Методика расчета тарифных ставок по рисковым видам страхования

В процессе формирования тарификационной системы страховщик получает совокупность основных групп страхуемых объектов и факторов риска, которые необходимо рассматривать в рамках данного страхового продукта. Далее ему необходимо найти численные значения базовых тарифных ставок и поправочных коэффициентов для созданной системы.

При определении тарифов для массового рискового вида страхования компания может воспользоваться рекомендуемой «Методикой расчета тарифных ставок по рисковым видам страхования», утвержденной распоряжением Федеральной службы РФ по надзору за страховой деятельностью от 08.07.93 г. № 02-03-36. Ниже приводится обоснование данной методики.

Лекция: Теоретическое обоснование методики. Постановка задачи. Конечной целью проведения актуарных расчетов является определение величины нетто-ставки, которая гарантировала бы с заданной высокой степенью безопасности, что страховщик не разорится. При этом под разорением понимается не финансовый крах страховщика вообще, а вполне конкретная ситуация, когда средств страхового фонда по данному виду страхования не хватает на выплату всех возмещений. Страховой фонд формируется из нетто-премий. Поэтому определив необходимый размер фонда, можно найти и величину нетто-ставки, которая обеспечивала бы создание такого фонда. Таким образом, задача нахождения нетто-ставки сводится к определению необходимого размера страхового фонда.

Математически задачу неразорения страховщика можно сформулировать следующим образом: вероятность того, что сумма убытков (выплат) страховщика по всем договорам данного вида окажется меньше, чем величина страхового фонда по рассматриваемому виду страхования, должна быть больше некоторого заданного значения :

вероятность {сумма выплат < величина страхового фонда} , где — величина гарантии безопасности, которая выбирается самим страховщиком и, как правило, находится в пределах от 85 до 99%.

Лекция: Общий подход к определению необходимой величины страхового фонда. Обозначим через X сумму выплат по всем договорам данного вида, а через и — величину страхового фонда. Тогда исходное неравенство запишется следующим образом:

P{X< u} .

В результате, чтобы определить величину страхового фонда и, необходимо найти сумму выплат, которая с заданной вероятностью не будет превышена.

Сумма выплат страховщика по конкретному виду страхования складывается из выплат по всем договорам данного вида. Обозначим через Y_i выплату (убыток) страховщика по i-му договору. Если число договоров равно N, то можно записать

Выплата или убыток страховщика по каждому договору У является случайной величиной. По определению, случайной называется величина, значение которой меняется от опыта к опыту случайным образом. Действительно,

во-первых, по данному договору ущерб может наступить, а может не наступить вообще; т. е. само наступление страхового случая является случайной величиной;

во-вторых, если страховой случай все-таки наступил, то величина ущерба может принять любое значение от минимального (близкого к нулю) до максимального (полного) ущерба, соответствующего полному уничтожению застрахованного объекта. В результате величина убытков при каждом страховом случае также является случайной величиной.

Таким образом, величина убытков (выплат) страховщика по каждому договору Y_i является случайной величиной, которая, в свою очередь, зависит от двух других случайных величин, характеризующих возможность наступления страхового случая и размер ущерба. Из этого следует, что сумма убытков по всем договорам X также будет случайной величиной.

Случайная величина X характеризуется законом распределения, который может быть задан с помощью функции распределения F(x) или функции плотности распределения f(x). По определению, функция распределения F(x) случайной величины X такова, что

F(x)=P{X<x},

т. е. значение функции распределения в точке х равно вероятности того, что случайная величина X будет меньше этого числа х.

Функция плотности распределения f(x) может быть найдена как производная от функции распределения F(x) по х:

.

В соответствии с исходным неравенством вероятность того, что сумма выплат не превысит величину страхового фонда, должна быть больше :

Р{Х<и}, ,

т. е.

F(u) .

Таким образом, проблема определения размера фонда, который с вероятностью не ниже % обеспечивал бы финансовую устойчивость страховщика, сводится к нахождению такой величины и, при которой функция распределения F(u) случайной величины X будет больше или равна . Для того чтобы решить эту задачу, нам необходимо определить закон распределения суммы выплат (случайной величины X) и его параметры.

Для дальнейшего вывода формулы нетто-ставки необходимо сделать несколько допущений.

1. Предположим, что убытки страховщика по одному договору не зависят от выплат по другим договорам. Это утверждение справедливо в подавляющем большинстве случаев. Исключение составляют так называемые случаи кумулятивного ущерба, которые возникают, когда один страховой случай провоцирует наступление других убытков. Подобная ситуация может возникнуть в страховании от пожара, если огонь от одного загоревшего здания перекидывается на другие объекты, или в страховании медицинских расходов из-за распространения эпидемии. Учет возможности наступления кумулятивного ущерба при расчете тарифов требует особых подходов, рассмотрение которых выходит за рамки данной книги. Поэтому мы будем считать, что все застрахованные риски полнос-тью независимы. Это означает независимость случайных величин убытков по каждому договору Уi.

2. В соответствии с определением понятие массовых рисковых видов страхования подразумевает наличие большого числа однородных застрахованных объектов с малым разбросом значений страховых сумм. Поэтому можно предположить, что и разброс убытков (выплат) будет незначительным. Кроме того, это позволяет сделать допущение, что законы распределения и числовые характеристики (в частности, математическое ожидание т_y и среднеквадратическое отклонение всех случайных величин Уi.

одинаковы:

Таким образом, случайная величина X представляет собой сумму большого числа одинаково распределенных случайных величин Уi., среди которых нет превалирующей величины. Тогда, в соответствии с центральной предельной теоремой, можно утверждать, что случайная величина X распределена по нормальному закону. Теория вероятностей дает возможность оценить и параметры этого распределения т_х и

Нормальное распределение случайной величины X (суммы убытков страховщика) описывается функцией плотности распределения, которая имеет вид

Функция распределения F(x) может быть найдена как интеграл от плотности распределения от минус бесконечности до х

Зная закон распределения и его параметры, можно решить полученное ранее неравенство:

или

Графический смысл интеграла функции заключается в том, что его значение равно площади под кривой этой функции. Таким образом, графически вероятность можно интерпретировать как площадь под кривой распределения. Следовательно, остается найти такое значение u, при котором площадь под графиком плотности распределения будет больше или равна .

График функции плотности распределения для случайной величины X представлен на рис. 24.1.

Функция плотности

распределения

Рисунок – График плотности распределения суммы выплат. Общий подход к