная стоимость выплаты на втором году стра­хования, равная произведению страховой суммы S на вероятность выплаты в этом году, составит

Используя принятую ранее гипотезу о том, что все выплаты происходят в конце года, можно найти современную вероятную стоимость выплаты для второго года страхования, которая будет равна

Аналогичным образом определяется современная вероятная стоимость выплаты для всех последующих лет страхования.

Общая современная стоимость обязательств страховщика, равная сумме вероятных стоимостей выплат за весь срок страхования, составит:

Теперь мы можем применить принцип равновесия и записать равенство современных вероятных стоимостей обязательств страхо­вателя и страховщика:

Отсюда получаем общую формулу для расчета единовремен­ной нетто-ставки по страхованию на случай смерти:

Используя рассмотренный алгоритм, можно найти формулы для расчета нетто-ставок практически по любому договору страхова­ния жизни. При этом необходимо учитывать, что если договор включает различные виды гарантий, то общая нетто-ставка по та­кому договору будет равна сумме нетто-ставок по всем видам га­рантий. Например, нетто-ставка по договору смешанного страхо­вания жизни, предусматривающего выплату страховой суммы при дожитии застрахованного до конца срока страхования или в слу­чае его смерти в течение этого срока, будет равна сумме нетто-став­ки на дожитие пЕх и нетто-ставки на случай смерти пАх.

Лекция. Коммутационные числа

Поскольку при подготовке нового договора страхования прихо­дится определять тарифы для различных возрастных групп, раздель­но для мужчин и женщин, то расчеты нетто-ставок по полученным в предыдущем параграфе общим формулам становятся достаточно объемными и трудоемкими. Поэтому в прошлом веке для упроще­ния формул для тарифов по страхованию жизни была разработана методика, которая состоит в использовании так называемых комму­тационных чисел. Несмотря на то, что в последнее время эта методи­ка несколько утратила свое значение, она может быть использована при расчете тарифных ставок по страхованию жизни на персональ­ных компьютерах в электронных таблицах.

Коммутационные числа — это специальные технические показа­тели, которые сведены в таблицы. Они не несут никакого конкретно­го «физического» смысла. Их применение вызвано лишь желанием сократить объем ручных вычислений. Коммутационные числа зави­сят от следующих параметров: выбранной таблицы смертности (т. е. показателей lx и dx) и планируемой нормы доходности i.

Ниже приводятся формулы для расчета наиболее часто исполь­зуемых коммутационных чисел:

Dx = lx × vx

Nx = Dx + Dx+1 + … + Dω

Cx = dx × vx+1

Mx = Cx + Cx+1 + … Cω

где ω—предельный возраст таблицы смертности.

Рассмотрим процедуру перевода общих выражений в формулы, записанные с использованием коммутационных чисел.

Ранее была получена общая формула для расчета единовременной нетто-ставки по страхованию на дожитие:

Умножим числитель и знаменатель дроби этой формулы на vx. Величина результата при этом не изменится.

Знаменатель дроби представляет собой коммутационное число D для возраста х лет:

Dx = lx × vx

В числителе — коммутационное число D для возраста (х + п) лет:

Dx+n = lx+n × vx+n

Таким образом, получаем следующую формулу для расчета единовременной нетто-ставки на дожитие лица в возрасте х лет на срок страхования п лет, записанную через коммутационные числа:

Теперь рассмотрим перевод в коммутационные числа общей формулы для расчета единовременной нетто-ставки по страхованию на случай смерти. Порядок действия будет тот же самый:

1) записать общую формулу,

2) умножить числитель и знаменатель на vx,

3) преобразовать выражение и записать его через коммутацион­ные числа:

Числитель этого выражения можно еще упростить, записав его как разность коммутационных чисел Mx и Мх+п. Действительно,

Mx = Cx + Cx+1 + … + Cx+n-1 + Cx+n + Cx+n+1 + … + Cω

Mx+n = Cx+n + Cx+n+1 + … + Cω

Mx – Mx+n = Cx + Cx+1 + … + Cx+n-1

Таким образом, единовременная нетто-ставка по страхованию на случай смерти лица в возрасте х лет на срок п лет будет рассчи­тываться по формуле

Если страхование на случай смерти осуществляется пожизнен­но, то данная формула примет вид:

Лекция. Расчет единовременных нетто-ставок по страхованию рент

Рентой (или аннуитетом) в общем случае называются после­довательные периодические выплаты. Если такие выплаты осуще­ствляются застрахованному при условии, что тот жив, то речь идет о прижизненных, или страховых, рентах. Кроме того, в специаль­ной литературе термином «аннуитет» называется современная ве­роятная стоимость прижизненной ренты, которая обозначается через а, когда выплаты осуществляются в конце временных интерва­лов, и ä, когда выплаты производятся в начале интервалов.

