Интерполяционный полином в форме Ньютона.

Интерполяционный полином Ньютона имеет вид:

где

- разделенная разность первого порядка,

- разделенная разность второго порядка,

- разделенная разность третьего порядка и т.д.

Пример 4.6. Построить интерполяционный полином в форме Ньютона, проходящий через точки, заданные таблицей 4.10.

Решение. Расчеты представим в виде таблицы.

Таблица 4.11

Пример 4.7. Построить интерполяционный полином, проходящий через точки, заданные таблицей 4.10, используя программу Excel.

Порядок решения.

14) Ввести таблицу в рабочий лист Excel (обыкновенные дроби вводятся как формулы, т.е. =9/8). Выделить ячейки таблицы.

15) Вызвать Мастер диаграмм. Выбрать тип диаграммы – точечная (без соединительных линий). Нажать кнопку «Готово».

16) Вызвать контекстное меню (правой кнопкой мыши) одной из точек графика. Выбрать пункт «добавить линию тренда».

17) На вкладке тип выбрать полиномиальная аппроксимация и установить степень полинома на единицу меньше числа точек, т.е. 3.

18) На вкладке параметры отметить «показывать уравнение на диаграмме».

19) Закрыть окно настроек, нажав кнопку ОК. Появляется линия графика интерполирующей функции и соответствующая формула:

Рис. 4.6. Результаты интерполяции в программе Excel.

Численное интегрирование.

Требуется вычислить определенный интеграл:

(5.1)

Выберем на отрезке интегрирования различных узлов

и интерполируем функцию по ее значениям в этих узлах некоторым полиномом . Тогда определенный интеграл (5.1) приближенно можно вычислять по формуле

, (5.2)

которая называется квадратурной формулой интерполяционного типа.

Метод прямоугольников.

На каждом отрезке , функция заменяется полиномом нулевой степени .

Поэтому приближенно I вычисляется по формуле (см. рис. 5.1):

(5.3)

Рис. 5.1. Метод прямоугольников.

 

Для равноотстоящих узлов формула (5.3) имеет следующий вид:

, (5.4)

Или

(5.5)

Формулу (5.4) называют формулой левых прямоугольников, а (5.5) - правых прямоугольников.

Программа вычисления интеграла методом прямоугольников представлена на рис. 5.2.

 

DEF FNF(X)=SQR(2*X^2+1) A=0: B=1 N=8 H=(B-A)/N S=0 X=A 1 S=S+FNF(x)*H X=X+H IF X<B THEN 1 PRINT S END

Рис. 5.2. Программа вычисления интеграла методом прямоугольников.

 

Метод трапеций.

В этом методе на каждом отрезке функция заменяется полиномом 1-й степени .

По формуле Лагранжа:

(5.9)

Интегрируя на отрезке , получим:

(5.10)

Суммируя по всем (), получим формулу трапеций (см. рис. 5.3):

(5.11)

Для равноотстоящих узлов , , …, формула (5.11) принимает следующий вид:

(5.12)

или

(5.13)

Рис. 5.3. Метод трапеций.

Программа вычисления интеграла методом трапеций:

в программе, представленной на рис. 5.2, заменить отмеченные строки на следующие:

1 S=S+0.5*(FNF(x)+FNF(X+H))*H

X=X+H

5.3. Метод парабол (Симпсона).

Интервал разделим на отрезков. Группируя узлы тройками , на каждом отрезке интерполируемфункцию полиномом 2-й степени

По формуле Лагранжа:

Интегрируя на отрезке , получим:

(5.14)

Суммируяформулу (5.14)по всем отрезкам, получаем формулу для приближенного интегрирования (см. рис.5.4):

(5.15)

или

(5.15)

 

Рис. 5.4. Метод парабол.

Программа вычисления интеграла методом парабол (Симпсона):

в программе, представленной на рис. 5.2, заменить отмеченные строки на следующие:

1 S=S+(FNF(X)+4*FNF(X+H)+FNF(X+2*H))*H/3

X=X+2*H