В договорах по страхованию рент выделяют, как правило, три периода:

1) период уплаты взносов, в течение которого страхователь упла­чивает страховые премии;

2) период отсрочки т, представляющий собой период с момен­та заключения (вступления в действие) договора страхования до момента начала выплаты ренты;

3) период выплат п, в течение которого застрахованный будет получать ренту.

Иногда в договорах страхования используют также такие поня­тия, как срок страхования и выжидательный период.

Сроком страхования называют период с момента заключения (вступления в силу) договора страхования ренты до момента по­следней выплаты. Иными словами, срок страхования представля­ет собой сумму периода отсрочки и периода выплат.

Выжидательный период — это временной интервал с момента окончания периода уплаты взносов до момента начала периода выплат.

Если период отсрочки т равен нулю, то говорят о немедленной ренте. В противном случае рента будет называться отсроченной.

Страховая рента выплачивается при условии, что застрахован­ный жив. Если в договоре конкретно указан период п, в течение которого будет выплачиваться рента, то такая рента называется срочной. Если застрахованный умрет до окончания периода выплат, то рента прекращается, если иное не предусмотрено договором страхования. Когда в договоре не указана конкретная продолжитель­ность периода выплат, то речь идет о пожизненной ренте и выплаты будут продолжаться до момента смерти застрахованного.

Рассмотрим вывод формулы для расчета нетто-ставки по страхо­ванию единичной отсроченной на т лет ренты для лица в возрасте х лет, которая будет выплачиваться ежегодно в течение п лет в размере 1 руб. в конце каждого года.

График поступления взносов и осуществления выплат в данном случае будет иметь следующий вид:

Найдем современную вероятную стоимость обязательств страхов­щика. В соответствии с договором страхования страховщик обязует­ся выплачивать начиная с т-го года страхования в течение п лет в конце каждого года сумму в размере 1 руб. при условии, что застрахо­ванный жив на момент осуществления выплаты. Таким образом, стра­ховщик обязуется произвести максимум п выплат по 1 руб. Совре­менная вероятная стоимость его обязательств будет равна сумме со­временных вероятных стоимостей всех этих п выплат.

Фактическая стоимость первой выплаты на т-м году равна 1 руб. Вероятность этой выплаты равна вероятности т+1рх дожития застра­хованного до момента выплаты в конце т-го года, т. е. до возраста (х+т+1) лет. Следовательно, вероятная стоимость первой выплаты равна:

1 рубю. × т+1рх = т+1рх (руб.).

Эта выплата, если она произойдет, будет осуществляться через (т + 1) год. Поэтому ее современная вероятная стоимость будет рав­на произведению вероятной стоимости на дисконтирующий множи­тель за (т+ 1) год, т. е.

т+1рх × vm+1 (руб.)

Современная вероятная стоимость выплаты, осуществляемой на втором году периода, составит

т+2рх × vm+2 (руб.)

Аналогично находятся современные вероятные стоимости всех последующих выплат. Последняя выплата, осуществляемая в кон­це (т+п) года, будет иметь современную вероятную стоимость (т+nрх × vm+n) руб.

Современная вероятная стоимость единичной ренты (аннуитет) для лица в возрасте х лет, отсроченной на т лет и выплачиваемой в течение п лет, обозначается через m|nах. При этом если речь идет о ренте, выплачиваемой в конце каждого года, то такая рента на­зывается рентой постнумерандо (postnumerando), а ее современ­ная вероятная стоимость (аннуитет) обозначается как m|nах. Если выплата такой ренты осуществляется в начале каждого года, то она называется рентой пренумерандо (praenumerando) и ее современ­ная вероятная стоимость обозначается m|näх.

Таким образом, современная вероятная стоимость (аннуитет) m|nах нашей единичной отсроченной на т лет ренты постнумерандо, вып­лачиваемой в течение п лет, будет составлять:

Современная вероятная стоимость единичной ренты равна единовременной нетто-ставке по страхованию такой ренты. Если мы хотим найти нетто-премию по страхованию аналогичной ренты с выплатами в размере 5 руб. в год, мы должны умножить аннуитет единичной ренты m|nах на ее величину 5 руб.

Аналогичным образом можно вывести формулу для расчета аннуитета ренты пренумерандо. Она будет иметь вид:

Рассмотрим несколько частных случаев.

1. Немедленные (т=0) срочные ренты на п лет. В этом случае формулы для расчета аннуитетов постнумерандо пах и пренумерандо пäх будут выглядеть следующим образом:

При этом между пах и пäх имеется следующая взаимосвязь:

пäх = пах + (1 - пЕх)

 

Кроме того, необходимо отметить, что аннуитеты немедленной и отсроченной на т лет ренты связаны отношением

m|nах = пЕх × пах+m

m|näх = пЕх × пäх+m

2. Для случая пожизненных (п = +∞) немедленных (т = 0) рент постнумерандо и пренумерандо формулы для расчета их современ­ных вероятных стоимостей ах и äх примут вид:

Поскольку п = +∞, то nЕx = 0, следовательно, аннуитеты прену­мерандо и постнумерандо связаны отношением

äx = ax + 1

3. Ренты, выплачиваемые несколько раз в год.

На практике часто встречаются случаи, когда рента выплачивается несколько раз в год. Такая рента называется дробленой. Расчет ее современной вероятной стоимости имеет некоторые особенности. Если интервалы между выплатами составляют менее одного года (несколько месяцев), теоретические формулы будут не силь­но отличаться от формул, полученных для ежегодных рент. Однако расчет не может производиться аналогичным образом, поскольку таблицы смежности содержат только показатели, соответствующие целым значениям возраста. Следовательно, необходимо применить интерполяцию.

Если при выводе формулы аннуитета дробленой ренты принять гипотезу о равномерном изменении интенсивности смертности при переходе к следующему возрасту (это означает, что коэффициент смертности от qх до qх+1 изменяется по линейному закону), то вы­ражения для аннуитетов единичной немедленной ренты постнумерандо и пренумерандо, выплачиваемых k раз в год, будут рас­считываться по формулам:

Для случая пожизненных рент (п = + ∞ = > пЕх = 0) эти фор­мулы примут следующий вид:

Лекция Коэффициенты рассрочки

До настоящего момента мы рассматривали расчет нетто-ставок для единовременных премий. Это означало, что страховой взнос уплачивается полностью в момент заключения (вступления в действие) договора страхования. Для такого порядка уплаты взносов характерны следующие черты:

1) страховые взносы уплачиваются сразу в полном объеме; в результате вся сумма взносов сразу поступает в оборот и на нее начинают начисляться проценты;

2) все страхователи уплачивают страховые взносы полностью. Указанные обстоятельства приводят к тому, что при единовременных премиях взносы поступают к страховщику без отсрочки и их величина носит детерминированный характер. Следовательно, современная вероятная стоимость обязательств страхователей рав­на фактической сумме уплаченных ими взносов. Данный факт мы использовали при расчете единовременных нетто-ставок.

Однако единовременный порядок уплаты не всегда удобен для страхователя, поскольку в этом случае в момент заключения до­говора он должен располагать значительной суммой. Поэтому на практике очень часто страховщики предлагают клиентам возмож­ность уплаты страховых взносов в рассрочку ежегодно, ежеквар­тально или ежемесячно. Процесс уплаты растягивается на несколь­ко лет, что имеет ряд последствий:

1) средства страховых взносов поступают периодически частя­ми, поэтому теряется некоторая доля прибыли, получаемой за счет процентов;

2) в течение периода уплаты взносов часть застрахованных уми­рает, что приводит к окончанию их договоров страхования. В ре­зультате по ряду договоров взносы будут уплачены не полностью.

Таким образом, при периодических премиях величина посту­пающих к страховщику взносов носит случайный характер, связан­ный со случайным характером продолжительности человеческой жизни, и имеет место распределение страховых взносов во време­ни. Поэтому при расчете нетто-ставок необходимо учитывать не номинальную, а современную вероятную стоимость обязательств страхователя.

Рассмотрим два договора страхования на дожитие лица в воз­расте х лет на срок п лет, предусматривающих выплату одинако­вой страховой суммы S руб. Предположим, что по первому догово­ру страховая премия уплачивается единовременно, а по второму — ежегодно в течение всего срока страхования п лет.

Для первого договора страхования равенство современных ве­роятных стоимостей обязательств страхователя и страховщика б